山西省吕梁交城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年第一学期期末质量监测试题

九年级数学

(满分120分，考试时间120分钟)

第I卷选择题(共30分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

题号12345678910

答案

2.用配方法解一元二次方程V—4x+5=0,配方正确的是

A.(x—2f=lB.(x—2)2=—1

C.(x-4)2=1D.(x-4)2=-1

3.已知反比例函数的图象经过点(2,-4)与(-2,m),则m的值为

A.-4B.4C.-8D.8

4.下列关于二次函数y=-ax2+2ax-l{a>0)的图象和性质说法正确的是

A.该函数的图象开口向上

B.该函数的图象对称轴为直线x=-1

C.该函数的最大值为y=a-l

D.若点(-1,%)和(2,y2)是该函数的图象上的两点，则口〉内

5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同.通过多次

摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近.则估计袋子中的白球有

A.6个B.8个C.10个D.12个

6.如图，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转得到矩形A'B'CD',此时点B'恰好落在边AD

上，若点夕是AD的中点，则/DCW的度数为

A.30°B.45°C.60°D.80°

A'

第6题图第7题图

7.如图,AB〃CD,AC,BD相交于点0,若0A=l,0C=3,BD=7,则0D的长为

721

A.—B.4C.—D.5

24

8.二次函数y=ax2+Z?%的图象如图所示，则关于x的方程a/+法+5=0的解为

A.%1=0,%2=6B.—x2—3C.x1=-2,=8D.此方程无解

第8题图第9题图

CD3

9.如图，在AABC中,DE〃AB,F为AB的中点，CF交DE于点G,且——=—.则下列结论错

BD2

误的是

qa

■CE3DE_3DQACDG=J

A.---二—B.C.DG=EG

AE2~AB~5SACBA10

10.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点0,ZABC=120°,AB=4,以点0为圆心,

0B为半径作圆，分别与菱形ABCD的边相交形成如图所

示的阴影部分，则阴影部分的面积为

A.-\[3—71B.2V3---71

33

4/-4

C.17iD.4A/3---71

33

第10题图

第II卷非选择题(共90分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11.请写出一个二次函数的表达式，使其图象的对称轴为直线尤=1,与y轴的正半轴有交

点，可以是.

12.如图,AB是。的直径，弦AD平分NBAC,过点D作00的切线交AC于点E,若NBAD=23°,

则NADE=°.

第12题图第13题图

_?k

13.如图，点A在反比例函数y=——(x<0)的图象上，点B在反比例函数y=—(x>0)的

xx

图象上，AB〃x轴，点C是x轴上的一点，若△ABC的面积为3.则左的值

2

为.

14.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4,BC=6,点P是边BC上一动点，点M为线段AP上一点，

且NADM=NPAB,则BM的最小值为____________

B

X7

B2°J

C

第14题图第15题图

15.如图，在RtZkABC中，ZA=30°,ZACB=90°，BC=2,将AABC绕着点C顺时针旋转30°

得到AA，B，C,线段A'C与AB交于点D,N'B'与BC交于点E,连接DE,则。的值

为

三、解答题(本大题共8个小题，共75分)

16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)

(1)解方程：x2+3x-15=x

(2)求抛物线y=2——12x+20的顶点坐标

17.(本题7分)如图，一次函数y=kx+2与反比例函数在第一象限内的图象交于点A(2,

〃)，与y轴交于点B,与x轴交于点C(-4,0).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点P是x轴上的一个动点，当4PAB的面积为4时，求点P的坐标.

第17题图

18.（本题8分）某校为了提高课后延时服务的质量，自主研发了书法（A）,阅读（B）,

足球（C）,器乐（D）四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.

（1）学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法共有种；

（2）若学生小李和小杜各计划选修一门课程，求他们两人恰好选到同一门课程的概率.

19.（本题8分）如图，在Rtz\ABC中，NC=90°,点D是AB边上一动点，过点D作DEL

BC于点E,DF_LAC于点F,AF=百，BE=2j%.

（1）设DE=x,DF=y,请确定％与y的关系式（用x表示））,并直接写出四边形DECF

的面积;

（2）当DE=2百时，求AB的长度.

第19题图

20.(本题8分)如图，AB是。。的直径，AC是弦，点D是。。上一点，ODLAB,连接CD交

AB于点E,F是AB延长线上的一点，且CF=EF.

(1)求证：CF是。0的切线；

⑵若CF=8,BF=4,求弧BD的长度.

D

第20题图

21.(本题10分)阅读与思考

下面是小宇同学的数学论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

利用网格构造数学图形

我们知道，由许多边长为1的正方形组成如图1所示的图形叫做网格，每一个小正方

形的顶点叫做格点.利用这样的网格不仅可以构造具有位置关系的图形，还可以构造某种

数量关系的图形.

在图1的网格中，连接格点AB和CD交于点E,则ABLCD.理由如下：

根据网格的特征可知：AF=2,BF=4,DG=1,CG=2,ZAFB=ZDGC=90°,

..DG_1CG_2_1

•AF—5'BF~4~2

第21题图1

任务：

(1)请把小宇证明AB,CD的过程补充完整；

(2)请求出图1中AE的长度；

(3)在以上解答的启发下，请你作出图2中线段AB的三等分点.

22.(本题12分)综合与实践

问题情境

在△ABC中，AB=AC,点0是BC的中点，D为△ABC内一点，连接BD,DO,将线段DO绕着点

0旋转180°得到F0,连接CF.

探究证明

(1)如图1,延长BD交AC于点E,若BE,AC.求证：FC±AC；

(2)如图2,连接AF,交BD的延长线于点G,连接0G,若OG=OD,用等式表示线段AF,AB,

BD之间的数量关系，并证明；

拓展提升

(3)如图3,在(2)的条件下，AF与BC交于点H,若/BAC=90°,AB=13,DG=7,请求出GH

的长度(直接写出答案).

图1图2图3

23.(本题12分)综合与探究

1,

如图1,抛物线y=—5尤~+bx+c经过点B(4,0)和C(0,2),与x轴的另一个交点为A,

连接AC,BC.

(1)求该抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)如图1,点D是线段AC的中点，连接BD.点E是抛物线上一点，若5AABE=SABCD，设

点E的横坐标为x,请求出x的值；

(3)试探究在抛物线上是否存在一点P,使得/PB0+/0BC=45°?若存在，请直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

第23题图1第23题备用图

2023-2024学年第一学期期末质量监测试题

九年级数学答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

题号12345678910

答案DBBCACCBDD

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.答案不唯一，如：y^2x2-4x+l12.6713.314.215.7-273

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

(1)解：x2+3x-15=x

%2+2%-15=0.........................................................1分

(x+5)(x—3)=0........................................................3分

%+5=0或1-3=0........................................................4分

xl=—5,x2=3.........................................................5分

(2)解：y=2X2-12X+20

y=2(x2-6x)...............................1分

y=2(九2—6%+9—9)+20........................................................2分

y=21(x-3)2-91+20.........................................................3分

y=2(x—3y+2........................................................4分

顶点坐标为(3,2)...............................5分

17.（第一问3分，第二问4分，共7分）

（1）把C（-4,0）代入代入丁=区+2中

得：一4左+2=0

解得：k=-

2

・・・一次函数的解析式为y=;%+2.................................................................1分

把A(2,n)代入代入y=g%+2中

n—3

：.\(2,3)...............................2分

设反比例函数的解析式为y=-

X

把A(2,3)代入y=幺中

X

得左=6

.•.反比例函数的解析式为y=-..................3分

x

⑵设P(x,0)

当x=O时，y=2

AB(0,2)

.\OB=2...............................4分

VC(-4,0)

