2021-2023年高考数学真题分类汇编五：立体几何选择题文

专题05立体几何（选择题）（文）

近三年高考真题

知识点1：三视图

1.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。病）是（）

俯视图

八22„16

A.22万B.8兀C.—7tD.—n

DJ

【答案】c

【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，

所以几何体的体积为：-X—xl3+^xl2x2+-（22x^+l2x^+>/22x^xl2x^）x2=^^.

2333

故选：C.

2.（2022•甲卷（文））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面

体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD-4瓦GA,

四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，

AAJ•平面A5cD,

该多面体的体积为:

V=-(4+2)x2x2=12.

2

故选：B.

3.（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（)

C.-+>/3D.

2

【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体如图,

必_L底面ABC,AB1AC,PA=AB^AC=\,

则AP8C是边长为血的等边三角形，

则该四面体的表面积为S*Mxl+gx而立＞4=誓.

故选：A.

4.（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。7«3）是（）

372

D.30

F

【答案】A

【解析】由三视图还原原几何体如图,

该几何体为直四棱柱，底面四边形MCD为等腰梯形，

其中A8//8,由三视图可知，延长A£）与3c相交于一点，且A£＞_L8C,

且AB=20,8=夜，M=l-等腰梯形的高为加＞2--8:耳=._亭邛,

则该几何体的体积（夜+2a4gl.

故选：A.

5.（2021•甲卷（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱

锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

A.I----JB.I—L---1C.I----JD.

【答案】D

【解析】由题意，作出正方体，截去三棱锥A-£FG,根据正视图，

可得A-EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，

可得相应的侧视图是O图形，

故选：D.

知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积

6.（2023•甲卷（文））在三棱锥尸-ABC中，A4BC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=瓜,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.石C.2D.3

【答案】A

【解析】如图，

PA=PB=2,AB=BC=2,取45的中点C,连接/>£),CD,

可得ABVCD,

又PD、CE>u平面尸C£),平面PCE),

在AftAB与AWC中，求得PD=CD=用了=6,

在△/(■£)中，由PD=CD=6，PC=y/6,PD2+CD2=PC2,则P£)_LC£>,

i]3

SPDCD

=—2xx=—2xJ5xJ5=2—»

113

AS=XX2=1

匕-AHC=2SAPCT>X32,

故选：A.

17

7.（2023*天津）在三棱铢P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=■!■尸C,线段P3上的点N满足PN=』PB,

33

则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为（）

1214

a

A.9-B.9-3-D.9-

【答案】B

【解析】在三棱锥P-A8C中，线段PC上的点〃满足PM=1PC,线段P3上的点N满足PN=2P8,

33

所以S"MA~~，

设N到平面以C的距离4，5到平面RAC的距离4,则4=g4，

11122

-

则三棱锥P-AMN的体积为匕渡铢p_“MN=V淞锥NTH”=-5APA,W=§X3sAMc=§忆极锥B-PAC

7

故三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为一.

9

故选：B.

8.（2021•新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12gB.28&C.—D.”也

33

【答案】D

【解析】解法一：如图A8C£>-4线GR为正四棱台，AB=2,A4=4,A4,=2.

在等腰梯形AS1力中，过A作A£_LA4，可得AE=\^=I，

AE=JA<_/E2=V^T=G.

连接AC4G,

AC=〃+4=20,AC=J16+16=4近,

过A作AG_LAG，4G，五12"二及,

AG^JAA；-^G2=V4^2=>/2,

・•.正四棱台的体积为:

22+42+V22X42

280

3

解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,

・该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

该棱台的记h=J22_(2&_0)2=y[2,

下底面面积S1=16,上底面面积邑=4,

则该棱台的体积为：

V=1/?(51+S2+7^s7)=^x72x(16+4+764)=^5.

9.(2022•天津)如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱

的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()

十字鼠山顶

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【解析】如图，该组合体由直三棱柱和直三棱柱A£B-£)GC组成，且A8CD为正方形，

设重叠后的EG与FH交点为/,

作HW_LCS于M,因为C〃=3H=3,NCHB=120。,

所以CM=BM=竺，HM=2,BC=AB=36

22

方法①：四个形状相同的三棱锥(/-AEB、I-BCH,I—CDG、/-ADF)的体积之和，加上正四棱锥

/-ABCD的体积：

在直三棱柱"D-37/C中，/WJ_平面R7C,则

由A*8c=8可得〃M_L平面ADCB,

正四棱锥/-/WCD的高等于的长，

11a耳336271_/r/T327

vVXX

/-A£B=-T3V3X-X—=—,V,_AflCD=-x3>/3x3V3x-=—,

3乙LLoJLZ

77?7

该组合体的体积V=匕一皿X4+匕.„=五X4+万=27;

方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分(正四棱锥/-A8C0的体积:

在直三棱柱AFD-B"。中，平面则

由AB''8C=8可得HMJ_平面ADCB,

正四棱锥/-ABCD的高等于的长，

^-ABCD=1x3>/3x3N/3x|=y,=gx3gxgx36=?’

