第六章迭代法数值分析

第六章迭代法数值分析第1页，课件共57页，创作于2023年2月§1.引言迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。第2页，课件共57页，创作于2023年2月第3页，课件共57页，创作于2023年2月第4页，课件共57页，创作于2023年2月引入误差向量则可得由问题是在什么条件下所以等价于也即第5页，课件共57页，创作于2023年2月§2.基本迭代法设有其中A为非奇异矩阵将A分解成其中M是可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解由此,原问题就可转化为等价方程得:可构造迭代法第6页，课件共57页，创作于2023年2月Jacobi迭代法第7页，课件共57页，创作于2023年2月第8页，课件共57页，创作于2023年2月

Jacobid迭代的矩阵形式第9页，课件共57页，创作于2023年2月收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵.第10页，课件共57页，创作于2023年2月第11页，课件共57页，创作于2023年2月第12页，课件共57页，创作于2023年2月高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法第13页，课件共57页，创作于2023年2月第14页，课件共57页，创作于2023年2月第15页，课件共57页，创作于2023年2月用矩阵可表示为:移项得又所以可逆第16页，课件共57页，创作于2023年2月也即选取M为A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，则Ａx=b可等价为（M－N)x=b联系上面已经得到的矩阵迭代形式,为统一起见,记:A=D－L－U第17页，课件共57页，创作于2023年2月等价为其中或其中Ｇ即为G-S迭代法的迭代矩阵第18页，课件共57页，创作于2023年2月第19页，课件共57页，创作于2023年2月第20页，课件共57页，创作于2023年2月Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：第21页，课件共57页，创作于2023年2月松弛(SOR)法第22页，课件共57页，创作于2023年2月第23页，课件共57页，创作于2023年2月SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一种修正.假设已知:及首先利用G-S迭代计算预测值加权平均可得:即得再由和的前i-1个分量第24页，课件共57页，创作于2023年2月第25页，课件共57页，创作于2023年2月返回第26页，课件共57页，创作于2023年2月松弛法计算过程如下：第27页，课件共57页，创作于2023年2月引入误差向量则可得由等价于问题是在什么条件下所以等价于也即§3.迭代法的收敛性作:第28页，课件共57页，创作于2023年2月第29页，课件共57页，创作于2023年2月注:其中为矩阵的任一种算子范数(p244定理1)

第30页，课件共57页，创作于2023年2月注第31页，课件共57页，创作于2023年2月迭代法基本定理第32页，课件共57页，创作于2023年2月第33页，课件共57页，创作于2023年2月矩阵的谱半径定理2第34页，课件共57页，创作于2023年2月由此得P248的定理5(迭代法收敛的充分条件)定理5设有方程组和其定常迭代法如果B的某种算子范数则:1.迭代法收敛．即对任取的有２．３．４．证明第35页，课件共57页，创作于2023年2月(P252定理8)第36页，课件共57页，创作于2023年2月第37页，课件共57页，创作于2023年2月第38页，课件共57页，创作于2023年2月第39页，课件共57页，创作于2023年2月(特殊方程组迭代法的收敛性P249)第40页，课件共57页，创作于2023年2月第41页，课件共57页，创作于2023年2月定理6:(对角占优定理P250)如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵,则A为非奇异矩阵.第42页，课件共57页，创作于2023年2月(P251定理7,9,10)<例同时G-S迭代法也收敛.如1．条件的矩阵，证明第43页，课件共57页，创作于2023年2月第44页，课件共57页，创作于2023年2月第45页，课件共57页，创作于2023年2月特别第46页，课件共57页，创作于2023年2月第47页，课件共57页，创作于2023年2月误差估计第48页，课件共57页，创作于2023年2月第49页，课件共57页，创作于2023年2月第50页，课件共57页，创作于2023年2月第51页，课件共57页，创作于2023年2月证明：2.3.1.返回第52页，课件共57页，创作于2023年2月注:返回第53页，课件共57页，创作于2023年2月证明:只证关于简单迭代法的两个，其余两个的证明类似.(1)设A具有严格对角优势，以下证ρ(BJ)<1反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20第54页，课件共57页，创作于2023年2月所以μD+L+U也具有严格对角优势，所以|μD+L+U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21与矛盾第55页，课件共57页，创作于2023年2月(2)A不可约且具有对角优势，证ρ(BJ)<1，由定理有A非奇异，又（否则A必有一行元素全为零，与A非奇矛盾）用反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD+L+U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全