2023-2024学年吉林省松原市前郭县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省松原市前郭县八年级(上)期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.第19届亚运会于2023年9月23日〜2023年10月8日在中华人民共和国杭州市举行，在会徽的图案设计

中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是

()

AW

2.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5,那么这个三角形是()

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

3.下列运算正确的是()

A.a3+a2=a5B.a3-a2=a6C.(a3)2=a6D.(—2a2)3=—6a6

4.下列分式中，最简分式是()

.42霓「x—1%2

•五-而D.—

ABxy

5.下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是()

A.(%+2)(%+2)B.(—x+y)(x—y)C.(2%—y)(2x+y)D.(—x—y)(x+y)

6.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线。8,另

一把直尺压住射线。4并且与第一把直尺交于点尸，小明说：“射线OP就是的角平分线.”他这样做的

依据是()

A

111111HM“麻润1山11/1中山|川1|山|一

01/^2^45678910

OB

A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形的三条高交于一点

D.三角形三边的垂直平分线交于一点

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7.人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m.将0.000052用科学记数

法表示为.

8.当x时，分式=有意义.

9.一个多边形的内角和与它的外角和之比为3：1,则这个多边形的边数是.

10.如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计

原理是三角形的.

11.如图，XABC三4DEC,点8、C、。在同一直线上，且=12,AC=7,则

CE长为.

BCD

12.一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16,面积为6,则6?n+7ml2的值为.

13.如图，将矩形纸片4BCD沿EF折叠，点C落在边力B上的点H处，点D落在点G处，pfq

若NGEF=111。，贝亚AUG的度数为.\

A\XED

G

14.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规

定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时

间.设规定时间为x天，则可列方程为.

三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题5分）

计算：a94-a2-a+（a2）4—（—2a4）2.

16.（本小题5分）

先化简分式：（1-工）+正旺，再从23支44中选一个合适的整数代入求值.

17.（本小题5分）

解方程：

x+33—xxz—9

18.（本小题5分）

如图，在△48C中，ZB=62°,N4=28。，CE平分NACB,CD是48上的高.求乙DCE的度数.

19.（本小题7分）

如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点4、B、C在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与△4BC关于直线/成轴对称的△AB'C'；

（2）在/上找一点P,使得PA=PB；

（3）在I上找一点Q,使得QB+QC最小.

20.（本小题7分）

观察以下等式：

第1个等式：目x（2—平）=彳；

第2个等式：六*©-竽）=|；

第3个等式：-#-x（2-^）=|；

第4个等式:号＞＜（2W；

第5个等式：2°x（2—=|;.....

7—455

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第九个等式：（用含n的等式表示），并证明.

21.（本小题7分）

某建筑测量队为了测量一株居民楼ED的高度，在大树4B与居民楼ED之间的地面上选了一点C,使B,C,

。在一直线上，测得大树顶端4的视线AC与居民楼顶墙E的视线EC的夹角为90。，若4B=CD=12米，

BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度.

E

22.(本小题7分)

在理解例题的基础上，完成下列两个问题:

例题：若+2mn+2n2—4n+4=0,求m和几的值;

解：由题意得：(租？+2mn+n2)+(n2—4九+4)=0,

...(m+研+(n―2)2=0{:芳二：，解得{:二二.

请解决以下问题：

(1)若/+4xy+5y2—4y+4=0,求y”的值；

(2)若a,b,c是△ABC的边长，满足a?+解="a+8b-52,c是△ABC的最长边，且c为奇数，贝肥可能

取何值？

23.(本小题8分)

数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片力，1张边长为6的正方形纸片B和2张宽与长分别为a

与6的长方形纸片C,拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：

(1)由图1和图2可以得到的等式为(用含a,b的等式表示)；

(2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2a+6)(a+26)的大长方形，求需4B,C三种纸片各多少张;

(3)如图3,S「S2分别表示边长为p,q的正方形的面积，且A,B,C三点在一条直线上，Si+S2=20,

p+q=6.求图中阴影部分的面积.

24.(本小题8分)

八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图1,4D是AABC的中线，延长4D至点E,使ED=AD,连接BE,写出图中全等的两个三角形

【理解与应用】

(2)填空：如图2,EP是ADEF的中线，若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围是；

⑶己知：如图3,力。是△力8C的中线，4BAC=UCB,点Q在BC的延长线上，QC=BC,求证：AQ=

2AD.

