北师大版八年级数学上册单元测试卷含答案解析全册

《第1章勾股定理》

一'选择题

1.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或JT诵C.13或15D.15

2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

3.如果一个直角三角形的两条直角边分别为r√-1,2n（n>1）,那么它的斜边长是（）

A.2nB.n÷1C.n2-1D.n2+1

4.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）√3,√4,√5；（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）

A.13B.8C.25D.64

6.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正

7.如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）

D

A.25B.12.5C.9D.8.5

8.三角形的三边长为a,b,c,且满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

9.z2kABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知NC=90°,AC=30米，AB=50米，如果

要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）

A.50a元B.60Oa元C.120Oa元D.150Oa元

10.如图，ABLCD于B,4ABD和aBCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那么AC的长为

（）

二'填空题

11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要一

米.

12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2,贝∣]AB4AC^BC?=

13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为—cm.

14.如图，在aABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是

A

15.如图，在校园内有两棵树，相距12m,—棵树∣¾13m,另一棵树∣¾8m,一只小鸟从一棵树的顶

端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞—m.

16.如图，Z∖ABC中，ZC=90o,AB垂直平分线交BC于D.若BC=8,AD=5,则AC等于

A

17.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是

18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为cm2.

三'解答题

19.如图，所示，四边形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=I3,CD=12,NB=90°,求该四边形的面积.

D

B

20.如图，已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21.如图所示的一块地，NADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.

22.如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7

米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米?

23.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向IoOkm的B处有一台风中心，沿BC方

向以20km∕h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B

点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的

游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?

R

《第1章勾股定理》

参考答案与试题解析

一'选择题

1.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或C.13或15D.15

【考点】勾股定理.

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较

长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边

的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：当12是斜边时，第三边是二p=√Hξ;

当12是直角边时，第三边是Ji22+52=13.

故选B.

【点评】如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解.

2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】计算题.

【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、22+32=13≠42,故A选项构成不是直角三角形；

B、32+42=25≠62,故B选项构成不是直角三角形；

C、52+122=169=132,故C选项构成是直角三角形；

D、42+62=52≠72,故D选项构成不是直角三角形.

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长,

只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

3.如果一个直角三角形的两条直角边分别为r√-1,2n（n>1）,那么它的斜边长是（）

A.2nB.n+1C.n*12-31D.n2+1

【考点】勾股定理.

【分析】根据包股定理直接解答即可.

42

【解答】解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：J（M_l∕+（2n）2=√n+2n+l

=√（n2+l）^n2+1-

故选D.

【点评】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是正确对（r√-1）2+（2n）2进行分解因式.

4.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）√3,√4,√5;（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形.

【解答】解：（D:32+42=52,••.是直角三角形，故（1）正确；

（2）近2+62声遥2,.∙.不是直角三角形，故（2）错误；

ZZZ

（3）V32+42≠52,不是直角三角形，故（3）错误；

（4）:0.032+0.042=0.051.∙.是直角三角形，故（4）正确.

根据勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正确.

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形的判定：当三角形的三边之间有a2+b2=c?时，则它是直角三角形.

5.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）

A.13B.8C.25D.64

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.

【专题】计算题.

【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度.

【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为X,根据勾股定理得：64x2=10?,

解得：×=8.

故选B.

【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底

边的中垂线.然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度.

6.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正

确的是（)

A.

15

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平

方即可.

222222222

【解答】解：A、7+24=25,15+20≠24I22+20≠25,故A不正确;

B、72+242=252,152+202≠242,故B不正确;

G72+242=252,152+202=252,故C正确;

D、72+202≠252,242+152≠252,故D不正确.

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长,

只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a?+b2=c2,那么这

个三角形是直角三角形.

7.如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）

D

A.25B.12.5C.9D.8.5

【考点】三角形的面积.

【专题】网格型.

【分析】根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答.

【解答】解：如图：小方格都是边长为1的正方形，

，四边形EFGH是正方形，S0EFGH=EF∙FG=5X5=25

SΔAEO=∣DE.AE=-^×1X2=1,

SΔDCH=ɪ∙CH∙DH=∣-×2X4=4,

SΔBCG=⅛∙GC=-^×2X3=3,

S∆AFB=yFB∙AF=-∣-×3×3=4.5.

