江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二年级下册学期期末数学试题（含答案）

江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年第二学期期末试卷

高一数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

X+1

A=<x---->0>（IC

1.已知集合6n={小<4},则8nM=（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|x<4}C.{小lKx<4}D.

z1+i

2.已知一r=—r（i为虚数单位），则复数z的模为（）

1+i1-i

A.1B.72C.2D.3

3.已知q,%是平面中两个不共线的向量，若b=%+吟，且则（）

A.4+〃=1B.4+4=—1C."=1D.4〃=—1

4.各项均为正数的等比数列应},公比为/则“4>1”是“{q,}为递增数列”的（）

A.充分且不必要条件B,必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知函数/（x）=log2[x（a-x）]在区间（0,1）上单调递增，则4的取值范围是（）

A.（―8,—2]B.[-2,0）C.（0,2]D.[2,+o>）

6.五张卡片上分别写有1、2、3、4、5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（）

2134

A.-B.C.—D.一

5257

7.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐虎殿顶的屋顶样式，虎殿顶是“四出水”的五脊四

坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图，某几

何体Z6C0ER有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面N8C。为矩形，EF〃底面ABCD,

AB=2BC=2EF=4,VADE与丛BCF是全等的等边三角形，则该五面体ABCDEF的体积为（）

A.273B.竽C告D.3出

8.直线/过圆A/:（x-5）~+/=1的圆心，且与圆相交于A,8两点，尸为双曲线^——L=1右支上一个

V'916

动点，则万・丽的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分,

不选或有错选的得0分.

9.某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］五

组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.。的值为0.015

B.这50名同学成绩的平均数在60与70之间

C.这50名同学成绩的众数是75

D.估计这50名同学成绩的75百分位数为85

10.下列说法正确的是（）

A.已知命题尸：任意xeR,|x|Nx,则命题尸的否定为：存在xeR,|x|<x

B.若关于x的不等式M+bx+oO的解集为{x[2<x<3},则a—6+c>0

C.如果x>0,y>0,x+3y+xy=9,那么x+3歹的最小值为6

X2+5

D.函数/(x)=；,的最小值为2

4厂+4

11.设函数/(x)=sin(cyx+e)+cos®x+“a»>0,阵9的最小正周期为无，且过点倒,、历)，则下

列说法正确的是()

A./(x)为偶函数

B./(X)的一条对称轴为片5

C.把/(x)的图象向左平移二个单位长度后得到函数g(x),则g(x)=/cos(2x+乙

616；

D.若/(x)在(0,。)上单调递减，则。的取值范围为(04

12.已知产是抛物线C:j?=4x的焦点，A,8是抛物线。上的两点，。为坐标原点，则()

A.抛物线C的准线方程为x=—2

B.若卜尸1=4,则“。尸的面积为6

C.若直线过焦点/，且/8=3，则。到直线的距离为;

D,若。皆_LO5,则|。4卜|。|i32

第H卷(非选择题共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知tana=2,WO1+sin2a=.

14.(x—2)(x+l)6展开式中，Y的系数为.(以数字形式作答).

15.曲线/(x)=xlnx—/在点(1,-1)处的切线方程为.

16.在三棱锥产一Z8C中，尸〃_1面48。，/BC为等边三角形,且PA=AB<，则三棱锥尸一Z8C

的外接球的表面积为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤.

17.袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.

(1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；

(2)一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的

条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为X,求随机变量X的数学期

望.

18.448C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足：accos/+/(cosC-1)=/一。2,

(1)求角C；

(2)若c=2,求。一人的取值范围.

19.已知函数/(x)=2ax—e1

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)<4a2-4a.

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，％=2,是公差为2的等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

⑵若〃一如=2%(〃22),且4=3,数列，」|的前〃项和为7；,,求7“.

IAJ

21.如图所示，在三棱锥P—中，已知平面45C,平面尸Z6_L平面P3C.

(1)证明：BC上平面P4B；

(2)若PA=AB=6,BC=3,在线段PC上(不含端点)，是否存在点。，使得二面角8-4。一。的

余弦值为若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

5

v.22

22.已知椭圆C：］+3=10>0)的右顶点和上顶点分别为A,B,W为线段N8的中点，。为坐标原

点，且两•方=—,川.

