2023-2024学年重庆市永川高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年重庆市永H|高二下学期期中数学模拟试题

一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.火车开出车站一段时间内，速度丫（单位：米/秒）与行驶时间M单位：秒）之间的关系是V⑺=04+0.6/2,

则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒？（）

257

A.一秒B.2秒C.一秒D.一秒

323

【正确答案】B

【分析】

对函数□（/）求导，然后令M（∕）=2.8,解方程可得.

【详解】由题意可知，v∖t）=0.4+1.26令0.4+1.2f=2.8可得，t=2（秒）.

故选：B.

2.已知C：=C：,则A：=（）

A.28B.30C.56D.72

【正确答案】C

【分析】由组合数性质求出〃，再用排列数公式求值.

【详解】因为C：=C：,

所以由组合数性质得，"=3+5=8,

所以A：=Aj=8x7=56.

故选：C.

3.在（d一3）的展开式中，二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为（）

A.16B.32C.1D.-32

【正确答案】A

【分析】先根据二项式系数和公式得〃=4,再令特殊值X=I即可求得答案.

【详解】解：因为二项式系数的和是16,所以2"=16,解得〃=4,

所以，令x=l得展开式中各项系数的和为（-2）4=16∙

故选：A

4.随机变量X服从两点分布，且尸（X=I）=O.2,令y=3X-2,则尸（丫=-2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【正确答案】D

【分析】根据两点分布的性质求出P(X=0),则尸(y=—2)=P(X=0).

【详解】因为随机变量X服从两点分布，且P(X=I)=O.2,

所以P(X=O)=I—尸(X=I)=I—0.2=0.8,

由y=3X-2,所以P(y=-2)=P(X=0)=0.8.

故选：D

5.设α为实数，函数/(x)=χ3+αr(χeR)在X=I处有极值，则曲线y=∕(x)在原点处的切线方程为

()

A.y=-2xB.y=-3x

Cy=3xD.y=4x

【正确答案】B

【分析】根据导数的运算得/'(x)=3χ2+α,由极值情况可求得。=-3,再利用导数的几何意义即可求

得在原点处的切线方程.

【详解】因为/(x)=χ3+αx(xeR),所以/'(x)=3/，

又函数/(x)在x=l处有极值，则/'⑴=3+α=0,得α=-3

所以/(x)=∕-3x,f^(x)=3x2-3,令/"(χ)=0得X=-I,χ=l

且函数/(x)在(-8,T)递增，(Tl)递减，。,+8)递增，则X=I是函数/(x)的极小值点，

所以/'(0)=α=-3,/⑼=0,则曲线y=∕(x)在原点处的切线方程为y=-3x.

故选：B

6.按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形

码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的

窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少()种不同的编码.

A.120B.60C.40D.10

【正确答案】D

【分析】本题转化为排列问题，即3个分别相同的元素与2个分别相同的元素排成一列的总数问题.

【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素(3个分别相同、2个分别相同)排成一列的所有排列数

A5

N=-^T=10.

ʌrʌɜ

故选：D

7.某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,

而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为()

A.0.625B.0.75C.0.5D.0

【正确答案】A

【分析】他答对题目的概率等于知道正确答案时答对和不知道正确答案时猜对的概率和，依题意求解即可.

【详解】用/表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，

用B表示“考生不知道正确答案”，

则尸(8)=0.5,P(A)=O.5,尸(/忸)=100%,

尸(/同=0.25,则

尸(Z)=P(Z8)+尸(/月)=尸(N⑻尸⑻+P(Z同P(耳)=1x0.5+025x0.5=0.625

故选：A

Y1

8.已知函数/(x)=e',g(x)=In万+a的图象分别与直线y=加(加〉0)交于48两点，则H4的最

小值为()

1C,3

A.2B.2+ln2C.e2+-D.2β-ln-

22

【正确答案】B

【分析】先由题意用掰表示48两点坐标，再由两点间距离得到H4=2e'"T_lnM，令

1

MX)=2e'”—lnx(x>0)，用导数的方法求出函数的最小值即可得出结果∙

γ1

【详解】因为函数/(x)=eA∙,g(x)=ln∕+5的图像与直线V=加分别交于48两点，

(\\

所以/(Inw,m),B2e2,m,其中2e"-7〉lnm，且加>。，

\/

ɪ

所以I4同=2e-Inzw,

,

令MX)=2e2-JnX(X>0)

„111

则”(x)=2eL令/(χ)=0得：X=-.