--

S四边形ABa)=S□EFGH-S^AED-S^DCH-SziBC6SΔAFB=251-4-3-4.5=12.5.

【点评】本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再

用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答.

8.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形0.直角三角形D.锐角三角形

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】对等式进行整理，再判断其形状.

【解答】解：化简(a+b)2=c2+2ab,得，a2+b2=d所以三角形是直角三角形,

故选：0.

【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定.

9.4ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知NC=90°,AC=30米，AB=50米，如果

要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要斐金()

A.50a元B.60Oa元C.120Oa元D.150Oa元

【考点】勾股定理的应用.

【分析】此题首先由已知aABC中，∠C=90o,AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角

边BC,再求出面积，从而得出答案.

【解答】解：在ZkABC中,ZC=90o,AC=30米，AB=50米,

BC=YAB2-AC甚40米，

共需要资金为：Ex40X30∙a=600a元.

故选：B.

【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直

角边，再求出面积即得答案.

10.如图，ABLCD于B,aABD和ABCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那么AC的长为

【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【专题】探究型.

【分析】先根据ABCE等腰直角三角形得出BC的长，进而可得出BD的长，根据AABD是等腰直角三

角形可知AB=BD,在RtΔABC中利用勾股定理即可求出AC的长.

【解答】解：：△BCE等腰直角三角形，BE=5,

.∙.BC=5,

∙∕CD=17,

ΛDB=CD-BE=17-5=12,

V∆ABD是等腰直角三角形，

.'.AB=BD=I2,

在RtZkABC中，

VAB=12,BC=5,

22221

AC=7AB+BC=712+5=3•

故选D.

【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答

此题的关键.

二'填空题

11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要.

【考点】勾股定理的应用.

【专题】应用题.

【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得

水平宽度，然后求得地毯的长度即可.

【解答】解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度=后二m=4,

地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是3+4=7米.

故答案为7.

【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性.

12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2,5!∣JAB2+AC2+BC2=8.

【考点】勾股定理.

【专题】计算题.

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角

边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值.

【解答】解：∙∙∙Z∖ABC为直角三角形，AB为斜边，

.∙.AC2+BC2=AB2,又AB=2,

.∙.AC2+BC2=AB2=4,

贝I]AB'+BC'CAJAB?+(BC2+CA2)=4+4=8.

故答案为：8

【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平

方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm.

【考点】勾股定理.

【分析】设直角三角形的三边边长分别为2n-2,2n,2n+2,由勾股定理得：两直角边的平方和等

于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之

后求出周长即可.

【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n-2,2n,2n+2.由勾股定理得：

(2n-2)2+(2n)J(2n+2)2,

解得：∏ι=4,∏2=0(不合题意舍去)，

即：该直角三角形的三边边长分别为6cm,8cm,10cm.

所以，其周长为6+8+10=24cm.

【点评】本题主要考查了运用直角三角形的性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关

系，根据题意求出三边的边长.周长=三边之和，求出周长.

14.如图，在AABC中，∠C=90o,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是—

等冗•

8一

【考点】勾股定理.

【分析】根据勾股定理求出斜边，即可求出半圆的半径，求出面积即可.

【解答】解：∙.∙⅞ΔABCΦ,ZC=90o,BC=3,AC=4,

二由勾股定理得：AB=5,

即半圆的半径为∙∣,

所以半圆的面积为弥∏X(-∣)2=-y-π,

故答案为：ɪn.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是求出半圆的半径，注意：直角三角形的外接

圆的半径等于斜边的一半，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

15.如图，在校园内有两棵树，相距12m,一棵树∣¾13m,另一棵树∣⅛8m,一只小鸟从一棵树的顶

端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞13m.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短,

运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【解答】解：两棵树高度相差为AE=13-8=5m,之间的距离为BD=CE=I2m,即直角三角形的两直角边,

故斜边长AC=J52+12=3m,即小鸟至少要飞13m.

【点评】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可.