该组合体的体积V=VAFD_BHCx2-匕_.=2瑶-£=27・

故选：D.

E

10.(2022•甲卷(文))甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2万，侧面积分别为S甲和

S乙，体积分别为％和％.若学=2,则｝=()

s乙％

A.亚B.272C.710D.九叵

4

【答案】C

【解析】如图，

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3,甲、乙两个圆锥的底面半

径分别为4，高分别为九，h2,

则2町=44,2万弓=2%,解得4=2,0=1,

由勾股定理可得%=逐也=20,

v-nr^h.

9k.

故选：C.

11.(2022•新高考I)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔1485"时，相应水面的面积为140。如广；水位为海拔［57.5m时，相应水面的面积为

180.05?.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5〃?上升到1575〃时,

增加的水量约为(542.65)()

加

A.1.0X109/M3B.1.2xl()93C.1.4x10"加D.1.6x10,加3

【答案】C

【解析】140W=140X106/M2,180fon2=180xl06m2,

140X106+I80X106+7140X106X180XI0(,

根据题意，增加的水量约为x(157.5-148.5)

3

(140+180+60A/7)X106

xy

3

«(320+60x2.65)x106x3=1437x106«1.4x109m3.故选：C.

12.（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为夜，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（)

A.2B.20C.4D.4夜

【答案】B

【解析】由题意，设母线长为/,

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,

则有2万・四=1・/,解得/=20,

所以该圆锥的母线长为2声.

故选：B.

13.（多选题）（2023•新高考II）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,A3为底面直径，4P8=120。，PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为"B.该圆锥的侧面积为46万

C.AC=2叵D.A/HC的面积为百

【答案】AC

【解析】取AC中点O,则PDrAC,

p

由二面角的定义可知，二面角「-4。-0的平面角即为/「£>0=45。，

对于A,A/%8中，由于%=m=2,乙4PB=120。，

则尸0=1,AO=y/3,

则8=1,丫=、3万-1=万，选项A正确.

3

对于3,S^=兀x#x2=2小兀,选项5错误.

对于C,AC=2疟T=2&,选项C正确.

对于£>,PD=&,5^=1x72x272=2,选项£）错误.

故选：AC.

14.（多选题）（2022•新高考H）如图，四边形/WCD为正方形，ED_L平面MCD,FBIIED,

AB=ED=2FB.记三棱锥E—ACD,F-ABC,尸一ACE的体积分别为匕，匕，匕，则（)

A.V3=2V2B.匕=匕C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】设AB=ED=2FB=2,

14

V；=-XSMCOX|ED|=-,

匕=gx5AABe*|F81="I'

如图所示,

连接班>交AC于点M,连接FM,

则EM=娓，EF=3,

故SAEMF=gx行xn=,

匕=；5回-xAC=gx&=2,

故C、。正确，A、8错误.

故选：CD.

知识点3：空间直线、平面位置关系的判断

15.（2022•乙卷（文））在正方体ABCO—AgGA中，E,尸分别为AB,8c的中点，则（）

A.平面81£F_L平面B.平面与EF_L平面

C.平面用£///平面AACD.平面gEF//平面4G。

【答案】A

【解析】对于A,由于E，尸分别为/W,3C的中点，则EF//AC,

又AC_L8£）,AC±DD,,BDQDD,=D,且8£）,DRu平面，

AC_L平面BDD],则EF_L平面BDDt,

又Mu平面片E尸，

平面与EF_L平面BDR,选项A正确；

对于B,由选项A可知，平面平面而平面8£>RC平面4出力=8。，在该正方体中，试想"

运动至A时，平面与后尸不可能与平面AB。垂直，选项8错误；

对于C,在平面A8sA上，易知A4,与8卢必相交，故平面用斯与平面AAC不平行，选项C错误；

对于£>,易知平面ABC〃平面4G。，而平面44c与平面耳所有公共点用，故平面与历与平面不

可能平行，选项。错误.

故选：A.