所以易得：x>5时，/∕,(x)>O；0<x<5时，

即函数MX)在(0,；)上单调递减，在上单调递增，

(1、

因此MX)≥∕2-=2+ln2,即MM的最小值为2+ln2∙

故B.

本题主要考查导数的应用，先构造出函数，根据导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.)

9.下列结论正确的是()

A.若随机变量自服从二项分布川4,；),则尸(J=3)=；

B.若随机变量乙服从正态分布N(5,/),4"<2)=0/，则P(2<τ∕<8)=0.8

c.若随机变量X服从两点分布，P(X=I)=;,则。(X)=g

D.若随机变量Y的方差。(y)=2,则。(3Y+2)=8

【正确答案】AB

【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.

【详解】对于A,若随机变量自服从二项分布《4,,则尸(g=3)=C：(；)3.(l—故选项A

正确.

对于B,若随机变量〃服从正态分布N(5,σ∙2),p(77<2)=O.l,则P(z7>8)=O∙l,

故P(2<τ∕<8)=l-尸(〃<2)-尸①>8)=0.8,故选项B正确.

对于C,若P(X=I)=g,E(X)=-,D(X)=(O-L)2χL+(l-L)2χL=L,故选项C错误.

对于D,根据方差的计算公式，O(y)=2,则。(3y+2)=32jD(y)=l8,故选项D错误.

故选：AB.

10.二项展开式(2χ-l)5=%χ5+%χ4+%χ3+%χ2+qx+4,贝IJ()

A.⅜=-1B.5%+4劭+3%+2%+Q]=10

C.%=80D.〃]+%+。3+。4+〃5=1

【正确答案】ABC

【分析】对A、D选项，给X赋特值即可判断；对于C选项则需要根据二项式系数的公式即可得出；对于

B选项求导以后赋特值即可求出.

【详解】对A：令X=0,可得故A正确；

4432

对B：左右两边分别求导得：5×(2X-1)×2=5a5x+4a4x+3ajx+2a2x'+aλ,令X=1,得

5%+4%+3%+2%+6=1°，故B正确；

32

对C：α3=C^×2×(-l)=80,故C正确；

对D：令X=1,可得/+q+出+/+4+为=L而α0=T,所以％+%+%+%+%=2，故D错

误.

故选：ABC.

11.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行.甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、

自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有()

A.若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案

B.安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

C.若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案

D.已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的

站中间，则有40种不同的站法

【正确答案】ACD

【分析】根据分组分配法即可判断AC,根据捆绑法可以判断B,根据特殊位置优先安排可判断D.

【详解】解：对于A：若每个比赛区至少安排1人，则有C；A：=240种不同的方案，故A正确；

对于B：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有A；A：=48种，故B错误;

对于C：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有C；A；=60种不同的方案，故C正确；

对于D：先排前排，由A；=20种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有A；=2种，贝IJ有20X2=40

种，故D正确.

故选：ACD

12.已知函数［(x)=SinX+/一依，则下列结论正确的是()

A./(x)是奇函数B.当α=-3时，函数/(x)恰有两个零点

C.若/(x)为增函数，则α≤lD.当α=3时，函数/(x)恰有两个极值点

【正确答案】ACD

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数/(X)的单调性，可判断B选项的正误；

利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，函数/(x)=SinX+χ3一6的定义域为R,

/(-X)=Sin(-x)+(-Xy+qx=-sinx-χ3+aχ=一/(χ),函数/(x)为奇函数，A选项正确；

对于B选项，当α=-3时,f(x)=sinx+x3+3x,则/'(X)=CoSX+3x?+3>0,

所以，函数/")在R上为增函数，又/'(0)=0,所以，函数/")有且只有一个零点，B选项错误；

对于C选项，/'(X)=CoSX+3χ2-α,

由于函数/(x)为增函数，则/'(x)»0对任意的XeR恒成立，即α≤3F+COSX-

令g(x)=3χ2+cosx,则g'(x)=6x-sinx,则g"(x)=6—CoSX〉0,

所以，函数g'(x)在R上为增函数，

当X<O时，g'(x)<g'(0)=0,此时，函数g(x)为减函数；

当x>0时，g'(x)>g'(0)=0,此时，函数g(x)为增函数.

