河南省南阳市2023-2024学年高二上学期期终质量评估数学试题

2023年秋期高中二年级期终质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A9 B.8 C.7 D.62.点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（）A. B. C. D.53.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A. B. C. D.4.已知焦点在轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（）A B.C. D.5.南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（）A.20种 B.50种 C.60种 D.100种6.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A.4 B.8 C.12 D.167.已知过点且法向量为的平面的方程为.若平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（）A.若点满足，则动点的轨迹为一条直线B.若，动点满足，则动点的轨迹是圆C.若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆D.若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（）A. B.C. D.10.下列说法不正确的是（）A.过点且在，轴上的截距相等的直线方程为B.过点与圆相切的直线有两条C.若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项D设随机变量服从正态分布，若，则11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A.B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C.记第行的第个数为，则D.第20行中第12个数与第13个数之比为12.已知抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，过的直线交于、两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为2C.的面积为定值D.若在轴上，则为直角三角形第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为______.（写出一个即可）14.已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则______.15.南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______.16.已知椭圆：，经过原点的直线交于、两点.是上异于、的一点，直线交轴于点，且.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②一个方向向量为；问题：已知直线过点，且______.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于、两点，求弦的长.18.一个袋子里放有除颜色外完全相同2个白球、3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.19.已知平行六面体的底面是边长为1的正方形，，.（1）求对角线的长；（2）求直线与所成角的余弦值.20.已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若以为直径圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.22.某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，