2022-2023学年河北省保定市阜平县城南庄中学等两校九年级（上）期末数学试卷

2022-2023学年河北省保定市阜平县城南庄中学等两校九年级

（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）

A.太阳光线B.台灯的光线C.手电筒的光线D.路灯的光线

2.小华以每分钟X个字的速度书写，y分钟写了300个字,则y与％之间的函数关系式为（）

XD300_300T

A.=300B.y=——C.y=300—XD.

JXyX

3.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB,则有（)

A.AB2=AP-PBB.AP2=BP-AB

C.BP2=AP-ABD.AP-AB=PBAP

4.计算：sin60°∙tan30°=()

A.1C.√2D.2

F

5.若捻=E=言=匕则々的值为（）

A.1B.1C.D.;或-1

2

6.如图，^Rt∕ιABC'V,“=90°,AB=3,BC=2,则下列三角

函数表示正确的是（）

3

・A2D42C,Λ3

A.SinA=-B.COSA=ɜC.tanA=-D.tanB=

7.ΔΛBC-⅛ΔDEF的相似比为1：4,则aDE尸与△力BC的相似比为（）

A.1：2B.1：3C.4：1D.1：16

8.在AZBC中，∆C=90o,BC=2,Sina=I,则边AC的长是（）

A.3B.ʌ/-5CWD.√13

9.下面四个几何体:

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，点P是反比例函数y=^k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM1X轴，垂足为M.

若APOM的面积等于2,贝也的值等于（）

11.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该

几何体的表面积（表面面积，也叫全面积）为（）

A.20ττ

B.24ττ

C.28ττ

D.32ττ

12.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,

则SEa-cosa=（）

cD.7

∙⅛13

13.如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在4处接到指挥部通

知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75。方向以每小时10海里

的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处

成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是()

A.1小时B.2小时C.3小时D.4小时

14.如图，若△力BC与△AIBIQ是位似图形，则位似中心的坐标是()

t

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.

15.如图，点4在函数y=[(x>0)的图象上，点8在函数y=

g(x>0)的图象上，且4B〃X轴，BC1X轴于点C,则四边形ABeo

的面积为()

1

AB.2

C

3

D.4

16.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径A

四寸，问井深几何？”这是我国古代数学仇章算术中的“井深几何”问/1

题，它的题意可以由图获得，则井深为（）Cf/B

A.1.25尺∕,0∙4I

B.56.5尺：

C.6.25R'D

D.57.5尺

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影

的大小,底面与投影面平行的圆锥体的正投影是.

18.如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=16,点。是A

边BC上一动点（不与B,C重合），∆ADE=4B=ct,DE交AC/'、、

于点E.则当BD=4时，CE=；当NAED=90。时，/

BD=-------BDC

19.如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为AC

格点，4、。、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且NAoB=60o//ʌ//

日寸，贝IJ有力B=；SinNBAC=//∕×√

OB

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤）

20.（本小题8.0分）

如图，已知直线k、l2.b分别截直线%于点A、B、I二，截直线。于点。、E、F,S,I1ZZl2ZZl3-

（1）如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长.

（2）如果DE：EF=2：3,AB=6,求4C的长.

Λ∕Α/ɪ

ɪ

h

21.（本小题8.0分）

∆ABC中，（「∙tanA-3）2+∖2cosB-√3∣=0.

（1）判断AZBC的形状；

（2）若AB=10,求BC、AC的长.

22.（本小题8.0分）

一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯。的高度.如图，当李明走到点4处

时，张龙测得李明直立时身高4M与影子长4E正好相等；接着李明沿4C方向继续向前走，走

到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段4B,并测得4B=1.25m,已知李明直立

时的身高为1.75m,求路灯的高CC的长.（结果精确到0.1m）.

23.（本小题8.0分）

自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某

地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡4B=200米，坡度

为1：将斜坡AB的高度4E降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1：4.求

斜坡CD的长.（结果保留根号）

24.（本小题8.0分）

已知函数y=-X+4的图象与函数y=5的图象在同一平面直角坐标系内，函数y=-x+4的

图象与坐标轴交于4B两点，点M（2,m）是直线上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN

交y轴于点C

⑴Tn=------,SAAOB=------

（2）如果线段MN被反比例函数y=5的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3,求k的

值.