所以，g(x)mjn=g(O)=l,.∙.a≤∖,C选项正确；

对于D选项，当α=3时，/(x)=sin%+x3Sx,则/'(x)=cosx+3f-3.

由B选项可知，函数/'(X)在(y,0)上单调递减，在(0,+力)上单调递增，

∙.∙∕,(-l)=∕,(1)=CoSl〉O,Γ(0)=-2<O,

由零点存在定理可知，函数/'(X)在(TO)和(0,1)上都存在一个零点，

因此，当α=3时，函数/'(X)有两个极值点，D选项正确.

故选：ACD.

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

(1)函数/'(X)在区间O上单调递增。/"(无)》O在区间。上恒成立；

(2)函数/(X)在区间O上单调递减=∕'(x)≤0在区间。上恒成立；

(3)函数/(x)在区间。上不单调O/'(X)在区间。上存在极值点；

(4)函数/")在区间。上存在单调递增区间=五e。，使得/小)>0成立；

(5)函数/(x)在区间D上存在单调递减区间oite。，使得了'(x)<0成立.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数/`(X)=Sin2x+ln2,则/'(χ)=

【正确答案】2cos2x

【分析】直接利用初等函数导数公式,简单复合函数导数及导数运算律求解即可.

【详解】因为(Sin2x)=2cos2χ,(ln2)=0,

所以，由/(X)=sin2x+ln2可得f∖x)=2cos2x+0=2cos2x,

故答案为：2cos2x.

14.已知随机变量J~3(5,p),且EK)=2，则。(/=.

70

【正确答案】—

81

【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.

【详解】解：因为随机变量J〜8(5,p),

IO2

所以E(/=5p=§,所以"=g,

70

所以。

8?

故答案为.—

81

15.2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着

陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同

学中选出4名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为.

3

【正确答案】-##0.6

5

【分析】利用条件概率公式即可得到结果.

【详解】设“甲同学被选出”记为事件A,“乙同学被选出“记为事件8,

则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P(8∣N)==⅛=∣∙

故3

5

16.已知函数/(x)=l+lnX,若对∀χ,X2G(L+O°)，ɪɪ≠⅞›都有|/(王)一/卜2)归《∣lnx∣TnX2∣,

X

则％的取值范围是.

【正确答案】-,+∞∖

【分析】对函数/(χ)=WH求导可知/(χ)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，设

g(x)=∕(x)+左Inx,则当χ>l时，g，(X)=一学+工≥0恒成立,即八地恒成立，设MX)=住,

XXxX

求其最大值后可求k的取值范围.

【详解】/'(X)=-号，则当0<x<l时，欢χ)>0,

当x>ι时，r(χ)<o,所以/(H在(o,ι)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

不妨设1<X1<X2,则/(%)>/(工2)，lnX1<lnX2,

由已知XXΓΠX即/(须)+左玉

/(I)-∕(2)≤A(12-Inxl),In≤/(x2)+⅛lnx2,

☆g(x)=/(x)+8nx,则g(x)在(l,+∞)上不存在减区间，

从而当x>l时，g'(x)=-%+&≥0恒成立，即发≥也恒成立，

v7X2XX

令MX)=皿，则/(χ)=上誓，当χ∈(l,e)时，Λ,(x)>O,6(x)单调递增；

当xe(e,+8)时，/(χ)<0,MX)单调递减，所以MX)—=Me)=L所以

ee

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.在二项式(4f+《)"(•>0)的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大.

(1)求”的值；

(2)若展开式中X的系数为56,求。的值.

【正确答案】(1)8(2)√2∙

【分析】(1)根据二项式系数的特征求出〃；

(2)写出展开式的通项，令16-1=1,求出r,再代入得到方程，解得即可.

2

【小问1详解】

ɑr?+j=)(4>0)的展开式中，

由二项式

当且仅当第5项的二项式系数最大，即C：最大，.J=8.

【小问2详解】

易知二项式展开式的通项为:

/∖8一厂——1—r

1+1=c［4χ2)X2=c∕Aχ2,o≤z∙≤8且reN,

\7

令16—"=1,得厂=6,

2

展开式中X的系数为56,

.∙.eðɑ8-6=56,即Y=2,∙.∙a>O,解得α=√I,

故。的值为J∑∙

18.设f(x)—xi—3x~~9X÷G.