.-.CP=|^-(-4)|=|x+4|..................................................................5分

,・•0q\PAB一-°vAPAC-°vAPBC一—4

g|x+4|x3-Jx+4|x2=4.................................................................6分

|x+4|=8

X]=4,X2=—12

...々(4,0),£(—12,0)..................................................................7分

18.(第一问2分，第二问6分，共8分)

解：(1)12....................2分

(2)根据题意列表如下：

小杜ABcD

小李

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)

....................5分

由列表可知：共有16种情况，并且它们出现的机会均等，其中恰好选到同一门课程的情况

有4种：(A,A),(B,B),(C,C),(D,D)....................7分

41

AP(恰好选到同一门课程)=一=......................8分

164

19.(第一问4分，第二问4分，共8分)

解：(1)VDE±BC,DF±AC

NDEB=/AFD=90°

ZB+ZBDE=90°

ZC=90°

ZB+ZA=90°

AZBDE=ZA.......................1分

.,.△DEB^AAFD......................2分

,DEBE

x2-46

xy=6叵

四边形DECF的面积为6人......................4分

(2)当DE=2当时

把x=2百代入y=，一中

X

得y=痛......................5分

DF=-J'6

在RtABDE中

BD=」BE?+DE?=6......................................6分

同理：AD=3......................7分

.\AB=BD+AD=9......................8分

20.(第一问4分，第二问4分，共8分)

(1)证明：连接0C.....................1分

VCF=EF

NCEF二NECF

VOD±AB

/.ZD0E=90°

.•.Z0DE+Z0ED=90°

VOD=OC

AZODE=ZOCD........................2分

ZCEF=ZOED

ZOED=ZECF

；./0CD+/ECF=90°

即N0CF=90°........................3分

.\OC±CF

；.CF是OO的切线....................4分

(2)设。。的半径为r...............5分

,/BF=4第20题图

A0F=r+4

在RtAOCF中

OF2=OC2+CF2

/.(r+4)2=r2+826分

解得：r=67分

.好ccq90TTX6一

..弧BD的长为---=-------=3兀8分

180180

21.（第一问4分，第二问4分，第三问2分，共10分）

"八、*DGCG

解：(1)..---=----1分

AFBF

'：ZAFB=ZDGC=90°

AACDG^ABAF.......2分

ZC=ZB

VZC+ZCDG=90°

/.ZB+ZCDG=90°

/.ZBED=90°.........……3分

AAB1CD.............4分

(2)在RtZXABF中

AB=^AF2+BF2=2755分

：AC〃BF

.,.△ACE^ABDE....................6分

,ACAE3八

BDBE2

3

AE=-AB

5

AE=|x2V5=|V5.................................8分

(3)如图：

如图点M,N就是AB的三等分点.....................10分

22.（第一问5分，第二问5分，第三问2分，共12分）

解：（1）：F0是线段D0绕着点。旋转180°得到的

.\DO=FO,ZB0D=ZC0F...............................1分

是BC的中点

.\BO=CO.............................2分

在ABOD与△COF中

DO=FO

<NBOD=NCOF

BO=CO

：.ABOD^ACOF(SAS)....................3分

ZDBO=ZFCO

；.BE〃FC...............................4分

VBE±AC

AZBEC=90°

.,.ZFCE=90°

.\FC±AC...............................5分

(2)AB2=AF2+BDr6分

由(1)可知：DO=FO,ABOD^ACOF,BD〃CF

.*.BD=CF

,/OG=OD

.*.OG=OD=OF...............................7分

ZODG=ZOGD,ZOFG=ZOGF

,/ZODG+ZOGD+ZOFG+ZOGF=180°

.\Z0GD+Z0GF=90°

即NDGF=90°...............................8分

VBD/7CF

ZAFC=90°

图2

：.AC1=AF2+CF-......................9分

,/AB=AC

AB2=AF2+BD