25.（本小题8.0分）

九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CO=3τn,标杆与旗

杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=

2m,求旗杆AB的高度.

26.（本小题8.0分）

某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件.商品的

月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售

量与售价工（元/件）（X≤IO）成反比例，且可以得到如下信息：

售价%（元/件）58

商品的销售量Q（件）580400

(1)求Q与X的函数关系式.

(2)若生产出的商品正好销完，求售价》.

(3)求售价X为多少时，月销售额最大，最大值是多少？

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有4选项得

到的投影为平行投影.

故选:A.

利用中心投影和平行投影的定义判断即可.

本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光.判断投影是中心投

影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影.

2.【答案】B

【解析】解：由题意得：χy=300.

300

∙∙∙y=->

故选:B.

此题可根据等量关系“300=速度X时间”，把相关数值代入即可求解.

解决本题的关键是得到书写总量的等量关系，y与X间的函数关系式应用含X的代数式表示出y∙

3.【答案】B

【解析】解：∙∙∙P为线段AB的黄金分割点，且4P>8P,

.∙.AP2=BPAB.

故选：B.

由AP>BP知Pa是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BPAB.

本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可.

4.【答案】B

【解析】解：s讥60°-tan30°=ɪXʃ=ɪ.

故选:B.

直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

5.【答案】D

【解析】解：当α+b+c=O时，a=-(b+c),因而A=E=嘿2=f

α+b+c_1

当时，

α+ð+c≠0k=(b+c)+(α+b)+(α+c)-2

故k的值是—1或;.

故选：D.

首先根据条件捻=云=左=k,根据α+b+c=(≡ι+b+c≠O,可得到k值.

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

6.【答案】4

【解析】解：在RtAABC中，NC=90。，AB=3,BC=2,

.∙.AC=√AB2-BC2=√^^5,

.o..BC2λACy∕~5.BC22>Γ5j.n4C√^5

∙∙sm"=而=了COSA=-=-,tanA=-=7==-,tanB=-=—

因此选项A符合题意,

故选:A.

根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可.

本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提.

7.【答案】C

【解析】解：∙∙F4BC与ADEF的相似比为1：4

.AB1

Λ----=-*

DE4

.DE_4

Λ----=—*

AB1

・•・△DEF与AABC的相彳以比为4：1.

故选：C.

直接根据相似三角形的性质即可得出结论.

本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比叫相似比是解答此题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：在RtAABC中,

•••AB=3,

・•・根据勾股定理，得AC=，亏.

故选：B.

根据乙4的正弦值，以及BC的长可求出斜边4B的长，然后根据勾股定理求4C.

本题考查了利用勾股定理和锐角三角函数的概念解直角三角形.

9.【答案】B

【解析】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，

故选:B.

根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可.

本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数系数％的几何意义：在反比例函数y=g(kκθ)图象中任取一点，过这一个

点向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是定值生|，也考查了反比例函数的性质，

利用反比例函数k的几何意义得到;Ikl=2,然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的

值.

【解答】

解：∙.FPOM的面积等于2,

1

-∣fc∣=2,而k<0,

：.k=—4.

故选:A.

11.【答案】C

【解析】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱

侧面+圆柱底面积.

圆锥S蒯=ττrl=8ττ,圆柱侧面+圆柱底面积=4X2πr+πr2=16τr+4兀=20τr.

二该几何体的表面积为28τr.

故选：C.

由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余

的部分.

本题考查了组合体的表面积的求法.组合体的表面积在计算时注意要减去重叠的部分.属于基础

题.

12.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角

边是解题的关键.

分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义

GRoT⅛<sjncr⅛cosαl⅜,∣l.,进而可求出Sina-COSa的值.

【解答】

解：•；小正方形面积为49,大正方形面积为169,

•••小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,

在RtZMBC中，AC2+BC2=AB2,

^AC2+(7+4C)2=132,

整理得，AC2+7AC-60=0,

解得4C=5,AC=-12(舍去),

.∙.BC=√AB2-AC2=12，

.AC5BC12

∙∙∙SSQ=^=I5'c。Sa=而=Ir

.5127

・•・Sina—cosa=

故选：D.