2

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知圆°：,+V=3,P为圆。上任意一点，过点尸作椭圆°的切线，交圆。于点°,若°尸与°。

斜率都存在，求证：为定值.2022-2023学年第二学期期末试卷

高二数学

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

X+1

A=<x----->0>।八

L已知集合1x-5j,n人{小<4},则5n金/=（）

A.（x|-l<x<4|B,{x|x<4}C.{x|-l<x<4|D,

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A,利用补集和交集的定义可求得集合

【详解】因为4={x0>=<-1或x〉5},故/N=卜|一1VxK5},

又因为8={x|x<4},则8c%/={x[—l<x<4}.

故选：C.

2.已知一一=上口（i为虚数单位），则复数z的模为（）

1+i1-i

A.1B.0C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】先计算Z,然后利用模的公式进行求解即可

z1+i

【详解】因为一=—

1+171-17

2i(l+i)

所以=粤==i(l+i)=-1+i,

22(j)(l+i)

所以忖=

故选：B

3.已知q,e2是平面中两个不共线的向量，若〃=&】+/，b=e]-^-jue2,且则（)

A.X+〃=1B.4+4=—1C.4〃=1D.4〃=-1

【答案】C

【解析】

【分析】利用两向量共线的基本定理，得到相应的关系式.

【详解】。=鸡+。2,3=6+〃。2，若://力,则于£R，使£二正，

即=｛1+〃£）,由[是平面中两个不共线的向量，

A=t

则有〈，即=

\=tjU

故选：C

4.各项均为正数的等比数列｛g｝,公比为4,则“4>1”是“｛4｝为递增数列”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先根据4>1,得到｛《,｝递增，充分性成立，再推导出必要性成立.

【详解】因为｛4｝各项为正数，且4>1,所以4包=g>l,即%〉%,

所以｛%｝为递增数列，充分性成立,

若｛4｝为递增数列，则%用>%，因为｛《,｝各项为正数，所以4=4包>1,必要性成立.

故选：c

5.已知函数/(x)=log2[x("x)]在区间(0,1)上单调递增，则。的取值范围是()

A.B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数型复合函数单调性判断方法，结合条件列式计算作答.

【详解】函数/。)=噪21(。-力]可看作函数丁=log2f，，=x(a-x)的复合函数，

又函数丁=10g2，在(0,+8)上单调递增，

而函数/(x)=log2[x(a-x)]在区间(0,1)上单调递增，

则有函数f=x(a—x)=—[x—+：在区间(0,1)上单调递增，

且x(a-x)〉0在区间(0,1)恒成立，

因此解得aN2,

2

所以“的取值范围是[2,+8).

故选：D.

6.五张卡片上分别写有1、2、3、4、5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率()

2134

A.—B.-C.—D.一

5257

【答案】A

【解析】

【分析】利用排列计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】若这五张卡片组成的五位数是偶数，则个位数为偶数，其余各数位无限制，

9A42

因此所求概率为P=T=一.

A：5

故选：A.

7.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐尻殿顶的屋顶样式，虎殿顶是“四出水”的五脊四

坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶.如图，某几

何体NBCDEE有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面/BCD为矩形，EF〃底面5BCD,

AB=2BC=2EF=4,VZOE与才是全等的等边三角形，则该五面体力BCOE尸的体积为()

A.2也B.C.2^1D.373

33

【答案】B

【解析】

【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积.

