27.2.1 相似三角形的判定 平行线分线段成比例课件 2023-2023学年人教版九年级数学

平行线分线段成比例27.2.1相似三角形的判定|27.2.1相似三角形的判定

新知探究活动一：

1.下列两个三角形满足什么条件是相似三角形？2.类比全等三角形的判定相关知识你想到了什么？ABCA′B′C′活动二：

如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.(1)计算的值，你发现了什么结论？(2)用自己的语言总结一下你的发现？ACEBDFl4l5l1l2l3两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例定理ABCDEFl4l5l3l2l1∵

l3∥l4∥l5，∴

活动三：已知

l1∥l2∥l3，图中对应成比例线段成立吗？请总结你的发现？ABCDEFl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例定理推论∵DE∥BC，针对练习如图，在△ABC中，DE∥BC，若则等于(

)A.B.C.D.C如图，DE∥BC，，则

；若

FG∥BC，

，则

.ABCEDFG典例讲解例2

如图，在

△ABC中，已知DE∥BC.求证：△ABC∽△AEDBCADE证明：在△ADE与△ABC

中，∠A

=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE

=∠B，∠AED

=∠C.如图，过点

E

作

EF∥AB，交

BC于点

F.CABDEF∵DE∥BC，EF∥AB，∴且四边形

DEFB

为平行四边形．∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定三角形相似的定理∵DE∥BC，ABCDE∴△ADE∽△ABC.“A

”型

“X

”型DEABC例2如图，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果

E、F

分别是AB和AC上的点，AE=BE

=

7，FC=4，那么AF的长是多少？(2)若

AB=10，AE

=

6，AF=5，则FC的长是多少？ABCEF(1)解：∵EF∥BC，∴

∴解得AF=4.(2)若

AB=10，AE

=

6，AF=5，则FC的长是多少？解：∵EF∥BC，∴∴解得AC=.∴FC=AC－AF=ABCEF例3

如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于(

)A．40°

B．60°

C．80°

D．100°C例3

如图，F是

ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.

（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.同理可得

课堂小结定义相似三角形相似三角形平行线分线段成比例判定相似比各角分别相等、各边成比例定理判定两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例ABCDEFl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1ABCDEl4l5l3l2l1∵

l3∥l4∥l5，∴

“A”型

“X”型DEABCABCDE平行线分线段成比例定理课堂练习1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为

1

:

2，若BC

=

1，则EF的长为(

)A.1B.2C.3D.4BCAEFDB2.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE

=

2cm，BE

=

6cm，BC=4cm，则

EF的长为

()AABCEFA.1cmB.cm

C.2

cmD.3cm如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(

)A．0对B．1对C．2对D．3对D如图，在□

ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3,

EF=4，求CD的长．解：∵EF∥AB，DE:EA=2:3，DACBEF∴

即∴△DEF∽△DAB.解得AB=10.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=10.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC.∴△AEH∽△ABC.

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定三角形相似的定理∵DE∥BC，ABCDE∴△ADE∽△ABC.“A

”型

“X

”型DEABC新知探究活动一：任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC的各边长的

k倍1.猜想这两个三角形的角相似吗？说说你的理由？2.你从中得出什么结论？ABCA’C’B’如图，在△ABC和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.

ABCA’C’B’DE证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得△A′DE∽△A'B'C'.∴DE=BC，A′E=AC.∴

△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.三边成比例的两个三角形相似.三角形相似的判定定理(一)∵，∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA’C’B’典例讲解例1已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(2)AB＝

4，BC＝8，

AC＝10，DE＝

20，

EF＝16，DF＝8.(1)AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝

6，EF＝

8，DF＝

9；∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).例2

如图，在△ABC和△ADE中，

∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ABCDE解：∵例3

图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？图1图2例3要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？

课堂小结预备定理相似三角形判定(一)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例三边成比例的两个三角形相似课堂练习图中的两个三角形是否相似？为什么？解：相似.理由如下：∵∴

两个三角形的三边成比例．∴

这两个三角形相似．152025273645

B如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(

)D

如图，，求证：∠BAD＝∠CAE.证明：

∵∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.

如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是相同的正方形．(1)△ACF与△GCA相似吗?说说你的理由．(2)求∠1＋∠2的度数．(1)解：△ACF∽△GCA.理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为：AC＝，CF＝a，AF＝

，△ACG的三边长分别为：AC＝

，CG＝2a，AG＝.∴∴∴

△ACF与△GCA相似．∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF，∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.(2)解：

如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形ABCD的边长为a.∵Q是CD的中点，∴DQ＝CQ＝

a.∵BP＝3PC，∴PC＝

a，∴AQ＝

PQ＝

∴∴△ADQ∽△QCP.知识回顾预备定理相似三角形判定(一)平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例三边成比例的两个三角形相似新知探究ABCA’C’B’活动一：利用刻度尺和量角器画△ABC

和△A′B′C′，使∠A

=∠A′，1.猜想这两个三角形的角相似吗？说说你的理由？2.你从中得出什么结论？DE两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三角形相似的判定定理(二)∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA’C’B’∵∠A=∠A′，活动二：判定二得两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

思考夹角相等改成任意一角相等，成立吗？说说你的理由？B″ABCA’C’B’典例讲解例1在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，

BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴∴△DEF∽△ABC.例2不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是(

)A.B.

，且∠A＝∠A′C.

，且∠B＝∠A′D.

，且∠B＝∠C′D例3

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC．∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△ADE．ABCDE例4如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED∴∴∴知识小结相似三角形的判定A′B′C′ACBDEDE//BC∠A=∠A′△ABC∽△A′B′C′.课堂练习1.判断对错：(1)两个等边三角形相似．()(2)两个直角三角形相似．()(3)两个等腰直角三角形相似．()(4)有一个角是

50°

的两个等腰三角形相似．()×√√×如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论中一定正确的是

(

)A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似B如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA

的条件是

(

)A.AC:BC

=

AD:BD

B.AC:BC

=

AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证：△ABC∽△AED.

ABCDE证明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△AED.

证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.

∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD