高等数学（财经类） 课件 吕小俊 第3-6章 不定积分 - 微分方程

§3.1

不定积分的概念和性质

第三章不定积分CONTENT1

不定积分的概念2

不定积分的性质目录3

直接积分法举例不定积分的概念Chapter1

一、原函数的概念

问题1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,是否唯一?3.若原函数不唯一,其结构如何?一、原函数的概念存在性唯一性二、不定积分的概念

三、练习例1

三、练习例2

三、练习例3四、不定积分的几何意义不定积分的性质Chapter2

不定积分的性质性质3可以推广到有限多个函数加减的情况.

不定积分的性质例4直接积分法举例Chapter3

一、基本积分表

一、基本积分表

二、直接积分法二、直接积分法例5三、直接积分法举例例6三、直接积分法举例例7小结1、不定积分的概念2、不定积分的性质3、直接积分法举例谢谢！

§3.2

换元积分法

CONTENT1第一类换元法目录2

第二类换元法第一类换元法Chapter1

一、第一类换元法

一、第一类换元法例9求

一、第一类换元法例10

一、第一类换元法第一类换元法也称为凑微分法

一、第一类换元法例11

一、第一类换元法例12

一、第一类换元法例13

一、第一类换元法例14第二类换元法Chapter2

二、第二类换元法

二、第二类换元法

二、第二类换元法例14

二、第二类换元法

二、第二类换元法例18

二、第二类换元法例20

三、常用积分公式小结1、第一类换元法2、第二类换元法谢谢！

§3.3

分部积分法

CONTENT1

分部积分公式目录2

分部积分公式的使用分部积分公式Chapter1

一、分部积分公式

一、分部积分公式分部积分公式的使用Chapter2

二、应用例23

注：

二、应用例24

二、应用例25

二、应用分部积分法可以多次使用例小结：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积,可设幂函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,幂函数的幂次降低一次.

二、应用被积函数不是两个函数乘积的形式，也可用分部积分法例26

二、应用例27

二、应用分部积分法多次使用后，可产生循环式例28注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u,dv可随意选取,但在两次分部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.

二、应用分部积分法应和其它积分法配合使用例29小结

分部积分公式：

谢谢！

§3.4

有理函数的积分

一、有理函数积分真分式化为部分分式Q(x)因式分解一次因式的乘积二次质因式的乘积部分分式部分分式的求法待定系数法例:赋值法例:如上例混合法例:部分分式的积分部分分式u2+a2duMλu

+k(u2+a2)λduM1u

+k

一、有理函数积分有理函数的积分步骤(真分式)

真分式化为部分分式将分母进行因式分解确定部分分式的形状确定部分分式的待定系数注1.有理函数的原函数都是初等函数2.有些有理函数的不定积分需要灵活处理

二、练习例30

二、练习例31

谢谢！

§4.1

定积分的概念和性质

第四章定积分CONTENT1

引例2

定积分的概念目录3

定积分的性质引例Chapter1

一、曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线,直线及

x

轴所围成的平面图形.问题：如何计算曲边梯形的面积

A？

一、曲边梯形的面积1.分割：在区间

中用

n-1个点分成

n

个小区间,记

将曲边梯形分成

n个小曲边梯形.令每个小曲边梯形的底边长为

一、曲边梯形的面积2.近似：讨论第i个小曲边梯形,记面积为,在区间

上任取一点,以

为高作一个小矩形,矩形的长为,高为,那么曲边梯形的面积

近似等于矩形面积,即

一、曲边梯形的面积3.作和：对于大曲边梯形来说,用同样的方法,将剩下的

n-1个小曲边梯形面积计算出来,然后作和即为大曲边梯形的面积,即

4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值就越来越接近于精确值

A.记,则当

时,所有小区间的长度

都趋于零,于是

二、收益问题问题：设某商品的价格是购买量Q的函数(其中Q为连续变量),当购买量从

a

变动到

b时的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1个点

把区间[a,b]分成

n

个小区间,每个购买量段

上的购买量为,相应的收益为

从而总收益为

二、收益问题2.近似：当

很小时,在小区间

上变化也很小,可近似看作价格不变,任取一点,把

作为该段的近似价格,因此该段的近似收益为3.作和：将n

段的收益加起来,即得收益R

的近似值4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值越来越接近于精确值

R.记,于是

二、收益问题共同点：曲边梯形的面积和收益问题的计算,都采取了“分割—近似—作和—取极限”这些步骤,从而转为相同结构和式的极限定积分的概念Chapter2

一、定积分的定义

一、定积分的定义积分和

一、定积分的定义

二、定积分存在定理

三、定积分的几何意义几何意义：

三、定积分的几何意义几何意义：定积分的性质Chapter3

一、定积分的性质性质1、2(线性性质)

(其中

为常数).性质3(积分可加性)

一、定积分的性质性质4如果在区间

上,,则

性质5如果在

上,,则

性质7性质6如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质8如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质9(积分中值定理)设

在区间

上连续,则在区间

内至少存在一点

c,使得

注：数

称为函数

在区间

上的平均值.

