第6.3.1讲平面向量基本定理-新高一数学宝典（人教A版2019）

平面向量及其应用第6.3.1讲平面向量基本定理班级_______姓名_______组号_______1．理解平面向量基本定理及其意义．2．会用基底表示向量．3．通过实例，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养．1、对基底概念的理解义2、平面向量基本定理的应用用基底表示向量利用基本定理求参数利用基本定理解决几何问题1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base)．题型1、对基底概念的理解义1．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；对于C，，和共线，不能作为一组基底，C正确；对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.故选：C.2．下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.故选：C3．已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（

）A． B．C． D．或【答案】A【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量，由与共线可得使得，即，又因为不共线，所以，所以，故选：A4．设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（）A．3 B．4C．－ D．－【答案】B【详解】因为，所以，又因为和是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故选：B．5．设，为平面内所有向量的一组基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（）A．2 B．2 C．10 D．10【答案】A【详解】.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得，即，为平面内所有向量的一组基底，，解得，.故选：A题型2、平面向量基本定理的应用（1）用基底表示向量6．在中，为边上的中线，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以由已知可得，，所以，，所以，.故选：A.7．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在平行四边形中，和相交于点，所以，又是的中点，所以，所以，所以.故选：A8．如图，在中，是的中点．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,所以，故选：D（2）利用基本定理求参数9．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，因为与的面积之比为2，则，当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；当点与点重合时，可得，此时，即，此时为最大值为，所以的取值范围为.故选：C.10．已知平行四边形中，，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】在中，，即是的中点，则，又，即，因此，而，不共线，所以，.故选：D11．如图所示，平行四边形的对角线相交于点O，，若，则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】因为平行四边形的对角线相交于点，所以，因为，所以，则.故选：B.（3）利用基本定理解决几何问题12．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】

根据向量加法的几何意义可知，当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域4，符合题意.又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以.故选：D.13．如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（

）A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3【答案】B【详解】因为为的中线，所以，设，则，故，所以，因为，所以，因为三点共线，可设，则，故，故，相加得，解得，故.故选：B14．如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为平行四边形中，是的中点，，，所以.故选：D．一、单选题1．在中，，，若，为线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】

如图所示，可知，所以.故选：A2．在中，为的中点，为的中点，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形特征进行向量运算即可.【详解】因为为的中点，为的中点，所以，又因为，，所以.故选：C3．在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为，所以，又是直线上的一点，所以，又，所以，所以.故选：B4．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值.【详解】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三点共线，∴，∴.故选：A.5．如图，在中，设，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算法则求解.【详解】由题意,故选：D．6．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定，得到，根据计算得到答案.【详解】，故，则，又是上一点，所以，解得.故选：A.7．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.【详解】

设，则，，设，，则，，因为，所以，解得，所以，即.故选：C.8．在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】直线CD和直线BE交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出，再利用三点共线，设，根据系数对应相等可得的值.【详解】由已知，则同理可得，因为直线CD和直线BE交于点F，所以设即解得.故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．在中，若，则是的中点B．已知，，是平面内任意三点，则C．若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线D．若，则为的外心【答案】ABC【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】

在中，若，则是的中点，故A正确；由三角形法则可知，，故B正确；由可得，，所以，则，，三点共线，故C正确；若，则，由平面向量的平行四边形法则可知，当为中点时，有，所以，所以为的重心，故D错误.故选：ABC.10．如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由以及向量减法运算法则得，再根据平面向量基本定理可得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以，故CD正确.故选：CD.三、填空题11．已知中，D为的中点，，若，则.【答案】【分析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可得结果.【详解】因为,所以,故;故答案为：.12．如图，已知中，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.设，则.【答案】/【分析】根据角平分线的性质得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】由于是的平分线，所以，因此，从而，又因为由平面向量基本定理可得，，则.故答案为：四、解答题13．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．(1)试用，表示、；(2)试用，表示．【详解】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，，.（2）点E在BC上，且，，则，于是，即，，所以.14．己知向量以为基底的分解式为，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.【详解】（1），则有，解得.（2），由，有，即，则，解得.15．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N