16.如图，Z∖ABC中，NC=90°,AB垂直平分线交BC于D.若BC=8,AD=5,则AC等于4.

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理.

【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得

AC的长.

【解答】解：AB垂直平分线交BC于D,AD=5,

.,.BD=AD=5,

∖'BC=8,

/.CD=BC-BD=3,

2

ΛAC=7AD-CD2=4>

故答案是：4.

【点评】本题考查了线段垂直平分线定理以及勾股定理.求得AD=BD是解题的关键.

17.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是19

【考点】勾股定理；正方形的性质.

【专题】计算题.

【分析】在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直

角三角形面积求出阴影部分面积即可.

【解答】解：∙.∙AELBE,，NAEB=90°,

在RtaABE中，AE=3,BE=4,

根据勾股定理得：AB=J3股42=5,

2

贝US阴影=S正方形-SΔABE=5--∣×3×4=25-6=19,

故答案为：19.

【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为49cι√.

【考点】勾股定理.

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方

形的面积.

【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，

故正方形A,B,C,D的面积之和二49cr√.

故答案为：49cm2.

【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换.

三、解答题

19.如图，所示，四边形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,NB=90°,求该四边形的面积.

AK---------------rD

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】由AB=4,BC=3,ZB=90"可得AC=5.可求得SAAB（；;再由AC=5,AD=I3,CD=I2,可得AACD

为直角三角形，进而求得S«8,可求S四边形AB∞zzɛʌABC+SΔA∞∙

【解答】解：在RtAABC中，AB=4,BC=3,则有ACwAB2+BC2=5.

，S∕∖ABC=^^"AB∙BC=~^^X4X3—6.

在Z∖ACD中,AC=5,AD=I3,CD=I2.

∙.,AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.

.∙∙AC<+CD2=AD2,MACD为直角三角形,

.∙.SΔACD=-∣-AC∙CD=-∣-×5×12=30.

,,S四边形ABCtl=SAABC+S6ACD=6+30=36.

【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算.

20.如图，已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

【考点】等腰三角形的性质；勾股定理.

【分析】由于等腰三角形中底边上的高平分底边，故周长的一半为AB与BD的和，可设出未知数,

利用勾股定理建立方程求解.

【解答】解：设BD=x,则AB=8-x

由勾股定理，可以得到ABJBD'+AD?,也就是（8-x）2=×2+42,

•・x=3,

二•AB二AC=5,BC=6.

【点评】本题利用了等腰三角形的性质：底边上的高平分底边，及勾股定理求解.

21.如图所示的一块地，NADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.

C

D

AB

【考点】勾股定理的应用；三角形的面积.

【专题】计算题.

【分析】连接AC,根据直角AACD可以求得斜边AC的长度，根据AC,BC,AB可以判定AABC为直

角三角形，要求这块地的面积，求aABC与AACD的面积之差即可.

【解答】解：连接AC,

已知，在直角aACD中，CD=9m,AD≈12m,

根据AD∙CD2=AC?,可以求得AC=15m,

⅛ΔABC中，AB=39m,BC=36m,AC=15m,

.∙∙存在AC"CB2=AB2,

.'.△ABC为直角三角形，

要求这块地的面积，求AABC和AACD的面积之差即可，

S=SAABC-SzλA8=∙^AC∙BC--i-CD∙AD,

=Lχi5X36-Lχ9X12,

22

=270-54,

=216m2,

答：这块地的面积为2161√.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的

判定aABC是直角三角形是解题的关键.

22.如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7

米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

【考点】勾股定理的应用.

【专题】计算题.

【分析】在直角三角形ABC中，已知AB,BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA,+CA,即可

求得CAl的长度，在直角三角形A同C中，已知AB=A冏，CAl即可求得CBl的长度，根据BBkCBl-CB

即可求得BBl的长度.

【解答】解；在直角AABC中，已知AB=2.5m,BC=O.7m,

贝IJAC=72.52-0.72=2∙4m-

∙.,AC=AA1+CA1

,

..CA1=2m,

在直角冏C中，AB=A1B,,且A同为斜边，

22

CBι=√(A1B1)-(CA1)=1∙5m,

.∙.BB,=CB,-CB=1.5-0.7=0.8m

答:梯足向外移动了0.8m.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，

本题中求CB1的长度是解题的关键.

