北京平谷区第九中学高二数学理测试题含解析

北京平谷区第九中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且是纯虚数，则＝()A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为A.

B. C. D.参考答案：B3.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.有不能被2整除的数都是偶数B.有能被2整除的数都不是偶数C.在一个不能被2整除的数都是偶数D.在一个能被2整除的数都不是偶数参考答案：D4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】E7：循环结构．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．5.下列命题中,真命题是（

）A．为实数的充要条件是为共轭复数

B．“”是“”的必要不充分条件C．的充要条件是

D．是的充分不必要条件参考答案：D略6.函数y=x2﹣6x+10在区间（2，4）上是(

)A．减函数 B．增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减参考答案：C【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由于二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关，但a=1＞0抛物线开口向上故只需判断对称轴与区间的关系即可判断出单调性．【解答】解：∵函数y=x2﹣6x+10∴对称轴为x=3∵3∈（2，4）并且a=1＞0抛物线开口向上∴函数y=x2﹣6x+10在区间（2，4）上线递减再递增故答案为C【点评】此题主要考查了利用二次函数的性质判断二次函数在区间上的单调性，属基础题较简单只要理解二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关即可正确求解！7.下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为(

)A．e1＞e2＞e3 B．e1＜e2＜e3 C．e2=e3＜e1 D．e1=e3＞e2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题设条件，分别建立恰当的平面直角坐标系，求出图示①②③中的双曲线的离心率e1，e2，e3，然后再判断e1，e2，e3的大小关系．【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．【点评】恰当地建立坐标系是正确解题的关键．8.当时，则a的取值范围为A. B. C.(1,4)

D.参考答案：B9.设集合，则集合A∩B=(

)A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{1,2,3}参考答案：C【分析】由集合交集运算，根据集合A与集合B，即可求得【详解】集合所以根据集合交集运算可得所以选C【点睛】本题考查了集合交集的运算，属于基础题。10.抛物线的焦点坐标是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则“”是“方程表示双曲线”的_____

____条件。参考答案：充分不必要条件12.经过点，的双曲线方程是___________________.

参考答案：略13.在长方体中，，，点，分别为，的中点，点在棱上，若平面，则四棱锥的外接球的体积为

．参考答案：

14.数列的前ｎ项的和Sn=3n2＋n＋1，则此数列的通项公式an=_______________．参考答案：15.在平面直角坐标系中,二元一次方程(不同时为)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系中,三元一次方程(不同时为)表示

.参考答案：过原点的平面；略16.两个等差数列则--=___________.参考答案：17.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为

．参考答案：7【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案为：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）画出四棱准P﹣ABCD的正视图；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）画出正视图即可；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理证明即可；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：四棱准P﹣ABCD的正视图如图所示．；（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD．因为AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因为AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．（Ⅲ）分别延长CD，BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得，下证AE∥平面PCD，因为AD∥BC，BC=3AD，所以，即，所以．所以AE∥OP，因为OP?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD．【点评】本题考查了三视图问题，考查面面垂直、线面垂直的判断定理，是一道中档题．19.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n，均有，求数列{cn}的通项公式并计算c1＋c2＋c3＋…＋c2012的值．参考答案：（I）设等差数列的公差为d由题：即…………（2分）………………（4分）又

等比数列中所以………………………（6分）（II）

（）两式相减得：

………………（8分）

…………（10分）

…（12分）20.(12分)当n∈N*时，(1)求S1，S2，T1，T2；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．

参考答案：下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证S1＝T1.6分②假设当n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，即：＝Tk＋1.由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．21.（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；(3)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.参考答案：（1）………………2分

（2）………………6分

（3）第1组：人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组：人（设为A，B，C）

共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为…………12分22.（13分）某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可