【详解】过点E作EG上EF,EH上EF,又EGcEH=E,EG,EHu平面EGH,

所以E/人平面EG",

过点、F作FM上EF,FN上EF,又FMf]FN=F,FM,FNu平面FMN,

所以EEJ.平面FMN,

因为所//底面Z8CQ,EFu平面ABFE，平面/BEEPl平面48CD=48,

所以AB//EF,同理CD〃防，

所以ZB_LEG,CZ)_LE〃，AB1FM,CD1FN,

4BJ,平面EGH,4BJ.平面FMN,G"i平面EGh,MNu平面FMN,

所以ABLGH,AB上MN,

因为N8=28C=2EF=4,VADE与XBCF是全等的等边三角形，

由对称性可得，AG=DH=BM=CN=1,所以EG=EH=由,GH=MN=2,

连接点E与G”的中点P,则后尸=也，

所以5即=；乂2乂血=6，又GM=2,

所以三棱柱EGH-FMN的体积为2及，

因为人平面EGa,EPu平面EGH,所以/61EP,

又EPLGH,N6,G〃u平面”CD,ABcGH=G,

所以EPS平面N8C£>,

又矩形的面积为2,

所以四棱锥E—/G"。的体积为』x2xJ5=迪,

33

由对称性可得四棱锥厂-MSCN的体积为述，

3

所以五面体ABCDEF的体积为2J5+迪x2=如旦，

33

故选：B.

8.直线/过圆M:（X-5）2+J?=I的圆心，且与圆相交于A,5两点，。为双曲线二―21=1右支上一个

916

动点，则》.丽的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆的圆心"（5,0）,根据题意可得砺=_而、|两2c-。，利用平面向量的线性运算可

得苏・丽=|丽『-1,即可求解.

【详解】圆（X—5）2+/=I,圆心M（5,0）,半径厂=1,

因为直线/过圆（x-5）~+必=1的圆心，且与圆相交于A,B两点，

所以痂=一必，又双曲线^-一—=1,则a=3,c=5,右焦点为（5,0）,

916

所以西.而=（而+而>伊7+砺）

二（而+而）.（两-忘）=两2-加=|丽j,

5^PM\>c-a,即|所卜2,所以|而『一123,当点尸在右顶点时取等号，

即力•而23,

所以莎•丽的最小值为3,

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分,

不选或有错选的得0分.

9.某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］五

组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

B,这50名同学成绩的平均数在60与70之间

C.这50名同学成绩的众数是75

D.估计这50名同学成绩的75百分位数为85

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，求出。的值，可判断A选项；求出这50名同

学成绩的平均数，可判断B选项；利用最高矩形底边的中点值为众数可判断C选项；利用百分位数的定义

求出这50名同学成绩的75百分位数，可判断D选项.

【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1,

所以，（0.01x2+4+0.03+0.035）x10=1,解得“=0.015,A对；

对于B选项，这50名同学成绩的平均数为

55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,B错;

对于C选项，这50名同学成绩的众数是小国=75,C对；

2

对于D选项，前三个矩形的面积之和为0.1+0.15+0.35=0.6,

前四个矩形的面积之和为0.6+0.3=0.9,

设这50名同学成绩的75百分位数为m,则me(80,90),

由百分位数的定义可得0.6+(m—80)x0.03=0.75,解得用=85,D对.

故选：ACD.

10.下列说法正确的是()

A.已知命题尸：任意xeR,则命题尸的否定为：存在xeR,|x|<x

B.若关于x的不等式aV+bx+oO的解集为{x[2<x<3},则a—6+c>0

C.如果x>0,y>0,x+3y+xy=9,那么x+3y的最小值为6

x?+5

D.函数/(x)=i——=的最小值为2

\Jx2+4

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，根据不等

式的解集得到方程的两根，利用韦达定理求出db,c的关系，从而求出a-b+c=0；C选项，变形后利用

基本不等式求出最小值：D选项，变形后利用基本不等式进行求解，但等号取不到.

【详解】A选项，命题P：任意xeR,的否定为：存在xeR,|x|<x,A正确；

B选项，关于x的不等式af+bx+oO的解集为{x[2<x<3},则2,3为/+云+0=0的两根，

bc

故2+3=—,2x3=一,所以6=-5a,c=6Q,故。-6+。=。+5。一6〃=0,B错误；

aa

C选项，x>0,>>0,书，=9-(x+3y),

由基本不等式得到3盯4(”+：〃)，即27-3(x+3y)V3普-，

解得x+3yN6或x+3y4—18,当且仅当x=3y=3时，等号成立.

由于x>0,y>0,故x+3y>0,x+3y4一18舍去,

x+3y的最小值为6,C正确;

D选项,y(x)=：*-*/+4+1—y/x2+4+i1>2+4•/1=2,

当且仅当J》2+4=1时，等号成立，但Jf+4

&+4

故最小值取不到，D错误.