23.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向IOOkm的B处有一台风中心，沿BC方

向以20km∕h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B

点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的

游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

/C

.4/

/D

R

【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；再根据在30千米范围

内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，

然后求出时间段即可.

【解答】解：:AB=100km,AD=60km,

.∙.在RtZ∖ABD中，根据勾股定理，得BD=JAB2-AD2=据勾,

则台风中心经过80÷20=4小时从B移动到D点；

如图，•••距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，

人们要在台风中心到达E点之前撤离，

VBE=BD-DE=80-30=50km,

二游人在丝=2.5小时内撤离才可脱离危险∙

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出BD的长度，难度一般.

《第2章实数》

一、选择题

1.25的平方根是（）

A.5B.-5C.i-ʌ/ʒD.±5

2.下列说法错误的是（）

A.无理数的相反数还是无理数B.无限小数都是无理数

C.整数、分数统称有理数D.实数与数轴上的点一一对应

3.下列各组数中互为相反数的是（）

A.-2与J（-2）2B.-2与^^C∙2与（-血）2D.I-Ml与血

4.在下列各数中无理数有（）

-0.333...,√4.√5∙-兀，3π,3.1415,2.010101…（相邻两个1之间有1个0）,76.0123456…（小

数部分由相继的正整数组成）.

A.3个B.4个C.5个D.6个

5.下列说法错误的是（）

A.1的平方根是1B.-1的立方根是-1

C.血是2的平方根D.-近是J（-3）2的平方根

6.下列各式中已化为最简式的是（）

A.虐B.√20C.2√2D.√121

7.下列结论正确的是（）

-4(-6)2=-6

C.7(-i6)2=±lβ

一个长方形的长与宽分别是6、3,它的对角线的长可能是（

A.整数B.分数C.有理数D.无理数

要使二次根式√而有意义，字母X必须满足的条件是（

A.x>lB.x>-1C.x≥-1D.x>1

10.（-√9）2的平方根是X,64的立方根是y,则x+y的值为（

A.3B.7C.3或7D.1或7

11.若√;与√U都有意义，则a的值是()

A.a>0B.a≤0C.a=0D.a≠0

12.当，扃王的值为最小值时，a的取值为()

A.-1B.0C.--D.1

4

二'填空题：

13.36的平方根是；缶的算术平方根是.

14.8的立方根是;厂方=.

∣5.的相反数是,绝对值等于“的数是.

16.比较大小：母三____2；若a>2√^,则|2«-目=.

17.一个正数n的两个平方根为m+1和m-3,则m=,n=.

18.疝的立方根与-27的立方根的差是；已知Ja-2+√^75=0,则(a-b)2=.

三'解答题

19.化简：

⑴√8+√32-√2;

⑵V1452-242

(3)3√20-V45-^∣∙;

(4)型军正+(ι-√^)0

√3

⑸(√l-√7)(√5+√7)+2

⑹a3b+Vab3-ab)∙-7⅛(a>0,b>0).

20.求X的值：

(1)2X2=8

(2)(2x-l)3=-8.

21.一个长方形的长与宽之比为5：3,它的对角线长为√丽Cm,求这个长方形的长与宽(结果保留

2个有效数字).

22.大家知道&是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此血的小数部分我们不能全部地写出

来，于是小平用在-1来表示血的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是

有道理的，因为我的整数部分是1,用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

请解答：已知：5+网的小数部分是a,5-娓的整数部分是b,求a+b的值.

《第2章实数》

参考答案与试题解析

一、选择题

1.25的平方根是（）

A.5B.-5C.土巡D.±5

【考点】平方根.

【分析】根据平方根的定义和性质即可得出答案.

【解答】解：（±5）2=25,

•'.25的平方根是±5.

故选：D.

【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键.

2.下列说法错误的是（）

A.无理数的相反数还是无理数B.无限小数都是无理数

C.整数、分数统称有理数D.实数与数轴上的点一一对应

【考点】实数与数轴；实数.

