二项式系数的性质 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2

二项式系数的性质一、知识回顾

二项式定理(a+b)n=an+

an-1b1+…+an-kbk+…+bn，n∈N*

右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式

各项的系数

(k=0、1、2，…、n)叫做二项式系数

式中的

an-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项:

Tk+1=

an-kbk注意①二项展开式共有n+1项②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此；

各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此.

计算(a+b)n的展开式的二项式系数，并填入下表你发现了什么规律?二、探究新知n(a+b)n的展开式的二项式系数123456每一行中的系数具有对称性11121133114641151010511615201561二、探究新知

除每一行中的系数具有对称性，还有什么规律呢?为了便于发现规律,上表还可以写成如下图所示的形式.

表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律.(a+b)1‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧11(a+b)2‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧121(a+b)3‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧1331(a+b)4‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧14641(a+b)5‧‧‧‧‧‧‧‧‧15101051(a+b)6‧‧‧‧‧1615201561

观察上图，你还能发现哪些规律?

对于(a＋b)n的展开式的二项式系数

，

，

，…

，

，我们还可以从函数的角度分析它们.

可看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是

{0，1，2，…，n}.

对于确定的n，我们还可以画出它的图象.例如,当n=6时，函数f(r)=

(r∈{0，1，2，3，4，5，6})的图象是7个离散点，如右图所示.

(1)观察上图，你发现了什么规律?

(2请你分别画出n=7，8，9时函数f(r)=

的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律?

分析前面的图，可以得到二项式系数的以下性质.二、探究新知

你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗?1.对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

事实上，这一性质可直接由

得到.

直线r=将函数f(r)=

的图象分成对称的两部分,它是图

象的对称轴.三、二项式系数的性质2.增减性与最大值因为即

所以就有：(1)增减性：当

时，

随k的增加而增大；当

时，

随k的增加而减小.(2)最大值：当n是偶数时,中间的一项

取得最大值；当n是奇数时,中间的两项

与

相等,且同时取得最大值.三、二项式系数的性质3.各二项式系数的和

这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.(1+x)n=+

x+x2+…+xk+…+xn已知令x=1得2n=+++…+三、二项式系数的性质四、精典例题例1求证:

在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于

偶数项的二项式系数的和.

实际上，a、b既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的,

我们可以根据具体问题的需要灵活选取a、b的值.四、精典例题例2求值：四、精典例题例3五、课堂小结1.对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

2.增减性与最大值(1)增减性：当

时，

随k的增加而增大；当

时，

随k的增加而减小.(2)最大值：当n是偶数时,中间的一项

取得最大值；当n是奇数时,中间的两项

与

相等,且同时取得最大值.3.各二项式系数的和

+++…+=2n