河南省平顶山市汝州第五中学高二数学理测试题含解析

河南省平顶山市汝州第五中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C：x2+y2﹣2x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A．圆心P（1，3），半径r=10 B．圆心P（1，3），半径C．圆心P（1，﹣3），半径r=10 D．圆心P（1，﹣3），半径．参考答案：D【考点】圆的一般方程．【分析】根据已知中圆的一般方程，利用配方法，可将其化为标准方程，进而得到圆的圆心坐标及半径．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+6y=0的方程可化为，（x﹣1）2+（y+3）2=10，故圆心P的坐标为（1，﹣3），半径r=故选D2.右边给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列；从第三行起，每一行

的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第

行第列的数为，则

＝（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：C3.设双曲线﹣=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A． B．5 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得，进而根据c=求得即离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，有唯一解，所以△=，所以，，故选D4.若实数成等比数列，非零实数分别为与，与的等差中项，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比（）A． B． C． D．参考答案：C6.若sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)等于()A．

B.

C．

D.参考答案：B略7.若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是

（

）A．圆锥

B．四棱锥

C．三棱锥

D．三棱台参考答案：C8.从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率．【解答】解：从5个数字中随机抽取2个不同的数字共有=10种不同的抽取方法，而两数字和为偶数则必然一奇一偶，共有×=6种不同的抽取方法，∴两个数的和为奇数的概率P==．故选C．【点评】本题考查了古典概型的概率公式，通常使用列举法来计算，有时也可用排列组合公式来解决．9.下列表示图书借阅的流程正确的是（）A．入库阅览借书找书出库还书B．入库找书阅览借书出库还书C．入库阅览借书找书还书出库D．入库找书阅览借书还书出库参考答案：B略10.设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（

）A．直角三角形

B.钝角三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面的程序运行后的结果为__________(其中：“（a+j）mod

5”表示整数(a+j)除以5的余数）参考答案：012.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．参考答案：30°【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°13.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，得，解得（负值已舍去）”.可用类比的方法，求的值为

▲

．参考答案：14.（1+x）5（1﹣）5的展开式中的x项的系数等于．参考答案：10【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1+x）5（1﹣）5的展开式中的x项的系数等于展开式中的x项的系数等于左边的次数与右边次数和为1的所有项的系数和，由此规律计算出答案．【解答】解：（1+x）5的展开式的通项公式为C5rxr，（1﹣）5的展开式的通项公式为（﹣1）kC5kx﹣k，展开式中x项的系数等于C51C50﹣C52C51+C53C52﹣C54C53+C55C54=5﹣50+100﹣50+5=10故答案为：1015.设，现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确命题的序号为

.参考答案：①④16.命题“如果＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________参考答案：略17.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．参考答案：（1）241920种排法．2分（2）10080种排法．2分（3）种2分（4）2880种2分

（5）种．2分略19.已知椭圆C的焦点在坐标轴上，对称中心为坐标原点，且过点和.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求证：是定值.参考答案：（1）（2）见解析.【分析】（1）设椭圆的标准方程为1，代入两点和计算即得结论；（2）先考虑斜率不存在时得=是定值，斜率存在时，设其方程为，与椭圆联立，向量坐标化结合韦达定理计算，利用原点到直线的距离为整理得即可求解【详解】（1）设椭圆的标准方程为：1，则，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，此时不妨设=是定值，同理得=是定值当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意得①直线与椭圆联立消去得，设故则将①代入得，故=定值【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查韦达定理，注意解题方法的积累，属于中档题．20.设，(1)证明：；(2)解不等式.参考答案：解：(1)，.

分(2)当时，，解集为；

分当

时，

，解集为；

分当时，，解集为.

分综上所述，的解集为.

分21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，，所以，所以.又因为，

所以平面.

……………4分（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结，，，则，且.由已知，所以.又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，所以平面.

……………8分（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.

………