全国通用2023年高考数学二轮复习易错题-易错点15 概率 （文科专用）（含解析）

易错点15概率

易错分析

易错点1.事件、频率和概率概念理解错误

1.事件的关系

定义表示法图示

一般地，如果事件/发生时，事件8

包含

一定发生，则称“4包含于夕'（或"B记作AQ6（或总A）

关系

包含）

给定事件4B,若事件4与6不能同

互斥若in8=0,则/与6互

时发生,则称力与8互斥，记作

事件斥

。（或AC\B=^）

给定样本空间。与事件4则由。中

对立若4c8=0,且”6=

所有不属于/的样本点组成的事件称

事件Q,则力与8对立<3®

为4的对立事件，记作4

2.事件的运算

定义表示法图示

给定事件4B,由所有力中的样本点

并事件与6中的样本点组成的事件称为A与记作4+作或AU助

8的和（或并）

给定事件4B,由/与8中的公共样

交事件本点组成的事件称为4与8的积（或记作丝（或ACVff）

交）

3.用频率，伯计概率

一般地，如果在〃次重复进行的试验中，事件月发生的频率为*其中，〃是〃次重复试验

事件A发生的次数，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率PC4）的估计值为四.

n

易错点2.古典概型和几何概型公式理解错误

1.古典概型

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是直眼的（简称为有限性），而且可以

认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能

性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.

2.古典概型的概率公式

古典概型中，假设样本空间含有〃个样本点，如果事件C包含有0个样本点，则

3.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称

这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地

取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到

上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。用这

种方法处理随机试验，称为几何概型.

几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。这个概念在我国

初中数学中就开始介绍了。

古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的

区别在于试验的结果是无限个。

4.概率的性质

性质1：对任意的事件4都有0<P（4）Wl；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即尸（。）=1,P（0）=O；

性质3：如果事件4与事件8互斥，那么P（AUg）=P（Q+P（心;

性质4：如果事件/与事件5互为对立事件，那么尸（面=1一尸（/）,P（A）=1—P㈤;

性质5：如果4U8,那么。储）WP（而，由该性质可得，对于任意事件4因为。U/1U。，所

以OWPGOWL

性质6：设46是一个随机试验中的两个事件，相P（AU助=P（A）+P（助一P（AC町.

易错点3.条件概率和全概率公式理解错误

1.相互独立事件

一般地，当尸64而=尸（冷尸（0时,就称事件4与6相互独立（简称独立）.如果事件力与6相

互独立，则7与7,A与B,7与力也相互独立.

2.条件概率

（1）概念：一般地，当事件夕发生的概率大于0（即。（曲>0）时,已知事件6发生的条件下事

件4发生的概率，称为条件概率，记作。（4面，而且发生的=/：外的.

（2）两个公式

2

①利用古典概型，P（B\A）=喂患:

②概率的乘法公式：户（/而=必心去公式）.

3.全概率公式

一般地，如果样本空间为。，A,6为事件，则仍与6了是互斥的，且8=6。=5（/+7）

^BA+BA,从而尸（而=P（刈+瓦?）=尸（以）+P（5l）,当/（4）〉0且P（7）＞0时，有尸（0

=。（冷冷+P5）P⑻7）.

错题纠正

1.已知尸（川、尸（8）分别表示随机事件4、6发生的概率，那么1-P（AB）是下列哪个事件

的概率（）

A.事件46同时发生B.事件46至少有一个发生

C.事件/、8都不发生D.事件4、6至多有一个发生

【答案】D

【详解】」表示随机事件口、口同时发生，所以||就是事件口、口至多有一个发

生.

故选：D

2.北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，

打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林

没有选择冰壶的概率为（）

不当

冰壶短道速滑a花样滑冰Z冬季两项

A.口B.口C.口D.口

【答案】C

【详解】解：记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为/，B,C,D,

则从这四个项目中任选两项的情况有46,AC,AD,BC,BD,CD,共6种情况，

其中没有选择冰壶的有6GBD,CD,共3种情况,

所以所求概率为

3

故选：c.