25.(本小题10分)

为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需

求，准备再购买一些篮球和足球.如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2

个，足球的单价为篮球单价的'

(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？

(2)学校计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少购买多少个足球？

(3)在(2)的条件下，若篮球数量不能低过15个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是

多少？

26.(本小题10分)

在等边ATIBC中，AC=8,动点P以每秒3个单位长度的速度从点4出发在射线AC上运动，设点P的运动时

间为t秒.

(1)用含t的代数式表示线段CP的长；

(2)连结PB,当NPBC=30。时，求t的值；

(3)若在线段上存在一点D,且CD=6.在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点。出发

在线段CD上运动，当点Q运动到点。时，立即以原速度返回至终点C,当ACPQ为等腰三角形时，直接写出

t的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A,B,。选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：D.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

2.【答案】A

【解析】解：•••三角形三个内角度数的比为2：3：5,

最大内角的度数是180。X而M=90°,

此三角形是直角三角形，

故选：力.

根据三角形内角和等于180。求出最大内角的度数，再得出选项即可.

本题考查了三角形内角和定理，能熟记三角形内角和定理是解此题的关键，注意：三角形内角和等于

180°.

3.【答案】C

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；

B.a3-a2—a5,故本选项不符合题意；

C.(a3)2=a6,故本选项符合题意；

£>.(-2a2)3=—8a6,故本选项不符合题意.

故选：C.

选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幕的乘法法则判断即可；选项C根据幕的乘方运

算法则判断即可；选项。根据积的乘方运算法则判断即可.

本题考查了合并同类项，同底数幕的乘法以及塞的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关

键.

4.【答案】B

【解析】解：力、原式=等=马不是最简分式，故本选项错误；

2'Xx

B、器的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项正确；

C、原式磊不是最简分式，故本选项错误；

I-I-LJI儿-1-)A-I>!_

y

D、原式=],不是最简分式，故本选项错误；

故选：B.

最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且

观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.

本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的

问题.在解题中一定要引起注意.

5.【答案】C

【解析】解：4(久+2)。+2)=(久+2)2,不符合平方差公式的特点，故选项A错误；

B、(一x+y)(x-y)=-。一旷产，不符合平方差公式的特点，故选项8错误；

C、(2x-y)(2x+y)=4x2-y2,符合平方差公式的特点，故。选项正确；

。、(一万一y)(x+y)=-(比+y)2不符合平方差公式的特点，故选项C错误.

故选：C.

根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：(a+b)(a-b)=a2-

b2,找出整式中的a和6,进行判定即可.

此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：由题意可知，点P到射线。B的距离是直尺的宽度，点P到射线。4的距离也是直尺的宽度，

.••点P到射线0B,。4的距离相等，

.•・点P在NB04的平分线上(在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上).

故选：A.

由题意可知，点P到射线0B,。力的距离相等，则点P在NB04的平分线上，即可得出答案.

本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题

的关键.

7.【答案】5.2x10-5

【解析】【分析】

本题考查用科学记数法表示较小的数.

根据科学记数法对数据进行转化即可.

【解答】

解：0.000052=5.2x10-5.

8.【答案】彳1

【解析】解：•.•分式学有意义,

x-1

•••%—1H0,

解得龙丰1,

故答案为：力1.

分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论.

本题主要考查了分式有意义的条件，解题时也要注意分式无意义的条件是分母等于零.

9.【答案】8

【解析】解：设多边形的边数是n,则

(n-2)x180°：360°=3：1,

整理得n—2=6,

解得n=8.

故答案为：8.

根据多边形的内角和公式(n-2)x180。，外角和等于360。，列式求解即可.

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键.

10.【答案】稳定性

【解析】解：这款手机支架的设计原理是三角形的稳定性，

故答案为：稳定性.

根据三角形具有稳定性解答即可.

本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

11.【答案】5

【解析】解：•・•△4BC三△DEC,

BC=EC,AC=DC,

•・・BD=12,AC=7,

CE=BC=BD-DC=BD-AC=12-7=5.

故答案为:5.

由△ABC三△DEC可得出BC=EC,AC=DC,再卞艮据8C=BD—DC求角星即可.