几何解释

积分中值定理的几何意义在区间

上至少存在一点

使以区间

为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为

的矩形的面积.

练习例1

练习例2

小结小结小结谢谢！

§4.2

微积分基本定理

CONTENT1

积分上限函数及其导数目录2

微积分基本定理

引言积分学要解决的两个问题：一是原函数的求法问题；

二是定积分的计算问题.

如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的.因此,寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键.

引言

不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念,但是,牛顿和莱布尼茨发现并找到了这两个概念之间的内在联系,即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿—莱布尼茨公式.从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学.积分上限函数及其导数Chapter1

一、积分上限函数变上限定积分

二、微积分基本定理

二、微积分基本定理

练习例3

练习例4

微积分基本定理Chapter2

一、微积分基本定理注：该定理称为微积分基本定理.

一、微积分基本定理

练习例5

练习例5

练习例6

练习例7

小结谢谢！

§4.3

换元积分法和分部积分法

CONTENT1换元积分法目录2

分部积分法

积分法换元积分法Chapter1

一、换元积分法

一、换元积分法

一、换元积分法例8

一、换元积分法例9

一、换元积分法例10

二、练习例11

一、换元积分法换元公式可以反过来使用:

二、练习重要结论对称区间上奇偶函数的定积分例12

二、练习例13分部积分法Chapter2

一、分部积分法

二、练习例14

二、练习例15

二、练习例16小结1、换元积分法2、分部积分法谢谢！

§4.4

定积分的应用

CONTENT1平面图形的面积目录2旋转体的体积3在经济上应用平面图形的面积Chapter1

一、元素法用定积分解决的问题的特点:所求量联系着一个基本区间所求量对区间具有可加性应用定积分解决实际问题的常用方法元素法元素法的主要步骤:选取积分变量,确定积分区间求出所求量对应于一个小区间的元素写出所求量积分表达式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不变代变曲线与直线及x

轴所围曲边梯形面积元素法:积分变量:x积分区间:[a,b]面积元素:

一、元素法所求面积:定积分几何意义

二、平面图形的面积

二、平面图形的面积

二、平面图形的面积

三、练习例17例18

三、练习较繁！

三、练习例19

三、练习例20旋转体的体积Chapter2

一、旋转体的体积求由连续曲线段绕

x轴旋转一周围成的立体体积.元素法:积分变量:x积分区间:[a,b]体积元素:所求体积:

一、旋转体的体积类似地:

一、旋转体的体积类似地:

二、练习例21

二、练习例22在经济上应用Chapter3

一、在经济上应用

二、举例例23

二、举例例24小结1、元素法2、平面图形的面积3、旋转体的体积4、经济应用谢谢！

第五章多元函数微积分学

§5.1空间解析几何简介

CONTENT1

空间直角坐标系2空间任意两点间的距离目录3曲面与方程空间直角坐标系Chapter1平面解析几何空间解析几何

第一部分：空间直角坐标系空间任意两点间的距离Chapter2平面解析几何空间解析几何

第二部分：空间任意两点间的距离曲面与方程Chapter3例1请写出空间直角坐标系中,球心在原点、半径为R的球面方程

解

第三部分：曲面与方程平面解析几何

平面曲线空间解析几何

空间曲面第三部分：曲面与方程第三部分：曲面与方程例2求三个坐标平面的方程

解

第三部分：曲面与方程例3

解

第三部分：曲面与方程例

一般地，在空间中，三元一次方程

§5.2多元函数的概念CONTENT1多元函数的定义2二元函数定义域的几何表示目录3二元函数的几何意义多元函数的定义Chapter1第一部分：多元函数的定义

第一部分：多元函数的定义

二元函数因变量依赖两个自变量的函数关系因变量自变量使算式有意义的自变量所组成的点集称为二元函数的定义域第一部分：多元函数的定义例4

例5

第一部分：多元函数的定义例6

例7

第一部分：多元函数的定义例8

解二元函数定义域的几何表示Chapter2第二部分：二元函数定义域的几何表示

第二部分：二元函数定义域的几何表示

例例

解

解第二部分：二元函数定义域的几何表示

例例

解

解二元函数的几何意义Chapter3第三部分：二元函数的几何意义

第三部分：二元函数的几何意示

例9

解§5.3二元函数的极限与连续CONTENT1二元函数的极限2二元函数的连续目录二元函数的极限Chapter1平面上两点之间的距离

第一部分：二元函数的极限平面上的邻域

第一部分：二元函数的极限平面上的邻域

第一部分：二元函数的极限定义

或第一部分：二元函数的极限例10

例11

解第一部分：二元函数的极限

解例11

解

不存在第一部分：二元函数的极限二元函数的连续Chapter2第二部分：二元函数的连续

§5.4偏导数与全微分CONTENT1偏导数2高阶偏导数目录3全微分4全微分的应用偏导数Chapter1第一部分：偏导数

第一部分：偏导数

第一部分：偏导数

例12

第一部分：偏导数解

例13

第一部分：偏导数解

高阶偏导数Chapter2第二部分：高阶偏导数

例14

第二部分：高阶偏导数解

全微分Chapter3第三部分：全微分

第三部分：全微分

第三部分：全微分偏导数存在，函数不一定可微；偏导数存在且连续，函数一定可微总结

例16第三部分：全微分解

例17第三部分：全微分解

全微分的应用Chapter4第四部分：全微分的应用

要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高为4米，厚度均为0.01米，求需用材料多少立方米.例18第四部分：全微分的应用解

