关注知识本质 构建有效课堂

田忌赛马的故事在中国流传了2000多年，但想要深刻理解它的意义，却要借助一个不到100年历史的数学分支——博弈论，又称对策论来加以解释。现实生活是数学学习的起点。传统的《数学广角——田忌赛马》的教学，教师通常更关注故事情节上的教学，强调获胜方法的指导，却忽视体会解决问题策略的多样性，忽视从多样性的策略中寻找最优策略、发展优化意识，缺乏引导学生从数学知识的本质去分析、解答问题，把《数学广角——田忌赛马》当成故事游戏活动课，偏离了教材渗透统筹优化数学思想方法的编写意图，从而影响了课堂教学的质量。因此，应该从关注知识的本质出发，从而建构有效课堂。一、溯本求源，探索知识起点传统的《数学广角——田忌赛马》的教学，侧重的是获胜方法的指导与总结。反映到“田忌赛马”获胜的方法上，就是“调换顺序”“用田忌最弱马去消耗齐王最强的马”等方法的概括指导。但是，在练习后发现，学生只会生搬硬套所学方法，并不理解其中原委。究其原因有两点：一是学生不理解解决问题策略的多样性；二是不习惯运用从多样性的策略中寻找最优策略。因此，要提高课堂教学的有效性，教学必须从学生已有的知识经验出发，溯本求源，探索对策论的知识起点。（一）重温排列方法，链接学生思维的起点教学导入时，可在回忆排列的方法上着手。对学生来说，他们是第一次接触对策论，需要理解：要想找出最优策略需要找出解决问题的所有方法，具有一定的排列组合的思想是很重要的。教师可以这样处理：（1）提问：3，5，8这3个数字有哪些排列方法呢？（2）引导：按照一定的顺序进行排列真好，能找得又快又对，既不重复也不遗漏。（3）思考：这六组数字哪一组最好呢？（没有对手体现不出最好）。这样，通过回忆排列的方法，在学生心中埋下运用排列的方法找出解决问题所有策略的种子，引导学生用数学的眼光看问题。（二）抓住知识联系，找准学生思维的生长点学生思维在特定环境中对获得的信息进行加工，形成了认知活动。教学时，教师可以设计情景再现、互动游戏等一系列具有针对性、含有一定内在逻辑的数学思维活动，为学生在特定的情境中形成特定的记忆，获得数学活动经验，积累数学思维素材，使思维活动有连接点和生长点。“田忌赛马”被公认为是最为经典的对策选择案例。策略性环境在社会生活中是很常见的。学生要学会了解在策略性环境下，应该怎样采取行动。让学生经历自主探究的过程，体验解决问题策略的多样化，理解为了确定采取的行动是最优方案，必须考虑对方会怎样选择行动方案［1］。二、高屋建瓴，挖掘知识本质“田忌赛马”是应用对策论，最古老最典型的案例，故教材选这个故事作为例题，它研究的是竞争，双方采取什么对策，才能战胜对手。教学必须符合学生的心理特征和年龄特点，引导学生从故事中发现和提出数学问题，并运用数学思想方法分析问题和解决问题。其实，让学生感受统筹优化数学思想方法并不简单。在实际教学中，学生会出现“沉浸在比赛的兴奋当中，很难冷静思考，导致不能得出必胜策略”“不能按一定的顺序去做，结果导致汇报时思路也不清晰”等各种问题。因此，要从追寻对策论数学文化的“源”和“流”，探究“反败为胜”的概率等方面入手，引导学生去体验，挖掘对策论的知识本质。（一）深入教学策略语文有同题课文，语文课教学时常常把这些策略、故事蕴含的哲理分析得非常透彻。因此，教学时我们应当着重引导学生用数学的眼光看待故事，找寻故事背后的数学知识本质。但是，在实际教学中，教师常常因为学生了解这些策略从而简单对待，反而会导致教学失误或不到位。以“以弱胜强”为例，要让学生明白策略不是凭空想象，是需要通过讨论交流、推理验证等方式获得解决问题的策略。“以弱胜强”策略的教学是否到位，有两个衡量指标。第一，是否引导学生通过有序思考找出各种应对策略。策略是要基于全局考虑，这是学生生活和学习中比较缺乏的。因此，教学必须引导学生有序思考，一一排列，找全田忌的6种不同应对策略。第二，必须让学生明白，孙膑找到的这种可赢的策略是在齐王不改变自己的出马顺序为前提的。学生在运用田忌的6种不同策略与齐王的马一一比对中，找到唯一能赢的策略，从而更深刻地体会“谋略在先、以弱胜强”的不易，感悟“统筹”的魅力。学生在独立思考、合作交流中，获得数学活动经验［2］。（二）启发提问深入探究不少教师在教学中常常只关注得出的结论的正确性，缺乏深入探究结论背后的数学知识的本质。例如，学习《田忌赛马》时，得出田忌的6种不同应对策略只有1种是能赢的策略后，教师会小结：“我们就把这种策略叫做最优策略。”草草结束新课的教学。但是，这样的方式没有让学生的思维得到拓展，参与教学活动没有达到一定的深度。教师可以这样处理：（1）提问：田忌的马的出场顺序一共有多少种方法？（2）引导：按照一定的顺序进行填表，既不重复又不遗漏。（3）观察：这六种排列方法中只有一种能赢齐王。（4）思考：齐王每更换一次马的出场顺序，田忌有多少种排列方法来应对？（6种）。（5）追问：不管齐王的马怎么出场，田忌都有赢的可能，赢得可能性是多少？（1/6）。不是说齐王的马的实力更强一些吗？（所以齐王赢的可能性是5/6）。