2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 轴对称图形与等腰三角形

轴对称图形与等腰三角形⁠考点一轴对称图形典例1

（2022·湘西州）下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（

）

思路导引根据如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析.规范解答只有选项C中的图形能找到一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合.故选C.方法归纳判断一个图形是不是轴对称图形的方法

（1）

根据定义，若一个图形能够找到一条直线，使得这个图形沿着这条直线折叠后能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形；反之，则不是.（2）

从背面看这个图形，如果看到的图形和从正面看到的图形一样，那么这个图形是轴对称图形.⁠1.

（2022·宿州期末）下列标志中，是轴对称图形的为（

A

）

A考点二线段的垂直平分线典例2

（2022·贵港期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，D是BE的中点，连接AE.（1）

若∠C＝35°，求∠BAE的度数.（2）

若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长.思路导引

（1）

利用垂直平分线的性质可得EA＝EC，进而可得∠EAC＝∠C＝35°，利用三角形的外角的性质可得∠AEB＝∠EAC＋∠C＝70°，再证AD垂直平分BE，推出∠ABE＝∠AEB＝70°，最后利用三角形的内角和定理即可求解.（2）

利用垂直平分线的性质可得AC＝2CF，CE＝AE＝AB，DB＝DE，通过等量代换可得AC＋CB＋AB＝AC＋2CD.规范解答

（1）

∵

EF垂直平分AC，∴

EA＝EC.∴∠EAC＝∠C＝35°.∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝70°.∵

D是BE的中点，AD⊥BC，∴

AD垂直平分BE.∴

AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB＝70°.∴∠BAE＝180°－∠ABE－∠AEB＝40°.（2）

∵

EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，∴

AC＝2CF＝2×3＝6（cm），CE＝AE＝AB，DB＝DE.∴

AC＋CB＋AB＝AC＋CD＋DB＋AB＝AC＋CD＋（DE＋CE）＝AC＋2CD＝6＋2×4＝14（cm），即△ABC的周长是14cm.方法归纳利用线段垂直平分线的性质解决三角形的周长问题

在解利用线段垂直平分线的性质解与三角形周长相关的题目时，经常先利用线段垂直平分线的性质，把三角形的一条边转化到另一个三角形的某一条已知边上，然后借助整体思想来解决.⁠2.

（2022·青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是

40°

⁠.

（第2题）40°

3.

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF.（1）

判断DE与AC之间的位置关系，并证明.解：（1）

DE∥AC.∵

AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD.∵

EF垂直平分AD，∴

AE＝DE.∴∠BAD＝∠EDA.∴∠CAD＝∠EDA.

∴

DE∥AC.（第3题）（2）

求证：∠C＝∠EAF.

（第3题）考点三等腰三角形的性质和判定典例3

（2022·温州）如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E.（1）

求证：∠EBD＝∠EDB.（2）

当AB＝AC时，请判断CD与DE之间的数量关系，并说明理由.思路导引

（1）

利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论.（2）

利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE.由（1），得∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可.规范解答

（1）

∵

BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBD.∵

DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB.∴∠EBD＝∠EDB.（2）

CD＝DE.理由：∵

AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵

DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC.∴∠ADE＝∠AED.∴

AD＝AE.∴

AC－AD＝AB－AE，即CD＝BE.由（1），得∠EBD＝∠EDB，∴

BE＝DE.∴

CD＝DE.方法归纳等腰三角形中线段相等的证明思路

证明两条线段相等时，如果直接证明比较困难，那么我们通常把其中的一条线段转化成与另一条线段有公共端点的线段，然后通过证明等腰三角形得到它们相等，最后运用等量代换证得结论成立.⁠4.

（2022·合肥庐江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的平分线交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（

B

）A.6B.5C.4D.3B5.

（2022·淮南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为

13

⁠.

13

6.

（2022·桐城期末）在△ABC中，BA＝BC，点D在边CB上，且BD＝AD＝AC.（1）

如图①，∠B＝

36

⁠°，∠C＝

72

⁠°.