【分析】A、根据相反数和无理数的定义进行分析、判断；

B、根据无理数的定义解答；

C、由有理数的分类进行分析、判断；

D、由实数与数轴的关系进行分析.

【解答】解：A、无理数a与它的相反数-a只是符号不同，但都还是无理数，故本选项正确；

B、无限不循环小数叫做无理数；故本选项错误；

C、有理数包括整数和分数；故本选项正确；

D、实数与数轴上的点是一一对应关系；故本选项正确；

故选B.

【点评】本题考查了实数与数轴、实数的有关知识点.注意，无理数的定义是指“无限不循环小数”

而不是“无限小数''或者"小数

3.下列各组数中互为相反数的是（）

A.-2与N（-2）2B.-2与^^C.2与（-m）2D.I-阳与我

【考点】实数的性质.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；

B、是同一个数，故B错误；

C、是同一个数，故C错误；

D、是同一个数，故D错误；

故选：A.

【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数.

4.在下列各数中无理数有（）

-0.333...,爬,-π,3π,3.1415,2.010101…（相邻两个1之间有1个0）,76.0123456...（小

数部分由相继的正整数组成）.

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】无理数.

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有兀的数，结合所

给数据进行判断即可.

【解答】解：通=2,

所给数据中，无理数有：娓'-π,3π,76.0123456...,共4个.

故选B.

【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式.

5.下列说法错误的是（）

A.1的平方根是IB.-1的立方根是-1

C.“'是2的平方根D.一«是（（_3）2的平方根

【考点】平方根；立方根.

【专题】计算题.

【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果.

【解答】解：A、1的平方根为±1,错误；

B、-1的立方根是-1,正确；

C、'选是2的平方根，正确；

D、是J(-3)」的平方根,正确；

故选A

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.

6.下列各式中已化为最简式的是()

ʌ口R√20r2√2√121

A.VwB.C.D.

【考点】最简二次根式.

【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可.

【解答】解：A、昌冬不是最简二次根式；

B、√2Q=2√5,不是最简二次根式；

C、是最简二次根式；

D、√121=11,不是最简二次根式.

故选C∙

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条

件：

(I)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

7.下列结论正确的是()

A.^√(-6)2=-⅛(-√3)2=9

C.2

√(-16)=±16D-(-幅T

【考点】算术平方根.

【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答.

【解答】解：A.因为-J(-6)2=-√而=-6,故本选项正确;

B.因为(一炳)2=3,故本选项错误；

C.因为«-16)2=C^=I6,故本选项错误；

D.因为-(-碍产=-(-卷)2=-祟故本选项错误;

故选A.

【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题.

8.一个长方形的长与宽分别是6、3,它的对角线的长可能是()

A.整数B.分数C.有理数D.无理数

【考点】勾股定理.

【专题】计算题.

【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进

行选择即可.

【解答】解：；必不

对角线长是无理数.

故选D.

【点评】本题考查了长方形性质及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及

实数的分类.

9.要使二次根式J就有意义，字母X必须满足的条件是()

A.x≥lB.x>-1C.x≥-1D.x>1

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答.

【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+l≥O,解得XN-L

故选：C.

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

10.（一«）2的平方根是x,64的立方根是y,则x+y的值为（）

A.3B.7C.3或7D.1或7

【考点】立方根；平方根.

【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可.

【解答】解：∙.∙（-«）2=9,

.,.（-F）2的平方根是±3,

即x=+3,

V64的立方根是y,

∙*∙y=4,

当x=3时，x+y=7,

当X=-3时，x+y=l.

故选D.

【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出Xy的值.

II.若〃与厂^都有意义，则a的值是（）

A.a>0B.a<0C.a=0D.a≠0

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：若"与厂^都有意义，则a≥0

-a≥0,

由此可求a的值.

【解答】解：若4与广^都有意义,

a≥0

则故a=0.故选C.

~a≥0,

概念：式子4（a>0）叫二次根式.性质：二次根式

【点评】主要考查了二次根式的意义和性质

中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

12.当扁牙的值为最小值时，a的取值为（）

1

A.-1B.0C.一丑.1

【考点】算术平方根.

