线性代数（财经类） 课件 1.3 行列式的性质

§1.3行列式的性质一、前言

n阶行列式共有n!项

因此用定义计算n阶行列式是较为困难的

只有三角形等特殊行列式用定义计算比较方便

我们已经知道三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积

因此我们想到能否把一般的行列式化成三角形行列式来计算

这就需要研究行列式的性质

二、行列式的性质

将行列式D的行与列互换后得到的行列式

称为D的转置行列式

记为DT

即如果行列式的转置：则二、行列式的性质记D的一般项为行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.

性质1证明它的元素在D中位于不同行、不同列,因而在DT中位于不同列、不同行.所以这n个元素的乘积在DT中应为由定理3可知,其符号也是因此,D与DT是具有相同项的行列式,所以DT=D.

行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.说明：二、行列式的性质互换行列式的两行(列),行列式变号.性质2例如交换

i,j两行记作

，交换

i,j两列记作.说明：如果行列式D的两行(列)完全相同,那么此行列式为零.推论1互换相同的两行,有证明二、行列式的性质行列式的某一行(列)的所有元素都乘以

k所得的新行列式等于原行列式乘以

k.性质3第

i行(或列)乘以

k，记作

(或

).说明：二、行列式的性质行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式记号外面.推论2第

i行(或列)提出公因子

k，记作

(或

)，有说明：二、行列式的性质若行列式中有两行(列)元素成比例，则该行列式为零.推论3证明练习计算行列式例1解因为第一列与第二列对应元素成比例,根据推论3,得练习解设,求.例2练习例二、行列式的性质若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，如第

i

行的元素都是两数之和，即性质4二、行列式的性质则

D

等于下列两个行列式之和如果行列式某一行(列)的每个元素都写成

m个数(m为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成

m个行列式的和.推论4二、行列式的性质将行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个数后加到另一列(行)的对应元素上去，行列式不变.性质5以数

k乘以第

i行加到第

j行上，记作

，以数

k乘以第

i列加到第

j列上，记作

.说明：二、行列式的性质例如行：row×k二、行列式的性质例如×k列：column二、行列式的性质计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角行列式,从而算得行列式的值。具体步骤：设第一列第一行的元素不为0，如果第一列第一行的元素为0，先利用性质2，将第一行与其他行交换，使第一列第一行的元素不为0；然后利用性质5，把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使第一列除第一行元素外其他行元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次做下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值.练习解计算行列式

例3化为上三角行列式练习化为0不变不变化为0化为0不变练习相乘练习解计算行列式

例4化为上三角行列式练习练习练习计算行列式

例练习练习解计算n阶行列式

例5化为三角形行列式将

列都加到第一列得

练习练习计算行列式

例6解给定行列式是

阶行列式.

将行列式的第一行加到第二行上，再将新的第二行加到第三行上，

，直到将新的第

n行加到第

行上，可得练习练习例7设证明：练习解对

作运算

，可将其化为下三角行列式，不妨设对

作运算

，可将其化为下三角行列式，设为练习

于是，对

D的前

r行作运算

，再对后

列运算