故选：AC

11.设函数/(x)=sin(<yx+8)+cos®x+*“cy>0,阵的最小正周期为无，且过点倒,、回)，则下

列说法正确的是()

A./(x)为偶函数

B./(X)的一条对称轴为x=]

/、

C.把〃x)的图象向左平移工个单位长度后得到函数g(x),则g(x)=J^cos2x+-

6k6；

D.若/(x)在(0,。)上单调递减，则。的取值范围为(0,楙

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用辅助角公式将函数化简，利用周期及特殊点求出函数解析式，然后利用余弦函数性质一一判

断即可.

【详解】/(X)=sin®x+e)+cos(Gx+e)=@sin0x+e+'，

因为函数/(X)最小正周期为兀，0〉0,所以。=生=生=2,则/(x)=J5si/2x+e+5

T7i\4

又函数/(X)过点倒,夜)，所以/(O)=J^sin[e+；J=即sin[e+；J=l,所以

兀…兀，r

(D-2kjlH,n€Z,

42

所以9=2E+：,攵cZ,又则《5，所以夕=:，

所以/0)=后5皿(2*+向=后852》，易知函数/(X)的定义域为R,且

/(-x)=JIcos(—2x)=JIcos2x=/(x),所以/(x)为偶函数，故A正确;

令2x=E，斤eZ,则工=包，左eZ,当％=1时，/(x)的一条对称轴为x=5,故B正确；

22

7T

令2XE(2E,2hi+7i)，左£Z,则兀+万),攵£2,

当左=0时，/(x)在(0日上单调递减，若/(x)在(0M)上单调递减，则“的取值范围为(0,,故D

正确；

把/(x)的图象向左平移5个单位长度后得到函数g")，

6

则g(X)=0cos[2(x+6]=JIcos(2x+g),故C错误.

故选：ABD

12.已知/是抛物线C:;/=4x的焦点，A,8是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则()

A.抛物线C的准线方程为》=一2

B.若耳=4,则“0〃的面积为Q

C.若直线过焦点且28=3,则。到直线的距离为;

32

D.若O/_LO8,则|04|。8|232

【答案】BD

【解析】

【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A错误，结合抛物线的定义，可判定B正确；结合抛物线的焦点

弦的性质和点到直线的距离公式，可判定C错误；设直线。4的方程为了=依(不妨设％>0)求得

|。川=4+｝和|0@=4〃4+12,结合基本不等式，可判定D正确.

【详解】对于A中，抛物线C：V=4x可得其准线方程为x=—1,所以A错误；

对于B中，设Z(xj),因为»目=4,可得x+l=4,解得x=3,可得仅|=2仆，

所以LOF=/X|OF|X3=；X1X2百=6,所以B正确；

对于C中，抛物线C:/=4x,可得其焦点坐标为厂(1,0),

当直线ZB的斜率不存在时，可得|AB卜4,不符合题意；

当直线Z8的斜率存在时，设直线48的方程为丁=仪》-1）,

联立方程组〈2，整理得/f—（2左2+4）x+左2=0,

y=4x

2k2+4

设4>|,乂）,5（々,％）,可得X|+》2=^——j---

K

2

7Z-4-41A「

根据抛物线的定义，可得|工8|=$+/+2=失上+2=吧，解得左=±6，

k3

所以直线的方程为y=±百（x—1）,

I-V3Is

不妨取反―y—6=0,所以取到直线48的距离为四।」----,所以C错误;

^+32

对于D中，设直线04的方程为丁=依（不妨设4>0）

；六,可得哙令,则吐除Y）2

由

因为此时直线08的方程为丁=—：x,可得|O即=4〃4+左2,

所以10周=［6旧+/*"、+炉=16卜1+公+\>16^1+1+2^^=32，

当且仅当公=后时，即上=1时，等号成立，所以D正确.

故选：BD.

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知tana=2,WO1+sin2a=.