（2）

如图②，M为线段BD上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H，分别交直线AB，AC于点N，E.①

求证：△ANE是等腰三角形.36

72

解：①

∵

在△ADB中，AD＝BD，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°.∵

在△ACD中，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝72°.∴∠CAD＝36°.∴∠BAD＝∠CAD.

∵

MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°.∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形.②

CD＝BN＋CE.由①，易知AN＝AE.又∵

BA＝BC，BD＝AC，∴

BN＝AB－AN＝BC－AE，CE＝AE－AC＝AE－BD.∴

BN＋CE＝BC－BD＝CD，即CD＝BN＋CE.②

试写出线段BN，CE，CD之间的数量关系，并加以证明.考点四等边三角形的性质与判定典例4

（2022·南宁期中）如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点，连接CM，CN，MN.（1）

求证：AD＝BE.（2）

求∠DOE的度数.（3）

求证：△MNC是等边三角形.思路导引

（1）

根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可.（2）

根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE＋∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可.（3）

求出AM＝BN，根据“SAS”证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可.

（2）

∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°.∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.∴∠DOE＝180°－（∠ADE＋∠BED）＝60°.

方法归纳等边三角形的判定方法

（1）

若已知三边关系，则一般选用定义法；（2）

若已知三角关系，则一般选用推论1；（3）

若已知三角形是等腰三角形，则一般选用推论2.⁠7.

（2022·铜陵期末）如图，在等边三角形ABC中，D是边BC上不与两端点重合的点，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，连接ED，FD.下列结论中，不一定正确的是（

C

）A.

EA＝EDB.∠EDF＝60°C.

DF⊥ACD.∠2＝2∠1（第7题）C8.

如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分线于点E，连接AE.如果按边分类，那么△ADE是

等边

⁠三角形.

等边

9.

（2022·北海期中）已知△ABC是等边三角形.（1）

如图①，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.解：（1）

∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵

DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°.∴△ADE是等边三角形.（2）

如图②，△ADE是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求出∠BEC的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由.

考点五角平分线的性质与判定典例5

（2022·柳州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，FD＝DB.求证：（1）

CF＝EB.（2）

AB＝AF＋2EB.思路导引

（1）

根据角平分线的性质证明Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.（2）

利用角平分线的性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得AC＝AE，再将线段AB进行转化.

方法归纳角平分线＋双垂直的应用当条件中出现“角平分线＋双垂直”时，常考虑角平分线的性质，从而得到线段相等，这为证明三角形全等创造了条件，再通过证明三角形全等得到线段或角相等.⁠10.

如图，P是∠AOB的平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D.（1）

求证：点C在线段OP的垂直平分线上.解：（1）

∵

P是∠AOB的平分线上的一点，∴∠BOP＝∠AOP.

∵

PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∴∠CPO＝∠BOP.∴

CP＝OC.∴

点C在线段OP的垂直平分线上.（2）

若∠AOB＝30°，OC＝6，求PD的长.

⁠1.

（2022·阜阳期中）如图，在△ABC中，作边AB的垂直平分线MN，分别与边AB和边BC交于点M和点N，作边AC的垂直平分线PQ，分别与边AC和边BC交于点P和点Q，△AQN的周长为13，且QN＝2，则BC的长为（

B

）A.8B.9C.10D.11（第1题）B2.

（2022·芜湖期中）如图，A，B分别是∠NOP，∠MOP的平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则下列结论错误的是（

C

）A.

AD＋BC＝ABB.∠AOB＝90°C.

与∠CBO互余的角有2个D.

O是CD的中点（第2题）C3.

（2022·蚌埠期末）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－2，4），（4，2），P为x轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为

（2，0）

⁠.

（2，0）

4.

如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边向右作等边三角形COD，连接AD.（第4题）（1）

当α＝150°时，按角分类，△AOD的形状是

直角三角形

⁠.

（2）

当α＝

125°或110°或140°

⁠时，△AOD是等腰三角形.

直角三角形

125°或110°或140°

5.

如图①所示为共顶点的△ABC和△AB'C'.若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC＋∠B'AC'＝180°，则称△ABC与△AB'C'互为“顶补三角形”.（1）

如图②，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE.求证：△ABC与△ADE互为“顶补三角形”.解：（1