第07章 一阶电路和二阶电路的时域分析-1

第七章

一阶电路和二阶电路

的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应7.7一阶电路的阶跃响应7.8一阶电路的冲激响应7.5二阶电路的零输入响应含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-USR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC

=0i=0,uC=USK+–uCUSRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUSRCi

(t→

)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuCt0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL

=0uL=0,i=US

/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期K+–uLUSRLi

(t=0)+–uLUSRLi

(t→

)电感电路过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化K+–uCUSRCi

(t=0)应用KVL和电容的VCR得：+–uCUS

RCi

(t>0)2.动态电路的方程+–uLUSRLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

的值0－0＋0tf(t)K+–uCUSRCi

(t=0)一．动态电路及特点：

1、动态元件：

电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，称为动态元件，同时也是储能元件。

2、特点：

a、电路方程是以电流或电压为变量的微分方程。

b、电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。 电路由一个工作状态转变到另一个工作状态。三、时间与时刻 时刻为一点。 时间是两个时刻的间隔。0t四、换路 电路的结构或元件的参数发生变化。 换路是由开关的动作实现的。S(t=0)打开S(t=0)闭合12S(t=0)换动二、过渡过程：稳态暂态旧稳态新稳态

过渡过程:C电路处于旧稳态KRE+_开关K闭合电路处于新稳态RE+_“稳态”与“暂态”的概念: uC如何变化？t0uCE

产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程I电阻电路t=0ER+_IK电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。Et电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：电容电路储能元件因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。EKR+_CuCt储能元件电感电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。KRE+_t=0iL五、一阶电路电阻： u=Ri

i=Gu动态元件： 电感电容根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u和i为变量的微分方程，无源元件均为线性、非时变。电路方程：线性常微分方程对于只含一个储能元件，电路方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。六、跃变×七、换路定则√在换路前后，电容上的电压不发生跃变。1、电容2、电感在换路前后，电感中的电流不发生跃变。例1.求

uC

(0+),iC

(0+).t=0时打开开关S.由换路定则：uC

(0+)=uC

(0

)=8V0+等效电路：

+10ViiCuCS10k

40k

+

C解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k

+

八、初值的确定例2.t=0时闭合开关S.求uL(0+).iL(0+)=iL(0

)=2A0+等效电路：10VS1

4

iLLuL+–解：10V1

4

iL(0+)uL

(0+)+–注意：依据换路定则和基尔霍夫定律。S(t=0)+-+-+-S(t=0)+-+-+-t0-0+5A10V05A0010V5A10V00-10A-10V15A求初始值的一般方法：(1)由换路前电路求uC(0

)和iL(0

)；(2)由换路定则，确定uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效电路：(4)由0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。电容用电压为uC(0+)的电压源替代；电感用电流为iL(0+)的电流源替代。§7.2一阶电路的零输入响应零输入：输入=0(外电源输入=0)储能元件储存的能量消耗能量的元件终值为01、推导过程：RR一、零输入响应二、RC电路的零输入响应最终能量来源初始：S合上前换路：S合上(t=0)：解一阶齐次微分方程：令通解i=-S(t=0)uCuRU0iR特征方程：由初始条件定A：S(t=0)uCuRU0iR解为2、结论：均按同样的指数规律衰减，最终趋于0。τ的大小反映此一阶电路过渡过程的进展速度τ小：过渡过程短，进展快τ大：过渡过程长，进展慢3、时间常数S(t=0)uCuRU0iR工程上认为,经过3

－5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0

t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变（2）衰减快慢与RC有关；

=RC

大→

过渡过程时间长

小→

过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuC0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义4、能量关系

C放电，C不断放能，电阻R不断耗能,直至C上电场能量衰减为0。三、RL电路的零输入响应1、推导过程：换路，K打到2求解一阶齐次微分方程：初始，K打到1由初始条件定A：令iL(t)=Aept则(Lp+R)Aept=0特征方程：Lp+R=0得特征根解为：2、结论：大小均按指数规律衰减，最终趋于0。与RC串联电路相反R大

小衰减快R小

大

衰减慢3、时间常数4、能量关系：

L不断把储存的磁场能量放出，R不断吸收并转化为热能，直至L上的磁场能量为0为止。小结：一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应，都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

.

RC电路：

=RC,RL电路：

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路S(t=0)解：=3Vτ=RCR=2//3τ=RC1Ω2Ω3Ω6V例：求电容两端电压。§7.3一阶电路的零状态响应一、零状态响应初始状态为零外电源输入直流交流充电与电源变化规律相同能量来源最终终值零状态：二、RC电路1、推导：iUSuRuCRS(t=0)C换路后：求解一阶非齐次微分方程非齐次方程的特解齐次方程的通解强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)特解：重新达到稳态时的值齐次方程的通解：满足uC

(0+)=US

+

A

=0

A=

US求全解定常数强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USOUStuCiuC,i电阻R消耗的能量：能量关系：能量关系：电源提供的能量一部分被电阻消耗，一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为50%USRC例：USuRuCRS(t=0)iCUS=220V，R=100Ω，C=0.5µF，C未充过电。t=0时合上开关S。求： （1）uC、i； （2）最大充电电流； （3）合上S后150µs后uC、i

的值。解:(1)US=220V，R=100Ω，C=0.5µF，C未充过电。t=0时合上开关S。求:（1）uC、i；（2）最大充电电流；（3）合上S后150µs后uC、i

的值。USuRuCRS(t=0)iC=209(V)=2.2e-3=0.11(A)（2）最大充电电流；（3）合上开关S150µs后uC、i

的值。t=0时闭合开关S,求uC的零状态响应。uiCi12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S例.+1.5V+0.25

1

0.8FuC

S戴维宁等效.i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SuC

(V)t1.5O戴维宁等效:i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SRL电路的零状态响应iL(0

)=0USLS(t=0)+–uLR+–uRiL三、RL电路直流电源7.4一阶电路的全响应一、全响应

当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。S(t=0)二、RC电路设电容原有电压为U01、电路方程初始条件2、方程的解方程的全解特解对应齐次方程的通解得根据uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0-US全响应=零输入响应+零状态响应全响应=稳态分量+瞬态分量上式改写成三、RL电路

形式上和RC电路一致。初始值f(0+)稳态值f(∞)时间常数τ（仅适用直流激励）四、三要素法三要素三要素公式：(1)uC(0+)与iL(0+)按换路定则求出

换路前C视作开路iL(0+)