河南省三门峡市五县市2023-2024学年高一上学期1期末调研考试数学试题【含答案解析】

★2024年1月29日2023—2024学年度上学期期末调研考试高一数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，，若，则实数a的值不可以为（）A. B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再结合题目条件，分两种情况讨论，即可确定实数的值.【详解】由题，得，因为，所以，当时，无解，此时，满足题意；当时，得，所以或，解得或，综上，实数的值可以为，不可以为.故选：C2.定义在I上的函数，命题“，都有”的否定是（）A.，都有 B.，都有C.，都有 D.，都有【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】命题“，都有”是全称量词命题，其否定是：“，都有”.故选：B3.已知曲线：，：则下面选项正确的是（）A.先把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B.先把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D.先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】根据题意先进行横坐标的压缩变换，再进行横坐标的平移变换即可得答案.【详解】解：曲线：图象上的个点的横坐标缩短为原来的，坐标标不变得，再将图象上的点的向左平移个单位即可得到，即曲线.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变化，是基础题.4.医学治疗中常用放射性核素产生射线，而是由半衰期相对较长的衰变产生的．对于质量为的，经过时间t后剩余的质量为m，是以t为自变量的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到的半衰期为（）A.67.3d B.101.0d C.115.1d D.124.9d【答案】C【解析】【分析】设，根据图象列方程，化简求得半衰期.【详解】设，且，由图可知，所以，所以半衰期为.故选：D5.已知函数为R上的偶函数，，当时，都有，若，，（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数函数、指数函数等知识确定正确答案.【详解】依题意，函数为R上的偶函数，，当时，都有，所以在上单调递减，则在上单调递增.由于，所以.由于，所以，所以，即，，所以.故选：A6.设函数，且，则（）A.函数在内至少有一个零点 B.函数在内至少有一个零点C.函数在内至少有一个零点 D.函数在和内各有一个零点【答案】C【解析】【分析】根据二次函数、零点等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数，且，所以有两个零点，，，若，则，此时的两个零点分别在区间，则AD错误.若，则，，所以的两个零点，一个是，另一个在区间.若，则的符号无法判断，所以的两个零点分别在、，B选项错误.综上所述，函数在内至少有一个零点，C选项正确.故选：C7.已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（）A.①④ B.②③ C.② D.②③④【答案】B【解析】【分析】由正弦型函数的性质求对称轴方程为，结合区间对称轴条数求范围判断③；根据给定区间及正弦函数性质确定零点个数判断①；求最小正周期的范围、判断区间单调性判断②④；【详解】由函数，令，则，函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，，故③正确；①，，，，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，错误；②，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，正确；④，，，又，，又，所以在区间上不一定单调递增，错误.故选：B8.已知函数，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性定义可确定为偶函数；利用单调性定义可判断出在上单调递增，并结合偶函数性质可得到在上单调递减，利用单调性可将所求不等式化为，平方后解一元二次不等式可求得结果.【详解】由题意得：；当时，，，当时，，，为定义在上的偶函数，设，则，在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减，由得，即，解得，即的取值范围为.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列等式正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式和三角恒等变换等知识求得正确答案.【详解】，A选项正确.，B选项正确，C选项错误.，所以D选项正确.故选：ABD10.已知，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则ac2>bc2C.若，则 D.若，则【答案】CD【解析】【分析】由不等式的性质可判断ABC，由作差法可判断D.【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，若,且时，则，B错误；对于C，若，则，故，则必有，C正确；对于D，若，则，所以，D正确.故选：CD11.若函数的一条对称轴为，则（）A. B.的最小正周期为C.在区间单调递增 D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦函数图象的对称性求出，再逐项判断即可.【详解】由函数的一条对称轴为，得，解得，而，则，A正确；显然的最小正周期是，B错误；当时，，而正弦函数在上不单调，因此函数在区间上不单调，C错误；，D错误.故选：A12.已知，，且．则下列选项正确的是（）A.且 B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质、基本不等式、对数运算等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，，且，则，由，得，所以；由，得，所以，所以A选项正确.，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.由得，则，所以，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.当时，，所以D选项错误.故选：ABC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为_____________．【答案】且【解析】【分析】根据给定函数有意义列出不等式组，再解不等式组作答.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以原函数的定义域为且.故答案为：且14.在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为_________米．【答案】【解析】【详解】弯道长是半径为10，圆心角为即弧度所对的弧长．由弧长公式得弧长为．15.已知函数，在存在最大值，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】化简的解析式，根据在存在最大值列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，若，则，要使在存在最大值，则，解得.故答案为：.16.已知函数，且时，，则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】分析得出、，求出，化简代数式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，因为二次函数图象的对称轴为直线，由图可知，点、关于直线对称，则，由图可知，因为，即，即，所以，，由，可得，所以，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）在中，，，求值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据指数、对数运算求得正确答案.（2）根据同角三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】（1）．（2）在中，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以18.已知函数和的定义域都是．（1）请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象；（不要求写作法）（2）求两图象交点的横坐标，并解不等式．【答案】（1）作图见解析（2）横坐标或或或；【解析】【分析】（1）根据三角函数图象的画法画出图象.（2）通过解三角方程求得两图象交点的横坐标，结合图象求得不等式的解集.【小问1详解】作图如下：【小问2详解】由，得，解得或，因为，所以或或或．结合（1）的图象，可知的解集为．19.已知不等式的解集为或.（1）求a，b的值；（2）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次不等式的解集得到1和b是方程的两根，利用韦达定理得到方程组求解；（2）根据（1）的结论不等式化为，分类讨论得到不等式的解集.【详解】解：（1）由题意知，1和b是方程的两根，则解得（2）不等式，即为，即.①当时，解集为；②当时，解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；20.已知函数．（1）求在上的单调递减区间；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简的解析式，然后利用整体代入法求得在上的单调递减区间；（2）先求得，然后利用三角恒等变换的知识求得的值．【小问1详解】，由，，解得，，又，函数在上的单调递减区间为．【小问2详解】由（1）知，又，，，，，，．．21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.（参考公式与数据：；；.）【答案】（1），（2）（3），，.【解析】【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系；（2）根据（1）的结果，即可求解；（3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度差函数，根据的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，小问2详解】当时，所以，游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.【小问3详解】如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为则甲、乙距离地面的高度差利用，可得，.当（或），即（或22.8）时，的最大值为.所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.22.已知函数满足，有．（1）求的解析式；（2）若，函数，且，，使，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过列方程组的方法来求得的解析式；（2）先求得的值域，利用换元法，结合函数的单调性求得的值域，由此列不等式来求得的取值范围.【