本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

12.【答案】48

【解析】解：•••・个长、宽分别为机、n的长方形的周长为16,面积为6,

2(m+n)=16,mn=6,

即TH+n=8,mn=6,

则原式=mn(m+n)=48,

故答案为：48

根据长方形周长与面积公式求出nm与巾+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值.

此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键.

13.【答案】42°

【解析】解:由折叠的性质得到：乙HFE=乙CFE,NG=NC=乙4=90°,

•••四边形4BCD是矩形，

HF//GE,BC//AD,zC=ZX=90°,

,­.4HFE+4GEF=180°,

•••乙GEF=111°,

•••乙FFE=69°,

•••4CFE=69°

^AEF=4CFE=69°,

.­./.AEG=乙GEF-/.AEF=111。-69°=42°,

­••“=NA=90°,^AMH=乙EMG,

AAAHG=乙AEG=42°.

故答案为:42°.

由折叠的性质得到乙WFE=lCFE,NG=NC,由平行线的性质求出NHFE=69。得到NAEF=乙CFE=

69°,即可求出NAEG=Z.GEF-^.AEF=111°-69°=42°,由三角形内角和定理得到乙4HG=/-AEG=

42°.

本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点求出NAEF的度数.

14.【答案】2x^=900

x—3

【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（X-3）天，慢马所需的时间为Q+1）天,

由题意得：2x^=900

故答案是：2x^=强

%+1%—3

首先设规定时间为无天，则快马所需的时间为（久-3）天，慢马所需的时间为（久+1）天，由题意得等量关

系：慢马速度x2=快马速度，根据等量关系，可得方程.

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

15.【答案】解：原式=09-2+1+一4a8

=a8+a8-4a8

=—2a8.

【解析】应用同底数幕乘除法，幕的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案.

本题主要考查了同底数募乘除法，嘉的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数易乘除法，塞的乘方与积的乘方

运算法则进行求解是解决本题的关键.

16.【答案】解：原式=（匕1—2）+段2

'%—2x—2,2（%—2）

x—32（第一2）

一x-2（x-3）2

__2_

-C

v2<X<4,

又•・,xW2且XW3,

••・x=4,

当久=4时，原式=2.

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，把工的值代入计算即可求出值.

此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.【答案】解：方程两边都乘（％+3）（%-3）,得

x—3+2（%+3）=12,

解得％=3.

检验：当x=3时，(K+3)(%-3)=0.

故原方程无解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的

解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分

式方程一定注意要验根.

18.【答案】解：•••乙4=28°,乙B=62°,

•••Z4C5=180°一4A—=90°,

•••CE平分N&C8,

••・乙BCE=^ACB=45°,

CD是AB边上的高，

・••乙BDC=90°,

・•・(BCD=90°-ZB=28°,

•••乙DCE=乙BCE—乙BCD=45°-28°=17°.

【解析】由题意根据三角形内角和以及角平分线的定义与高线的定义进行分析即可得出答案.

本题考查三角形内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为180。以及角平分线的定义是解题的

关键.

19.【答案】解：(1)如图，根据题意，可得：

点A、B、C关于直线Z对称的点分别为点4、B'、C',连接49、ArC\B'C,

(2)作线段ZB的垂直平分线交直线/于点P,即点P为所求;

(3)如图，连接8'C交直线I于点Q,连接CQ,

・••直线1垂直平分CC',

■■■CQ^C'Q,

QB+QC=QB+QC=B'C,

这时QB+QC的长最短，

.・•点Q即为所求.

【解析】(1)直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)利用线段垂直平分线的判定可得出答案；

(3)利用轴对称求最短路线的方法得出答案.

本题考查作图一轴对称变换，轴对称一最短路线.解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及

割补法求三角形的面积.

20.【答案】解：x(2-1)=

(2)—x(2--)=

(n+2)-4n7n1

证明：左边・山=W•也=2=右边，

714+4九nn+4nn

等式成立.

【解析】解：⑴此x(2—等)=今

故答案为：x(2-^7^)=

(2)—当一x(2--)=

(n+2)-4«n'

证明：左边=小'•山=Yr比='=右边，

nz4-4nnn+4nn

等式成立.

Lj小自、r2n、,s几一4、2

故答案为：2,X(2——)=

(n+2)-471n

(1)根据所给的等式进行求解即可；

2九YI—42

(2)分析所给的等式不难得出：^2^x(2--)=-,再把等式左边进行整理即可求证.