3.从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性

别不同的概率为（）

A.口B.gC.0D.口_

【答案】D

【详解】两名男生标记为口，口，两名女生标记为口，匚］

从中随机选2名参加社会实践的事件有「一|'~|,||~~|,|,厂「

共计6种.

其中两名同学性别不同的事件有］j,「1共计4种，

所求概率.

故选：D.

4.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙

子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5

部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学

文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为

()

.

A.C.

D•口

【答案】A

【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数

设小｛所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著｝

则,一

故选：A.

5.如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号.若在该矩形中

任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）.

4

A.B.

【答案】C

【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1,

则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的1,再减去一个小正方形,

阴影部分面积为，矩形的面积为6,

由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为

故选：C

的概率为（）

nncn

A.B.D.u

【答案】B

，区间长度为口,

【详解】设口“区间随机取1个数”，对应集合为:

口“取到的数小于卜,，对应集合为：，区间长度为

所以

故选：B.

2.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶图:

5

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结

论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:

故选：C

3.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【详解】解：将3个1和2个。随机排成一行，可以是：

共10种排法,

其中2个0不相邻的排列方法为:

6

共6种方法,

故2个0不相邻的概率为1

故选：C.

4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为（）

B•口，・口。•口

【答案】C

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,

4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有

(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情

况，故概率为1|

故选：C.

5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率

是()

A.B.C.D.

【答案】D

【详解】试题分析：从装有1个红球，口个白球的袋中任取'一个球，共有基本事件］|种,

则全取红球的基本事件只有一种，所以所取门个球中至少有1个白球的概率为，

7

故选D.

易错题通关

一、单选题

1.口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为

（）

A.IB.yC.-D.-

3234

【答案】A

【详解】设2个白球分别为AB,2个黑球为从中随机取出两个球，则所有可能的情

况有（A,8）,（A,a），（Ab）,（B,a）,（B⑼,（a,4共6种情况,

其中两个球颜色不同的情况有（Aa），（A,。），（氏。），（民冲共4种情况，故两个球颜色不

42

同的概率为

63

故选：A

2.一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆，点击圆周上点｛后该点在圆周上

随机转动，最终落点为6,当线段46的长不小于时自动播放音乐，则一次转动能播放

出音乐的概率为（）

卜•（B-1TD-i

【答案】C

【详解】如图，连接A。，过。作直径MV,使得AO_LMV,连接40

则可得AM=&r

满足条件点B位于下半圆（包括端点M,N）,其概率为尸==匚=1

故选：C.

8

3.我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异

的成绩，在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷

爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为

0.4,利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0,1,2,3表示滑跳成功，4,5,

6,7,8,9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模

拟产生如下10组随机数：931,502,659,491,275,937,740,632,845,302.由此估计

谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】B

【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳中至少有2轮成功”的有931,502,632,

4

302,共4个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为历=0.4,

故选：B.

4.由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控

制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配

合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选

取一名医生和一名护士的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5455

【答案】D

【详解】记3名护士为。曲，2名医生为4员两个检测点分别为：AB,Ac,Ad,Ae,Be,Bd,

Be,cd,ce,de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有力c,Ad,Ae,Be,

Bd,咫共6种，所以概率为A=|

故选：D

5.若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为见〃，则满足苏+*<25的概率是

9

A.g

B.—C'D

36?-H

【答案】B

【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为机、〃，两次抛掷得到的结果可以用

(/«,〃)表示,

则结果有(U),(1,2),(1,3),(1,4)，(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共有36种.

其中满足川+川＜25有：(1/)，(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),

(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),共13种,

13

所以满足加+/v25的概率pf

36

故选：B

6.执行如图所示的程序框图，则输出的N的值与下面的哪个数最接近？（)

A.nB.25万

C.50万D.100万

10

【答案】B

【详解】由题意可知I,该程序相当于在［0』内任取1()()对数对(x,y)(OVx41,OVy41),

其中满足/+41的数对有N对，显然该问题是几何概型.