16.（2021•浙江）如图，已知正方体—，"，N分别是A。，的中点，贝U（)

A.直线4。与直线垂直，直线MN//平面A5CD

B.直线4力与直线。田平行，直线MVJ_平面8。〃用

C.直线与直线Q8相交，直线MV//平面

D.直线与直线£>/异面，直线阴V_L平面线

【答案】A

【解析】连接4R,如图：

由正方体可知AOJ-A"，A.DA.AB,.•."。，平面他口，

:.A01.RB,由题意知MN为△RA8的中位线，:.MN//AB,

又•ABu平面A8CE）,MNC平面ABCZ）,.•.加7//平面468.r.A对；

由正方体可知A。与平面瓦儿）1相交于点。，RBu平面BDD「D走D、B,

直线4。与直线QB是异面直线，r.B、C错；

•.MN//AB,不与平面8"）声垂直，.〔MN不与平面内垂直，.■.£）错.

故选：A.

D,Ci

知识点4：线线角、线面角

17.（2022•甲卷（文））在长方体A8CQ-ABGA中，已知BQ与平面ABCD和平面A41AB所成的角均为

30°，贝IJ（）

A.AB=2AD

B.AB与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CBt

D.8Q与平面BBgC所成的角为45。

【答案】D

【解析】如图所示，连接AB-BD,不妨令A4,=l,

在长方体ABCO-ABCa中，4），面84，面至8,

所以ZB\DB和ZD4A分别为BtD与平面A5CD和平面AA.B.B所成的角,

即ZB】DB=NDB]A=30。,

所以在RtABDB|中，BBj=AA,=1，BD=柩,BQ=2,

在RtAADB|中，DB、=2,AO=1,A6|=^,

所以A8=>/i,CB、=6,AC=6,

故选项A,C错误，

由图易知，AB在平面A4G。上的射影在AM上，

所以为AB与平面ABC。所成的角，

BBiJu

在RtZ\ABB|中，sinZB,AB=-1=1=上

A81V33

故选项5错误，

如图，连接与C,

则BQ在平面BB£C上的射影为8C，

所以NDB。为片。与平面BBgC所成的角，

在M△。用C中，BiC=>f2=DC,所以NDBC=45。，

所以选项。正确，

故选：D.

18.（2021•乙卷（文））在正方体A8CD-ASGR中，P为8a的中点，则直线P3与4.所成的角为（

A..7—1nB.—7CC.冗—hD.7—1

2346

【答案】D

【解析】解法一：4R//8C「.•.”孔；是直线网与AR所成的角（或所成角的补角）,

设正方体48a的棱长为2,

22

则PB\=PG=gle+»=五,BC}=V2+2=2V2,BP=G+（扬2=R,

/手2+8&2-pc：6+8—23

，cosNPBG

2xPBxBC1~2x76x272~2

冗

:"PBG=-,

直线PB与4R所成的角为生.

6

解法二：A.//BG，.•.直线网与AR所成角为

在正△ABG中，BP是幺8£的平分线，

兀

直线PB与四所成的角为2.

故选：D.

知识点5：球的相关问题

19.（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,且

3蒯3下）,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如图所示，正四棱锥P-/WCD各顶点都在同一球面上，连接AC与交于点E,连接PE,则

球心O在直线PE上，连接Q4,

设正四棱锥的底面边长为“，高为h,

在RtAPAE中，PA"=AE2+PE2,BPI2=（^-）2+h2=^a2+h2,

,球O的体积为36万，.•.球O的半径R=3,

在RtAOAE中，Ofic=O£2+AE-,即店=（〃-3）2+（叵）?，

2

-a2+h2-6h=0,-a1+/?2=6/?,

22

lqQ

.•/=6〃，又3狙3V3,.•.二毅收

22

ii7

.•.该正四棱锥体积V(/?)=；.2仁；(12〃-27?)〃=-；/?3+4/,

V'(〃)=一2配+8力=2〃(4一九),

7a

当二时，V'(h)>0,V㈤单调递增;当4<。二时,V'(〃)<0,丫(〃)单调递减,

22

64

(4)=y,

加㈤y.

20.（2022•乙卷（文））己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则

当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1R1

A.-D.-cC.0

323

【答案】C

【解析】对于圆内接四边形，如图所示，

11

S叫初形痴）=—ACBD-sin。,,—2r-2r•sin900=2/9,

V'iULnf/KDC7LJ?"2

当且仅当AC,BD为圆的直径，且AC_LBD时，等号成立，此时四边形458为正方形，

当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,

贝ljr=—rz,

2

该四棱锥的高分

•••该四棱锥的体积"=¥后-后三。一看哥（丁4：一2）管肾二券，

29.

当且仅当土=1-土，即时，等号成立，

423

21.（2022•新高考H）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为34和44，其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为（）

A.100万B.128万C.144万D.192万

【答案】A

【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为二^—=3,下底面所在平

2sin600

面截球所得圆的半径为4万=4,如图，

2sin60°

设球的半径为A