【分析】由于岳亘≥0,由此得到4a+l=0取最小值，这样即可得出a的值.

【解答】解：后不取最小值，

即4a+l=0.

得a=~~ξ,

故选C.

【点评】本题考查的是知识点有：算术平方根恒大于等于0,且只有最小值，为0;没有最大值.

二、填空题：

13.36的平方根是±6；的算术平方根是2.

【考点】算术平方根；平方根.

【分析】根据平方根和算术平方根的定义求出即可.

【解答】解：36的平方根是±每=±6,

∙.∙√16=4I

.∙.我的算术平方根是2,

故答案为：±6,2.

【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.

14.8的立方根是2；R-27=-3.

【考点】立方根.

【分析】根据立方根的定义解答即可.

【解答】解：：23=8,

.,.8的立方根是2；

Ξ7

V27=-3.

故答案为：2；-3.

【点评】本题考查了立方根的定义，熟记概念是解题的关键.

15.厂彳的相反数是一干7T,绝对值等于“的数是,土氏.

【考点】实数的性质.

【分析】由题意根据相反数的定义及绝对值的性质进行求解.

【解答】解：的相反数是：-WT

设X为绝对值等于“反

.,.∣x∣=√3,

Λ

X=±∕3J

故答案为：-WT土ʧɜ.

【点评】此题主要考查相反数的定义及绝对值的性质，比较简单.

16.比较大小：近：>2；若a>2",则∣2"-a∣=a-2".

【考点】实数大小比较；实数的性质.

【专题】推理填空题.

【分析】首先应用放缩法，利用在'I判断出”;>2；然后根据a>21判断出2点-a的

正负，即可求出|2«-a∣的值是多少.

【解答】解：∙.∙病〉2,

.√5+2^2+2

∙.p->2=2；

Va>2^3,

；.2立-a<0,

Λ∣2√3-a∣=a-2T.

故答案为：>、a-2^3.

【点评】(1)此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用.

(2)此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，注意判断出2近-a的正负.

17.一个正数n的两个平方根为m+1和m-3,则m-1,n=4.

【考点】平方根.

【专题】计算题.

【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的

值，进而求出n的值.

【解答】解：根据题意得：m+l+m-3=0,

解得：m=l,即两个平方根为2和-2,

则n=4.

故答案为：1;4

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.

18.娴的立方根与-27的立方根的差是3；已知J=+J康=0,则(a-b)2=25

【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根.

【分析】首先把娴化简，然后再计算出8和-27的立方根，再求差即可；

根据算术平方根具有非负性可得a-2=0,b+3=0,计算出a、b的值，进而可得答案.

【解答】解：痫=8,

8的立方根是2,

-27的立方根是-3,

2-(-3)=5.

故答案为:5；

∙.∙√a-2+√b+3=oι

Λa-2=0,b+3=0,

解得：a=2,b=-3,

(a-b)2=25.

故答案为：25.

【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握平方根、立方根、算术平方根的定义.

三、解答题

19.化简：

(1)√8+√32-√2.

(2)71452-242

⑶3√2δ.√l5.^j

⑷哼且(一T)o;

√3

(5)(√5-V7)(√5+√7)+2

(6)(V?b+Vab^-ab)•遍(a>0,b≥O).

【考点】二次根式的混合运算；零指数幕.

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)先把根号内的数利用平方差公式变形，然后根据二次根式的乘法法则运算；

(3)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(4)先根据零指数塞的意义运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的

除法运算；

(5)利用平方差公式计算；

(6)先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算.

【解答】解：⑴原式=2也4«-恒5«；

(2)原式=√("5+24)(145-24L√≡×√ΠI=i3xl1=143；

⑶原式=6运3遍-昌誓；

55

(4)原式=Wl^I=5+1=6；

(5)原式=5-7+2=0；

(6)原式二(aVab+bVab-ab)Vab

=a2b+ab2-abʧ^b.

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除

运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数鬲.

20.求X的值：

(1)2χ2=8

(2)(2x-1)3=-8.

【考点】立方根；平方根.

【分析】(1)利用解方程的步骤求解，注意解的最后一步利用平方根来求解；

(2)利用立方根的定义可得出X的一元一次方程，再求解即可.