这样，在研究田忌有哪几种应对齐王的策略时，通过一一排列，找全田忌的6种不同对策，发现田忌获胜的可能性只有1/6。这样的教学活动给学生留下深刻的理解和长久的思维激动，进一步挖掘了数学知识的本质。这样，在丰富的活动中不仅让学生感悟出用列举法解决问题的策略，渗透一一对应的数学思想，而且培养了学生的自主参与意识和自主探究能力，使学生体会到数学的丰富内涵，感受到数学知识就在生活中。三、儿童视角，体悟数学价值观察能力的培养是小学数学活动的重要组成部分。观察是儿童有意识地对事物的数与形的特点进行感知的活动。在数学中，不论是对基本规律的发现、数与形的结合、数据关系的掌握，还是对图形的识别，都离不开细致的观察。在小学数学课堂的观察活动中，要细致，要有目的、有方向，才能更好地找出规律，提高教学的有效性。《田忌赛马》是学生熟悉的故事，可以通过再现两次比赛，结合这两次比赛的不同结果，借助信息技术手段将视频分成两部分，分别导入进电子书包中，在学生观看完比赛后，提问：在每次比赛中，田忌是怎样派马迎战齐王的？其意图有两个：一是判断双方马的实力，二是帮助学生积累观察经验——观察中学会把握变换的关键性因素。电子书包环境下的视频演示使得整个变换过程清楚明了，学生在观看视频的过程中很快对知识有了直观认识。同时，也为决策的作用及在比赛中可能产生的不同结果有一个整体的理解。儿童的天性就是好“玩”。“玩”数学的特别之处就在于学习者在轻松愉悦的心理状态下，有意识地去“做”。对策问题作为现代应用数学的一个重要研究对象，它在日常生活以及社会科学研究中都有广泛的应用。［3］对于四年级学生来说，他们的注意力、理解力以及认知能力有限，领会对策论这种高深的数学知识和方法相对是不容易的。因此，要借助学生喜欢的故事和游戏等手段，进行教学，营造生动活泼的教学氛围，在轻松愉快的活动中，使教学由难变易。游戏激趣，体会从多样性的策略中寻找最优策略。博弈，是参与者使用一定的策略进行互动，来使自己利益最大化的一个过程。对学生来说，怎么寻找最优策略是一个难点。因此，必须在学生已有的知识经验和最优策略中间，找到一个连接点，这可以用“比大小游戏”这样生动的例子来实现。（1）明确游戏规则：用3，5，8（红牌）这几张数字牌和4，6，9（黑牌）进行比大小，三局两胜。（2）观察：红牌（3，5，8）有且只有2张大于黑牌（4，6，9）2张牌，明显4，6，9的实力强。（3）思考：3，5，8（红牌）这几张数字牌的6组排列中，有能战胜4，6，9的排列吗？（4）操作：运用贴牌的方式让红牌（3，5，8）的6种排列一一与黑牌（4，6，9）进行比赛。寻找能获胜的排列。（5）追问：红牌（3，5，8）的这6种排列中，能战胜4，6，9的有几种？（1种）通过比大小游戏，让学生体会运用不同的排列方法进行比赛有不同的结果。在操作中，让学生感受到获得实力稍弱的红牌获胜的方法不是碰运气的，而是通过有序思考，一一排列获得的，引导学生从数学的角度分析问题，体悟数学价值［4］。这样，不仅把适当的内容设计成儿童喜爱的游戏学习活动，而且使课堂变得更有生命力，更有活力。四、关注知识本质、构建有效课堂策略（一）创设生活情境，合理引入数学概念知识数学课堂导入练习，对激发学生深入学习数学知识有很大帮助，也是整个数学概念理解教学中的一个重要环节。一个优秀有效的数学课堂导入练习，可以迅速激发学生对未来所学新知识的强烈好奇心，让他们迅速与继续学习相关新知识的能力联系起来，有一个相对清晰的系统认识，并在心里有一定深度的学习期待，使他们未来的后续学习达到事半功倍的效果。目前，国内的教育工作者也越来越重视对学生的课堂学习导入进行相关研究，并由此提出和设计了许多关于课堂知识导入的教学方法，包括从培养学生兴趣的实际生活情况出发，创设生活情境，有效、快速吸引学生的主观注意力；引导学生从数学课堂学习开始就自觉跟随数学教师的思路步伐，深入学习数学概念……（二）培养学生的实践能力，加强实践操作钱守望教授一直主张，在课堂教学内容中，要为学生提供更多的独立观察、思考和探索的时间，提供更多的实践活动空间，为学生提供更多的展示才华的机会，提供更多的学习体验，提供成功学习带来的精神愉悦，让所有学生自始至终参与和体验自己知识形成和获取的全过程。因此，教师在课堂上要进一步改变传统的灌输式课堂和教学管理方式，倡导创新的小组教学合作和教学研究方式，注重对学生实验和动手综合能力的系统培养，使低年级学生在各种小组实践和合作环境中逐步发挥出最大的创造性和主观能动性，并亲身体验一个数学概念最终形成体系的复杂过程，进一步加深对数学知识的全面认识，促进教师专业水平和能力的进一步提高，为教师今后更好地学习和实践奠定良好的基础［5］。（三）回归数学课本，正确解读数学概念培根曾提出，“数学是思维的体操”。因此，数学教师在数字化教学实施活动中，要真正有效实现数学课堂的实际教学任务目标，就必须正确解读数学概念。每一个讲解数学概念的课堂教学环节都需要有自己独特的实践教学思路。因此，广大教师在实践教学活动前要正确解读这些数学概念，并投入到研究中去，从而更加正确、深入地解读自己的数学概念，挖掘这些数学知识，