04x41

不等式组所表示的区域为面积为1,

0<y<l

04x41

04y41所表示的区域面积为土，故2»冬，因此N»25p,

22—44100

x+y<\

故选：B.

7.一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1,2,3,4.抛掷该正四面体两次，依

次记下它与地面接触的面上的数字.记事件4为“第一次记下的数字为奇数”，事件6为“第

二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是()

A.尸(A)=gB.事件力与事件8互斥

C.P(B\A)=^D.事件/与事件6相互独立

【答案】C

717Q21

【详解】由题意得P(4)=t=：P(B}=——=—,P(AB)

v74x416')4^4~8

・・・尸(AB)H尸(P)•尸(P),,••事件4和事件夕不相互独立,

故选：C.

8.2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐高

涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作了

简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为4B,C,〃小明每次投掷

都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入4,B,C,。区的概率分别为0.01,0.1,

0.3,0.59,小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入｛或。区，另一个

冰壶进入6或〃区的概率为()

A.1B.0.2139C.0.4278D.0.1958

【答案】C

11

【详解】投掷一个冰壶进入/或C区的概率为0.01+0.3=0.31

投掷一个冰壶进入8或〃区的概率为0.1+0.59=0.69

小明投掷两个冰壶，则有一个冰壶进入/或C区，另一个冰壶进入6或〃区的概率为

P=C；x0.31x0.69=0.4278

故选：C

二、多选题

9.已知事件A与事件8为互斥事件,,是事件A的对立事件，厉是事件8的对立事件，若

尸（A）=1,P（B）="则（

)

Jo

A.啊!B.*AB)=g

C.网无B）=0D.事件A与事件8不独立

【答案】ABD

【详解】对于A,P（^）=1-P（A）=|

故A正确;

1

对于B,P（AuB）=P（A）+P（B）=二，故B正确;

362

对于C,因为事件A与事件B为互斥事件，事件无否不一定为互斥事件，则尸0rl可=0不

一定成立，故C不正确;

对于D,P（AB）=0,P（A）P（B）=^-,P（AB）*P（A）P（B）,故事件A与事件B不独立.所以

18

D正确.

故选：ABD.

10.甲、乙两个盒子中分别装有红球、白球和黑球若干，从甲盒子中取出一个红球的概率为

取出一个白球的概率为从乙盒子中取出一个红球的概率和取出一个白球的概率均

42

为g.现从两个盒子中各取出一个球，下列结论正确的是（）

A.两个球都是黑球的概率为《B.两个球中一个红球一个白球的概率为:

C.两个球中恰有一个黑球的概率为得D.两个球中至少有一个红球的概率，

【答案】ACD

【详解】解：由题意得：甲盒子中取出一个黑球的概率为!，乙盒子中取出一个黑球的概率

4

12

对于选项A,两个球都是黑球的概率为:xg=\,选项A正确；

对于选项B,两个球中一个红球一个白球的概率为:xg+gxg=；,选项B错误；

对于选项C,两个球中恰有一个黑球的概率为!+++选项C正确；

对于选项D，两个球中至少有一个红球的概率为;++++=；,选项D

正确.

故选：ACD.

三、解答题

11.新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，

某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线

上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽

取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间(单位:

h)的频率分布表.

分组频数频率

[6,6.5)mn

[6.5,7)60.12

[7,7.5)80.16

[7.5,8)S0.24

[8,8.5)110.22

[8.5,9]90.18

合计501

(1)求该校高一学生的总数；

(2)求频率分布表中实数如n,s的值；

(3)己知日睡眠时间在区间［6.5,7)内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任

选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.

13

【答案】(1)

设该校高一学生的总数为X,

,日西50200-50公力

由题息一=———＞解4得ax=