【解答】解：

(1)系数化为1可得：X2=4,两边开方得：x=±2；

(2)由立方根的定义可得：2x-l=-2,解得X=-*.

【点评】本题主要考查平方根和立方根的定义及求法，正确掌握平方根和立方根的定义是解题的关

键.

21.一个长方形的长与宽之比为5：3,它的对角线长为痘cm,求这个长方形的长与宽（结果保留

2个有效数字）.

【考点】一元二次方程的应用；实数的运算；勾股定理.

【专题】几何图形问题.

【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3,设长为5xcm,则宽为3xcm,根据对角线长，用勾股定

理即可列出方程，求出长方形的长和宽，再进行估算.

【解答】解：设长为5xcm,则宽为3xcm,用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（倔）2,

.∙.25χ2+9χ2=68,

.∙.34χ2=68,

ΛX2=2,即或X=-J^（舍去），

.∙.长为5xa=7.1（cm）,宽为3XM≈4.2（cm）,

答：长方形的长为7.1cm,宽为4.2cm.

【点评】这类根据长形的对角线与直角边构成直角三角形，利用勾股定理化为求一元二次方程的解

的问题，求解舍去不符合条件的解即可.

22.大家知道&是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此F的小数部分我们不能全部地写出

来，于是小平用血-1来表示后的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是

有道理的，因为④的整数部分是I,用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

请解答：已知：5+泥的小数部分是a,5-J⅝勺整数部分是b,求a+b的值.

【考点】估算无理数的大小.

【分析】根据题目中的方法，估计病的大小，求出a、b的值，再把a,b的值相加即可得出答案.

【解答】解：；4V5V9,

.∙.2V巡V3,

Λ7<5+Vδ<8,

.∙.a=遍-2.

又；-2>-巡>-3,

Λ5-2>5-^>5-3,

.∙.2<5-&<3,

Jb=2,

.∖a+b=ʧ5-2+2=Vδ.

【点评】此题考查了估算无理数的大小，常见的方法是夹逼法，解题关键是估算无理数的整数部分

和小数部分.

《第3章位置与坐标》

一'选择题

1.在平面直角坐标系中，已知点P(2,-3),则点P在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.在平面直角坐标系中，将点P(l,2)向左平移2个单位长度后得到点Q,则点Q的坐标是()

A.(-1,2)B.(3,2)C.(1,4)D.(1,0)

3.如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是()

A.(-2,0)B.(0,-2)C.(1,0)D.(0,1)

4.如果P点的坐标为(a,b),它关于y轴的对称点为P∣,PI关于X轴的对称点为P2,已知Pz的

坐标为(-2,3),则点P的坐标为()

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

5.如图，在平面直角坐标系中，以。为圆心，适当长为半径画弧，交X轴于点M,交y轴于点N,

再分别以点M、N为圆心，大于*MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标

A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=lD.2a+b=l

6.一个矩形，长为6、宽为4,若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个

点不在矩形上()

A.(3,-2)B.(-3,3)C.(-3,2)D.(O,-2)

7.如图，点A的坐标为(-1,0),点B在第一、三象限的角平分线上运动，当线段AB最短时,

TT)

(0,-5)X(-2,-2),以

这三点为平行四边形三的三个顶点，则第四个顶点D不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.已知点M到X轴的距离为1,到y轴的距离为2,则M点的坐标为()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(2,1),(2,-1),(-2,1),(-2,-1)

10.如图，点A的坐标是(2,2),若点P在X轴上，且AAPO是等腰三角形，则点P的坐标不可

能是()

A.(4,0)B.(1,0)C.(-2√2,0)D.(2,0)

二'填空题

11•点P(1,2)关于X轴的对称点P∣的坐标是一，点P(1,2)关于y轴的对称点P2的坐标是—.

12.已知线段AB=3,AB〃x轴，若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标是—.

13.在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长

度到点A，处，则点A，的坐标为.

14.如图，如果(J)所在的位置坐标为(T,-2),Gi)所在的位置坐标为(2,-2),则®)所

在位置坐标为

17.如图所示，在直角坐标系中，AOBC的