本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律.

21.【答案】解：•.•力B=CD=12米，BD=64米，

•••CD=BD-BC=52(米)，

•••ABC=ACE=CDE=90°,

AAACB+乙DCE=AACB+Z-CAB=90°,

・•・乙CAB=乙ECD,

在△4C8与△CEO中，

AABC=乙EDC

Z-BAC=Z-DCE,

AB=CD

••.△4CBmACED(44S),

.・・DE=BC=52(米)，

答：居民楼ED的高度为52米.

【解析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

22.【答案】解：(1)由题意得：(%2+4xy+4y2)+(y2-4y+4)=0,

(%+2y/+(y—2)2=0,

•弋｝管=。°，解得：［I/

yx=2-4=-；

“16

(2)由题意得:(a2-12a+36)+(Z?2-8b+16)=0,

(a-6)2+(b-4)2=0,

解得:frl

lb-4=0S=4

又•・,a,b,c是△ABC的边长，

2<c<10,

又・・・c为奇数，且c为最长边，

・•・c=7或9.

【解析】(1)根据非负式子和为0,它们分别等于0求解即可得到答案；

(2)根据非负式子和为0,它们分别等于0求出字母值，再结合三边关系求解即可得到答案

本题考查完全平方的非负性的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键.

23.【答案】解：(l)(a+b)2=a2+2ab+b?或小+2ab+fo2=(a+h)2.

(2)(2a+b)(a+2b)

=2a2+4ab+ab+2b2

=2a2+Sab+2b2.

故需4纸片2张，B纸片2张，C纸片5张.

(3)由题意得，p2+q2=20,p+q=6.

因为(p+q)?=p2+/+2pq=62,

所以2Pq=62-20=16.

所以pq=8.

所以S阴=5Pqx2=pq=8.

【解析】(1)图形整体面积等于各部分面积之和.

(2)根据多项式乘多项式的乘法解决此题.

(3)根据多项式乘多项式的乘法解决此题.

本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键.

24.【答案】⑴△"£(三AEBD；

(2)1<%<4；

(3)证明：如图3,延长力。到M,使MD=2。，连接BM,

•••AM=2AD,

•••4。是△48C的中线，

•••BD—CD,

在与△C4D中，

MD=AD

4BDA=^CDA,

BD=CD

BMD=LCAD,

BM=CA,AM=ACAD,

・•・Z-BAC=/-BAM+/-CAD=Z.BAM+乙M,

Z.ACB=Z.Q+Z.CAQ,AB=BC,

•••/-ACQ=180°-(乙Q+Z_CAQ),/-MBA=180°一(乙BAM+ZM),

••・Z-ACQ=/.MBA,

•・•QC=BC,

QC=AB,

在与△MBZ中，

BM=CA

Z.ACQ=/-MBA,

、QC=AB

：.LACQ=LMBA,

：.AQ=AM=2AD.

【解析】解：(1)证明：在△ADC与△ED8中，

AD=DE

L.ADC=(BDE,

CD=BD

ADC=AEDB,

故答案为：AADCmAEDB；

(2)解：如图2,延长EP至点Q,使PQ=PE,连接FQ,

在APDE与APQF中，

PE=PQ

乙EPD=乙QPF,

、PD=PF

PEP=AQFP,

・•.FQ=DE=3,

在^EFQ中，EF—FQ<QE<EF+FQ,

即5-3<2%V5+3,

》的取值范围是1V%V4,

故答案为：1<X<4；

(3)见答案.

【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；

(2)延长EP至点Q,使PQ=PE,连接FQ,根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3,根据三角形的三边

关系即可得到结论；

(3)延长4D到“，使MD=4。，连接于是得到AM=24。由已知条件得到8。=CD,根据全等三角形

的性质得至ijBM=G4,ZM=^CAD,于是得至UNBAC=NB4M+NC4D=AB4M+NM,推出△ACQmA

MBA,根据全等三角形的性质即可得到结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题

的关键.

25.【答案】解：(1)设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为0.8x元/个，

根据题意得：—+2=^,

x0.8%

解得：x=100,

经检验，x=100是原方程的解，

•••0.8%=80.

答：篮球的单价为100元/个，足球的单价为80元/个.

(2)设购买m个足球，则购买(60-ni)个篮球，

根据题意得：80m+100(60-m)<5200,

解得：m