(1)求函数/(X)的单调递增区间；

(2)若函数/(x)的极大值为10,求函数/(x)在［-2,2］上的最小值.

【正确答案】(1)单调递增区间为(—8,-1)和(3,+8);

(2)-17.

【分析】(1)求导研究函数单调性；(2)由(1)知函数的单调区间，找到/")在X=-I处取得极大值,

可求出。，求得最小值.

【小问1详解】

f'(X)=3χ2_6x-9=3(x-3)(X+1),

由/¢(,>0得x>3或x<-l,

所以/(x)的单调递增区间为(—8,-1)和(3,+8);

【小问2详解】

由(I)知函数/(x)在x=—1处取得极大值，

即/(—1)=10,得α=5,则/(X)=J？-3/一9χ+5,

所以/(x)在［-2,-1］上单调递增，在［-1,2］上单调递减，

又/(-2)=3,/(2)=-17,所以/(x)在［—2,2］上的最小值为—17.

19.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.

(1)若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

(2)若5本书都不相同，共有多少种分法？

(3)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

【正确答案】(1)6种；(2)243种；(3)150种.

【分析】(1)用挡板法求解;

(2)每本书都有三种分配方法，求鼎便可得到答案；

(3)用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由

分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：(1)根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，

在4个空位中任选2个，插入挡板，有C；=6种情况，

即有6种不同的分法；

(2)根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，

则5本不同的书有3x3x3x3x3=35=243种；

(3)根据题意，分2步进行分析：

①将5本书分成3组，

C3C1

若分成1、1、3的三组，有V∙2∙=10种分组方法，

A2

CcC

若分成1、2、2的三组，有4=15种分组方法,

则有10+15=25种分组方法;

②将分好的三组全排列，对应3名学生，有团=6种情况，

则有25x6=150种分法.

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，难度一般.解答时注意挡板法、分组分配问题等

的应用，注意分类讨论思想的运用.

20.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与

哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学

习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.

(I)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

(II)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X).

33

【正确答案】⑴十(H)分布列见解析，E(X)=T

【分析】(I)根据分步计数原理总事件数是4'，满足条件的事件数是N：，利用古典概率计算公式即

可得出.

(II)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0,1，2,3.P(J=O)=IPe=I)=驾1

44

PC=2)=竽；PC=3)=:,即可得出所求.

【详解】解：(I)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43=64种不同的选法,

记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件

243

事件〃共包含团=24个基本事件，则尸(Al)=M=W

所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为白3

O

(II)方法一：X可能的取值为0,1,2,3,

_27

P(X=O)=4,-64%X-D-3，-，

64

型2=2,P(X=3)=4

P(X=2)=

4364'J43-64'

所以X的分布列为:

X0123

272791

P

64646464

2727913

所以X的数学期望E(X)=OX——+lx—+2x-+3x-=土

646464644

方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选

修《数学史》的人数，则X〜B[3,；

,所以尸(X=左)=,左=0,1,2,3,

所以X的分布列为:

X0123

272791

P

64646464

13

所以X的数学期望E(X)=3x—.

44

21.为贯彻落实《健康中国行动(2019—2030年)》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等

文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学

学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布

(1)求这200名学生体重的平均数X和方差/(同一组数据用该区间的中点值作代表).

2

(2)由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布"(4,er?),其中〃〃近似为平均数戛，σ

近似为方差S?.

①利用该正态分布，求R50.73<Z≤69.27);

②若从该校随机抽取50名学生，记X表示这50名学生的体重位于区间(50.73,69.27］内的人数，利用①

的结果，求E(X).参考数据.痘Χ9.27若Z~M4,4),则尸(〃一b<Z<4+b)kO.6826,

P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<Z≤∕∕+3σ)«0.9974.

【正确答案】(1)60,86

(2)①0.6826；②34.13

【分析】(1)根据频率分布直方图平均数的求法即可求出于，利用方差公式计算即可求解；

(2)由(1)可知〃=60,J=√86=9.27.结合题意给的参照数据即可求出产(50∙73<Z≤69.27),

进而得X〜8(50,0.6826),利用二项分布求数学期望公式计算即可求解.

【小问1详解】

由题意得，

X=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60；

52=(40-60)2X0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2X0