18.1.1 平行四边形的性质 （第1课时） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

平行四边形（第1课时）观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？新知定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

判定：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD

是平行四边形．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

性质：∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．

注意：当表示一个平行四边形时，字母要按照一定的顺序排列，顺时针、逆时针排列均可．ABCD我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形，对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？新知ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻边．

对边邻边有公共顶点的边没有公共顶点的边边

_____________________是▱ABCD

的两组对边．平行四边形的基本元素：AB

和AD，AD

和CD，CD

和BC，BC

和ABAB

和CD，AD

和BCABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻角．对角邻角有公共边的角没有公共边的角角

______________________是▱ABCD

的两组对角．平行四边形的基本元素：∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B∠B

和∠D，∠A和∠C问题由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ABCD探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°∠B＝∠D，∠A＝∠C．

探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

思考：你能证明这些猜想吗？ABCD

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形ABCD

是平行四边形．求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．ABCD证明：如图，连接BD．∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB．即∠ABC＝∠ADC．又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB

（ASA）．∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．ABCD∴∠B＝∠D．同理可证明∠A＝∠C．

符号语言：

∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．新知

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（1）∵四边形ABCD

是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（2）∵四边形ABCD

是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵▱ABCD

的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD总结在平行四边形中，可“知一求三”

在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．

例2

如图，在▱ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．ABCDEF

解：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB

＝90°．∴△AED≌△CFB

（AAS）．∴AE＝CF．

DE＝BF吗？相等，理由如下：如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？问题∵AB∥CD，AC∥BD，∴AB＝CD（平行四边形的性质）．∴四边形ABDC

是平行四边形（平行四边形的定义）．ACBDabcd两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？思考

∴c∥d，即AB∥CD．∵c⊥b，d⊥b，∵AC∥BD，ACBDabcd如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．如图，a∥b，A

是a

上的任意一点，AB⊥b，B

是垂足，线段AB

的长就是a，b

之间的距离．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．BAba新知点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？思考任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．G

例3

如图，直线a∥b，点A，E，F

在直线a

上，点B，C，D

在直线b

上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则S△ABC＝

BC·AG，S△DEF＝