复习06对数运算与对数函数（十二大考点）（原卷版）

复习06对数运算与对数函数一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数式与指数式的互化：.（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.2．对数的性质（1）1的对数等于0，即；（2）底数的对数等于1，即；（3）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；二、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．3．对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.考点01指对数的互化及对数运算【方法点拨】根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算【例1】在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则（

）A． B． C． D．【例2】（1）;（2）.【变式11】已知，，则．（用数字作答）【变式12】.【变式13】（1）若，，求的值；（2）求的值.考点02换底公式的运用【方法点拨】（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．【例3】化简的值为（

）A． B． C． D．【例4】已知，，则用，表示.【变式21】记，那么．【变式22】若，则.【变式23】求下列各式的值.(1)(2)已知试用表示考点03识别对数(型)函数图象及定点问题【方法点拨】处理对数函数图象问题的3个策略：（1）抓住特殊点：对数函数的图象过定点，求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点．（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．【例5】函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【例6】已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为.【变式31】已知，则函数与函数的图象可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式32】函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式33】（多选）已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点04根据对数型函数图象求参数【例7】已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（

）A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1C．m>0，n>1 D．m<0，n>1【例8】如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为（用“＞”号连接）．【变式41】若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．【变式42】已知函数，若且，则的取值范围为.【变式43】已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值．考点05求对数(型)函数的值域【方法点拨】（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．（2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．【例9】设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【例10】函数的最小值为．【变式51】若定义运算，则函数的值域是.【变式52】已知（且）的图象过点.(1)求的值；(2)当时，求的值域．(3)若，判断的奇偶性.【变式53】已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.考点06对数(型)函数的单调性问题【方法点拨】（1）求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域．（2）求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性．【例11】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数（

）A． B． C． D．【例12】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式61】已知.（1）求函数的解析式及其定义域;（2）求的单调区间.【变式62】已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是.【变式63】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是.考点07比较指对幂的大小【方法点拨】比较对数值大小的方法：（1）同底的利用对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化；（3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论【例13】已知，则（

）A． B．C． D．【例14】已知奇函数在R上是增函数，若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式71】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式72】定义在上的偶函数，记，，，则（

）A． B． C． D．【变式73】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点08解不等式【方法点拨】（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论；（2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.【例15】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例16】设函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式81】已知函数，且.(1)求的值及的定义域；(2)求不等式的解集.【变式82】已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是【变式83】已知函数（且），.(1)求使成立的的值；(2)若，求实数的取值范围.考点09反函数的应用【方法点拨】反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域【例17】函数的反函数为.【例18】函数反函数的定义域为.【变式91】若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．1 B．2023 C． D．4046【变式92】若的反函数为，且，则的最小值为.【变式93】函数（且）的反函数过定点．考点10根据值域(最值)求参数【例19】已知函数的值域为，的值域为，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5【例20】（多选）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式101】已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则．【变式102】已知函数（）的最大值与最小值分别为3和．求a的取值范围．【变式103】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.考点11恒成立问题【方法点拨】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围);（2）转化为函数值域问题,即已知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即.【例21】若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是．【例22】已知是偶函数.(1)求m的值；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【变式111】已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【变式112】已知函数．(1)若的值域为，求的取值范围；(2)设对恒成立，求的取值范围．【变式113】已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)，恒成立，求的取值范围.考点12对数函数的实际问题【例23】生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（

）天．（结果保留一位小数．参考数据：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19【例24】2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）．(1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数；(2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍．【变式121】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%【变式122】西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是.【变式123】学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.一、单选题1．计算的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．82．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．5．函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（

）A． B．C． D．6．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．二、多选题7．已知，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．8．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是RC．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是9．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题10．设常