13.【答案】B

【解析】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为X小时,

如图所示，

由题意得：^ABC=45o+750=120o,AB=12海里，BC=IoX海里，4C=14x海里，

过点A作4D1CB的延长线于点D,

在Rt△力BD中，AB=I2海里，Z.ABD=45°+（90°-75°）=60°,

∙∙.BD=AB-cos600=^AB=6海里，AD=AB-sin60o=海里，

.∙.CD=IOX+6（海里）.

在Rt△4Cn中，由勾股定理得：（14x）2=（IOx+6）2+（6C）2,

解得：X]=2,Λ⅛=—:（不合题意舍去）•

答:巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时.

故选：B.

设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为X小时，由题意得出44BC=120°,AB=12海里,8C=IOx

海里，4C=14x海里，过点A作4。ICB的延长线于点D,在RtAABO中，由三角函数得出B。、

AC的长度，得出CZ）=IoX+6（海里）.在RtAACC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决

问题的关键.

14.【答案】C

【解析】解：连接CCB1B,并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,-1),

yJk

故选：C.

根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心.

此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连

线的交点即为位似中心是解决此题的关键.

15.【答案】C

【解析】解：如图，延长B4交y轴于D,则四边形OCBD为矩形.

•••点4在双曲线y=:上，点B在双曲线y=:上，

SAoAD=1,S矩腕CBD—4,

••・四边形ABCo的面积=S能形0C8D-SAOAO=4-1=3.

故选：C.

延长BA交y轴于D,则四边形。CB。为矩形.根据反比例函数系数Zc的几何意义，得出SAtMO=1,

S矩形OCBD=4,则四边形4BC。的面积=S矩功CBD-SAOAD=3.

本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=W图象中任取一点，过这一

个点向支轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因；在反比例函数的图象上任意

一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是J|刈，且保持不变.

16.【答案】D

【解析】解：依题意有△力BFSAADE,

∙∙∙AB∙.AD=BF：DE,

即5：AD=0.4：5,

解得40=62.5,

BD=AD-AB=62.5-5=57.5（尺）.

故选：D.

易得△4BFSAAOE,列出比例式即可求解.

本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键.

17.【答案】不变圆

【解析】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影

的大小不变，

底面与投影面平行的圆锥体的正投影是圆.

故答案为：不变，圆.

几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案；确定底

面与投影面平行的圆锥体的正投影找到圆锥的主视图即可.

本题考查了平行投影，解题的关键是熟记概念并灵活运用，由平行光线形成的投影是平行投影，

如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.

18.【答案】:8

【解析】解：AB=AC=IO,BC=16,

ʌZ-B=Z-C,

VZ-ADE=NB=α,

Z-BAD=180o-Z,B-∆ADB=180o-a-∆ADB,乙CDE=180o-∆ADE-Z-ADB=180°-

a-Z-ADB,

：■Z-BAD=∆CDE,

BAD^Δ,CDE,

・・・处=丝，

CEDC

当BD=4时，则DC=BC-FD=16-4=12,

丁BDDC4×1224

∙'∙CE=^Γ=-[O-=^

^∆AED=90。时，则4DEC=180o-∆AED=90°,

,.,ΔBAD^LCDE,

.•・∆ADB=∆DEC=90°,

・•・AD1BC,

11

BD=CD=^BC=j×16=8,

故答案为：y,8.

由NAOE=乙B=a,得NB4。=4CDE=180o-a-∆ADB,即可证明小BADSACDE,得器=器,

当8。=4时，则De=BC-BD=12,贝IJCE==y；当4AED=90。时，WJZDFC=180°-

∆AED=90°,所以44。B=∆DEC=90°,因为48=AC,AD1BC,所以BD=CD=鄂C=8,

于是得到问题的答案.

此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据

∆ADE=NB=α,推导出NBAO=乙CDE=180。一α—并且证明^BADfCoE是为毕题的关

键.

19.【答案】√-7;手

【解析】

【分析】

本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，连接力D,DE,

证明NADO=90。是解决问题的关键.先证出4EOD是等边三角形，得出DEEO=EA=I,从而

得出〃。。=90。，利用勾股定理求出4D,4B的长，再根据平行线的性质得出NBAC=N4BD,

然后利用锐角三角函数的定义即可求解.