§5.5复合函数的微分法与隐函数的微分法CONTENT1复合函数的微分法2隐函数的微分法目录复合函数的微分法Chapter1第一部分：复合函数的微分法

第一部分：复合函数的微分法

第一部分：复合函数的微分法

例19

第一部分：复合函数的微分法解

例20

第一部分：复合函数的微分法

解

第一部分：复合函数的微分法

例21

全导数

例22

第一部分：复合函数的微分法解

隐函数的微分法Chapter2第二部分：隐函数的微分法

例23

第二部分：隐函数的微分法解

所以第二部分：隐函数的微分法

例24

第二部分：隐函数的微分法解

所以

§5.6二元函数的极值CONTENT1二元函数的极值2条件极值与拉格朗日乘数法目录二元函数的极值Chapter1第一部分：二元函数的极值

第一部分：二元函数的极值极值存在的必要条件

例25

解

第一部分：二元函数的极值第一部分：二元函数的极值极值存在的充分条件

例26

第一部分：二元函数的极值解

例27

第一部分：二元函数的极值解

第一部分：二元函数的极值解

条件极值与拉格朗日乘数法Chapter2第二部分：条件极值与拉格朗日乘数法

例28

第二部分：条件极值与拉格朗日乘数法解

所以拉格朗日函数为

第二部分：条件极值与拉格朗日乘数法解拉格朗日函数

§5.7二重积分CONTENT1二元函数的极值2条件极值与拉格朗日乘数法目录二重积分的基本概念和性质Chapter1第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

第一部分：二重积分的基本概念和性质

拉长求和“sum”

和的极限“limitsofsums”

积分区域积分符号积分变量被积函数微分第一部分：二重积分的基本概念和性质二重积分的性质

二重积分的性质第一部分：二重积分的基本概念和性质

二重积分的性质第一部分：二重积分的基本概念和性质

二重积分中值定理第一部分：二重积分的基本概念和性质

二重积分的计算Chapter2第二部分：二重积分的计算

第二部分：二重积分的计算先计算截面面积

再计算曲顶柱体体积

第二部分：二重积分的计算

第二部分：二重积分的计算先计算截面面积

再计算曲顶柱体体积

例29

第二部分：二重积分的计算解

例30

第二部分：二重积分的计算解

例31

第二部分：二重积分的计算解

例32

第二部分：二重积分的计算

例32

第二部分：二重积分的计算

例32

第二部分：二重积分的计算

例32

第二部分：二重积分的计算

§6.1

微分方程基本概念

第六章微分方程CONTENT目录1微分方程定义2

微分方程得解例1.

例1.

例2.

例3.

例3.

如含有未知函数的导数(或微分)的方程称为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程.常微分方程;未知函数是多元函数的方程为偏微分方程.微分方程的阶.一阶一阶二阶一阶

一般的n阶微分方程为或已解出最高阶导数定义

284代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解的分类(1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解确定了通解中任意常数以后的解.如方程通解通解特解特解285初始条件用来确定任意常数的附加条件.如前例,一阶方程二阶方程的初始条件表示为的初始条件表示为即为初始条件，例4.

§6.2

一阶微分方程

CONTENT目录1可分离变量微分方程3一阶线性微分方程2

一阶齐次微分方程

转化

可分离变量微分方程解分离变量方程

可分离变量方程形如的一阶微分方程叫做可分离变量方程

.两边积分,则有即形如的方程都叫做可分离变量方程.可化为已分离变量形式求解.或

分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0

时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.可分离变量方程，求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解例5.例5.例6.例6.例7.二、齐次方程形如的方程叫做一阶齐次微分方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替

u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例8例8例9例9303一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;非线性的.齐次的;非齐次的.线性一阶

自由项一阶线性微分方程特点：右边是已知函数，左边每项中仅含304齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò3052.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.设想非齐次方程

待定函数线性齐次方程的通解是的解是306从而C(x)满足方程307即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法..)()(dd的解是xQyxPxy=+308用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程得到通解公式(10)：注解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，也可以用常数变易法.对应齐次方程通解非齐次方程特解

上式表明

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

例10例11例12例12§6.3

可降阶的高阶微分方程

CONTENT目录1高阶微分方程定义3

型的微分方程4

型的微分方程2

型的微分方程

一、高阶微分方程

定义：二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程。一般形式为：

或对于有些特殊的高阶微分方程，我们可以通过某种变换降为较低阶微分方程加以求解，所以称为“降阶法”。

下面我们介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法：

二、型的微分方程解法：特点：等式右端仅含有自变量x在两边积分则