2022-2023学年辽宁省沈阳市第九十中学高二数学理摸底试卷含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第九十中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,那么复数在平面内对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A2.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（

）

A.3

B.4

C.

D.参考答案：C略3.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()(A)4(B)1(C)2(D)0参考答案：C4.设和为双曲线()的两个焦点,若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.3参考答案：B【知识点】双曲线因为,是正三角形的三个顶点,所以

所以

所以，

故答案为：B5.已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是(

)A．￢p1∧￢p2 B．p1∨￢p2 C．￢p1∧p2 D．p1∧p2参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及一元二次不等式解的情况，即可判断命题p1，p2的真假，根据p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系即可找出真命题的选项．【解答】解：对于不等式，判别式△=1﹣4＜0，所以该不等式无解；∴命题p1是假命题；函数f（x）=x2﹣1在上单调递增，∴对于任意x∈，f（x）≥f（1）=0，即x2﹣1≥0；∴命题p2是真命题；∴￢p1是真命题，￢p2是假命题；∴￢p1∧￢p2是假命题，p1∨￢p2为假命题，￢p1∧p2为真命题，p1∧p2为假命题．故选C．【点评】考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及根据二次函数的单调性求函数值的范围．6.若复数（i为虚数单位）则z+在复平面内对应的点的坐标是（

）．A．(0,4)

B．(0,－4) C．(4,0)

D．(－4,0)参考答案：D∵，∴∴+∴+在复平面内对应的点的坐标是故选：D

7.点（-1，2）关于直线的对称点的坐标是

（

）A．(3,2)

B．(-3,-2)

C．(-3,2)

D．(3,-2)参考答案：D略8.O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状一定为A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．斜三角形参考答案：C9.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案： A【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．10..已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为(

)A. B. C. D.参考答案：D因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.参考答案：6.812.我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是

。参考答案：更相减损术13.椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．参考答案：14.在复平面内,O是原点，向量对应的复数3+，如果A关于实轴的对称点B，则向量对应的复数为

.参考答案：15.命题?x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为

．参考答案：?x∈R，x2﹣2x+4＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题?x∈R，x2﹣2x+4≤4的否定是：?x∈R，x2﹣2x+4＞0．故答案是?x∈R，x2﹣2x+4＞4．16.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.参考答案：略17.已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为

．参考答案：（﹣∞，]【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（3x）≥9x2+3x+1=（3x）2+3x+1，∴f（3x）﹣[（3x）2+3x]≥1，∴g（3x）≥1=g（1）∴3x≤1，解得x≤，故不等式的解集为（﹣∞，]故答案：（﹣∞，]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）正四面体棱长为a，求其内切球与外接球

的表面积。参考答案：解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，，连接，在Rt△中，连结与交于，由Rt△Ｒｔ△，∴，同理可证到另二面的距离也等，∴为四面体外接球与内接球的球心，由△∽△，∴，∴19.已知圆和抛物线，圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，的面积为p，其中F是E的焦点.（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题意表示的面积，解出p值，即可求出抛物线的方程；（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．【详解】（1）由题意知，圆的标准方程为，圆心坐标为.抛物线的焦点，准线方程为，将代入圆方程，得，∴，的面积为，∴，∴抛物线的方程为.（2）设的直线方程为，，，联立方程组得：，消去，整理得，令，得.由韦达定理得，①则.由于，可得.即，②将①代入②整理得.由于得，则直线过定点，当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时，则直线的斜率为，所以直线的方程为.【点睛】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．20.（本题10分）已知函数时都取得极值.（1）求的值；（2）求函数极小值及单调增区间。参考答案：21.（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）当时，求函数值域。参考答案：（I）所以，…3分则

………………5分所以函数的最小正周期为.

…………6分（II）由，得，则，

………10分则，所以值域为

……………12分22.某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070如果y与x之间具有线性相关关系．（1）求这些数据的线性回归方程；（2）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．附：线性回归方程中，，．参考答案：【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（1）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．（2）将x=9百万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额．【解答