【解答】

解：如图，连接4D,DE,

VOE=OD=1,乙EoD=60o,

・•.△EOO是等边三角形，

・・・DE=EO=EA=1,

・・・∆ADO=90°,

・•・AD=√AE2-OD2=√22-12=<3，

ʌAB=√AD2+BD2=J(q)2+22=

•：AC//OB,

:∙Z-BAC=∆ABDf

,CCAD口CI

・•・SinzBylC=

故答案为，不；手.

20.【答案】解:(1)l1∕∕l2∕∕l3-

DEAB41

ʌ~EF~BC82,

・•・DE=；EF=6；

(2)・・・I1∕∕I2∕∕I3∙

.∙.—DE=A—B=2—,

EFBC3

33

ʌBC=-√4JS=-×6=9,

∙∙∙AC=4B+BC=6+9=15.

【解析】(1)由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；

(2)由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长.

本题考查了平行线分线段成比例定理：熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是

解决问题的关键.

21.【答案】解：(l)τ(q∙tanA-3)2≥0,∣2cosβ-√^3∣≥0,

•••当(√3∙tanA-3)2+∖2cosB-√-3∣=0时，则√3∙tanA-3=0,2cosB-√^3=0,

：.tanA=√-3,cosB=ɪ.

.∙∙∆A=60°,乙B=30o.

.∙.ZC=180o-(∆A+NB)=180o-(60o+30o)=90o.

••.△ABC是直角三角形.

(2)如图.

在RtZMBC中，ZC=90o,NA=60。，

1

OX5

.∙.BC=AB-SinA=IOX三=5√^3)AC=AB-CosA2-=

【解析】(1)根据偶次方非负性、绝对值的非负性、特殊三角函数值解决此题.

(2)根据特殊角的三角函数值解决此题.

本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、特殊角的三角函数值，熟练掌握偶次方的非负

性、绝对值的非负性、特殊角的三角函数值是解决本题的关键.

22.【答案】解：设CD长为X米，

•••AMIEC,CD1EC,BN1EC,EA=MA,

∙∙.MA//CD//BN,

EC—CD=%米，

：・AABNSAACD,

...列=竺，即”=上，

CDACXX-1.75'

解得：X=6.125.

经检验，X=6.125是原方程的解，

6.125≈6.1.

答：路灯的高CO的长约为6.1米.

【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似

三角形.

根据AMIEC,CD1EC,BN1EC,EA=MA^∖MA∕/CD//BN,从而得到△力BNS△ACD,利

用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.

23.【答案】解：∆AEB=90o,AB=200米，坡度为1：口,

・•・tanzTIBE=-F==

Λ∆ABE=30°,

.∙.AE^AB=IoO米，

∙.∙AC=20米，

.∙.CE=80米，

∙.∙/CED=90。，斜坡CD的坡度为1：4,

CE1

DE4

ri∣801

'ED4

解得，ED=320,

.∙.CD=√802+3202=80Λ∏7(X),

答：斜坡CO的长是80/17米.

【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得力E的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以

得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CO的长.

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数

解答.

24.【答案】28

【解析】解：(1)M(2,τn)在直线y=-%+4的图象上，

ʌm=—2+4=2,

∙∙∙M(2,2),

•・・点N与点M关于y轴对称，

∙∙∙N(-2,2),

当X=。时，y=4,当y=O时，X=4,

・•・OA=OB=4,

1I

:∙SΔB0A=τ^OA∙OB=-×4×4=8.

故答案为：2,8；

(2)∙∙∙M(2,2),N(-2,2),

・•・MN=4,

•••线段MN被反比例函数y=5的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3,且交点为D,

①当瑞=抖，即：浅4，

・•・ND=1,

・•・。(-1,2),

ʌk=­1×2=-2,

②端=3时,即：自与

••.DM=；MNqX4=1,

・•・D(L2),

∙∙k=1×2=2.

故々的值为-2或2.

(1)利用点在函数图象上的特点求出m,以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法(利用坐

标轴或平行于