河北省邢台市内邱县第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

河北省邢台市内邱县第二高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】计算题． 【分析】本题是一个正态分布问题，根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数﹣1，而正态曲线是一个关于x=μ即x=﹣1对称的曲线，根据对称性写出概率． 【解答】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4， ∵P（﹣3≤ξ≤﹣1） = ∴ ∴P（ξ≥1）=． 【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 2.若函数f(x)=+2(a-1)x+2在区间内递减，那么实数a的取值范围为（

）A.a≤-3

B.a≥-3

C.a≤5

D.a≥3参考答案：A3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A.6 B.9C.12 D.15参考答案：B【分析】通过三视图还原几的直观图，是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥，利用三视图的数据求出几何体的体积即可。【详解】该几何体是三棱锥，如图所示：则。【点睛】本题以三视图为载体，要求还原几何体的直观图，再通过三视图的数据，考查三棱锥体积公式的应用。4.已知是等比数列，，则公比=(

)A．

B．

C．2

D．参考答案：D略5.如果，那么的最小值是（

）A．4

B．

C．9

D．18参考答案：D6.直线3x-2y-6=0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为b，则

(A)a=2,b=3

(B)a=-2,b=-3

(C)a=-2，b=3

(D)a=2，b=-3参考答案：D7.已知直线与直线，若，则的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．1或2参考答案：D8.已知等差数列｛an｝中，(

)A.100

B.210

C.380

D.400参考答案：B9.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为

A.

B.C.

D.参考答案：C10.等比数列中，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线x2－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条。参考答案：3

12.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.参考答案：13.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．．参考答案：[]【考点】直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．14.圆截直线所得的弦长

．参考答案：15.在正项等比数列中，为方程的两根，则等于

.参考答案：64略16.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为

；参考答案：17.过点Ｐ（5，4）作与双曲线有且只有一个

公共点的直线共有

条．

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）等比数列满足的前n项和为,且(I)求;(II)数列的前n项和,是否存在正整数m,,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.参考答案：解:(Ⅰ),所以公比

得

所以

略19.(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东方向,距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.

参考答案：解:

设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过

小时后在B处追上,…2分

则有由余弦定理可得：

……8分

……10分∴

答：所以所需时间2小时,

……12分略20.已知等差数列中，，,求：（I）首项和公差；（II）该数列的前8项的和的值．参考答案：(Ⅰ)由等差数列的通项公式：=，

得

解得

=3，=2.

(Ⅱ)由等差数列的前项和公式：，

得21.(本小题满分16分)(1)已知，求证：；(2)若，，，且，求证：和中至少有一个小于2.参考答案：解：（1）法一：要证

只要证

…………2分只要证

即证

…………4分即证

…………6分即证

即证

，显然成立，所以原不等式成立.…………8分法二：，…………2分又…………6分…………8分（2）假设和均大于或等于2，即且…10分因为所以且所以…………14分所以这与矛盾.所以和中至少有一个小于2.………………16分

22.已知函数f（x）=alnx+x2+1．（1）当a=时，求f（x）在区间[，e]上的最大值与最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当﹣1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+ln(-a)恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=．可得其单调性极值与区间端点函数值，进而得到最值．（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．对a分类讨论可得：①a=﹣1时，②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，△＞0，解得a范围即可得出单调性．（3）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在x=取得极小值即最小值．f=ln﹣+1．由于任意x＞0有f（x）＞1+恒成立，代入化简即可得出．【解答】解：（1）a=﹣时，f（x）=lnx+x2+1，x∈，f′（x）=+x=．可知：函数f（x）在上单调递减，在（1，e]上单调递增．∴函数f（x）在x=1时取得极小值即最小值，f（1）=．由=+，f（e）=，可得f（e）＞．∴函数f（x）在x=e时取得最大值，f（e）=．综上可得：f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，．（2）f′（x）=+（a+1）x=（x＞0）．①a=﹣1时，f′（x）=﹣＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．②a≠﹣1时，△=﹣4a（a+1），由△≤0，解得a≥0，或a＜﹣1．则a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＜﹣1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．由△＞0，解得﹣1＜a＜0，＞0．可得：f′（