9

【答案】-

【解析】

［分析］利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

・必…・E、，c•<2sinacosa

【详解】因为tana=2,贝Ul+sin2a=1l+12smacosa=l+——----------

sina+cosa

=1+2tana=1+2=2

tan2(7+122+15

9

故答案为：

14.(x—2)(x+l『展开式中，/的系数为.(以数字形式作答).

【答案】-25

【解析】

【分析】由(x—2)(X+1)6=X(X+1)6—2(X+1)6,结合二项式展开式求丁的系数.

【详解】因为(x+l)6的展开式的通项为7；+=CM6-*xl*=C«6M,左=0,123,4,5,6,

又(x-2)(x+l)6=x(x+l1一2(x+l)6,

所以(x-2)(x+1丫展开式中，V的项为-2cR=-25?,

所以(x-2)(x+l］展开式中，F的系数为—25.

故答案为：-25.

15.曲线/(x)=xlnx--在点(1,-1)处的切线方程为.

【答案】x+y=0

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求解即可

【详解】由/(x)=xlnx-l,得/，(x)=lnx+l-2x,

所以切线的斜率为/''⑴=lnl+l—2=-1,

所以所求切线方程为N—(―1)=—(x—1),得丁=一%,

即x+歹=0,

故答案为：x+y=0

16.在三棱锥。一48。中，尸/_1面48。，&4BC为等边三角形,且PA=ABf，则三棱锥尸一ZBC

的外接球的表面积为.

【答案】7兀

【解析】

【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以“BC为底面以PN为

高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径/•和球心距力可得球的半径火，即可求出三棱锥尸-Z8C

外接球的表面积.

【详解】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示,

此三棱锥外接球，即为以&43c为底面以PZ为高的正三棱柱的外接球,

设球心为0,作00'_L平面48C,则。'为“8C的外接圆圆心，连接/O',ZO,则。。，==虫,,

22

设“BC的外接圆半径为厂，三棱锥P-ABC外接球半径为R,

c4BG\

,尸=_____—__—o

由正弦定理，得sin60°—JJ-，所以「=1，

T

RS。。'/中，O'A2+OO'2=OA2＞所以（等）+『=及2,解得夫=?，

所以S=4itR2=7兀.

故答案为：7兀.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的

文字说明，证明过程或演算步骤.

17.袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.

（1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；

（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的

条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为X,求随机变量X的数学期

望.

【答案】（1）|

,、98

（2）——

27

【解析】

【分析】（1）利用全概率公式计算即可；

（2）求出X的所有可能取值，求出对应的概率，代入数学期望公式计算即可.

【小问1详解】

设4：第一次摸到的球是白球，4：第一次摸到的球是黑球,

43242

B：第二次摸到的球是白球,P（B）=P^B）+P（A2B）=-X-+-X-=-

oJoJ3

【小问2详解】

X的可能取值为2,3,4,

〜221"八z2114

P（X=2}=—x—=—,P（X=3}=C\x-x-x-=—

‘7669'7233327

尸(X=4)=l-尸(X=2)-尸(X=3)=药,

所以X的分布列为：

X234

420

p

92727

I42098

所以数学期望E(X)=2x—+3x—+4x，=^.

―9272727

18.A/18。中，角A,B,C所对的边分别是。，b.C,满足：accos^+<72(cosC-l)=/)2-c2,

(1)求角C；

(2)若°=2,求。一人的取值范围.

7T

【答案】(1)c=-

3

(2)(-2,2)

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理与正弦定理求得cosC=,，从而求得角C；

2

(2)由正弦定理得用A表示凡6,用三角恒等变换化简得a-b=¥sin(/-g),用三角函数求得范围.

【小问1详解】

由已知得，b2+a2-c2=accosJ+a2cosC,

由余弦定理，得〃+Q2一/=2Q6COSC，

2abcosC=accosA+a2cosC,

/.2Z?cosC=ccosJ+acosC,

由正弦定理，有2sin8cosC=sinCcos4+sin4cosC=sin（4+C）=sin5,

:sin8w0,/.cosC=—,

2

jr

又Ce（O,7i）,C="

【小问2详解】

2兀

在三角形力中，B=——4,

3

b

由正弦定理得:

sinZsin8sinC

csinAMnZcsinB^l.

a=b==§nB

sinC3sinC3

一人”“一

33I3）

TTzjr

,在三角形4SC中C=—,0<4<兀，0<5=-----A<TI,

33

.八彳2兀日Q兀‘/兀兀nnV3.//兀、百

333323J2

则有一2<半5出（/一三）<2,

所以。一6的取值范围是(一2,2).

19.已知函数/(x)=2ax-e”.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)<4a2-4a.

【答案】(I)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性；

(2)结合(1)由分析可得要证明原结论只需证明In2a<2a—1,设g(a)=ln2q-2a+l,利用导数求

其最大值即可.

【小问1详解】

由/'(x)=2ax-e',得/'(x)=2a-e*,

①当aWO时,/'(x)<0,/(x)在R上单调递减：

②当。>0时，令/'(x)=0,得x=ln2a,

当xe(-oo,ln2a)时,/(x)单调递增;

xe(ln2a,+00),/,(x)<0,/(x)单调递减：

【小问2详解】

由(1)知,当a〉0时，/max(x)=/(ln2a)=2aln2a-2a,

要证：当a>0时，/(x)<4a2-4«,

可证：2aln2a-2。W4/-4。，

因为。>0,即证：In2a<2a-1,

设g(a)=In2a-2。+1,g,(a)=—-2,

令g'(a)=0，则a=；,

所以当时，g'(a)>0,g(a)单调递增；

当时，g,(a)<0,g(a)单调递减，

gmax(a)=g]£|=°，所以g(a)40，

即ln2aW2a-l,

所以当a〉0时，/(x)«4/—4a.

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S,，q=2,｛｝>是公差为2的等差数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若々-如=2%(〃》2),且4=3,数列的前〃项和为7；,求7；.

【答案】（1）a„=4n-2

（2）T=-------

n2n+l

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得S“=2",再根据］।.可求得数列｛4｝的通项

IS,-S“_|,〃22

公式；

（2）利用累加法求出数列｛〃,｝的通项公式，然后利用裂项求和法可求得7；.

【小问1详解】

解：因为［显］是公差为2的等差数列，1=幺=2,

I«J11

所以g=2+（〃-l）x2=2〃，得S.=2〃2,

n

当〃22时,an=S„-S“T=4〃-2：

〃=1时，q=2符合凡=4〃-2,

所以W〃wN*，%=4〃-2.

【小问2详解】

解：由0T=2%=8〃-4（〃之2）,且4=3,

当“22时，则有年=瓦+（%-bj+他一人2）+…+（b“一%）

.、（8W-4+12）（M-1）2

=3+12+20+…+（8”-4）=3+^---------——^=4"一1,

又4=3也满足"=4〃2-1,故对任意的〃eN*，“=4〃2-1,

1111（11）

2

~bn~4M-1—（2〃-1）（2〃+1）2n+\）

21.如图所示，在三棱锥P—力3。中，已知P/_L平面48C,平面尸46,平面尸8C.

p

B

（1）证明：8c人平面「48；

（2）若P/=N8=6,BC=3,在线段尸C上（不含端点），是否存在点。，使得二面角-。的

余弦值为®,若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）存在；。是尸C上靠近C的三等分点

【解析】

【分析】（1）过点A作/E1P5于点E，由面面垂直性质定理可得平面P8C,由此证明/EL8C,

再证明根据线面垂直判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求平面力CO,平面XBO的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件

列方程确定点。的位置；

【小问1详解】

过点A作NE，PB于点E，

因为平面PZ8J_平面P8C,且平面PZ8C平面P8C=P8,ZEu平面R46，

所以ZE_L平面尸8C,

又8Cu平面尸8C,所以ZEJ.8C,

又尸.平面4SC,BCu平面PBC,

所以

又因为/EnP/=/，AE,P4u平面0/3，

所以8CJ.平面P/B.

p

【小问2详解】

假设在线段尸。上（不含端点），存在点。，使得二面角3-的余弦值为典,

5

以8为原点，分别以及、或为x轴，V轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,

则力（0,6,0）,5（0,0,0）,C（3,0,0）,