差错控制编码第三次课

循环码循环码除具有线性码的一般性质外,还具有循环性

即任一码组循环一位以后，仍为该循环码中的一个许用码组。一、循环码的特点线性分组码7章差错控制编码循环码举例——(7,3)循环码码组信息位监督位码组信息位监督位编号a6a5a4a3a2a1a0编号a6a5a4a3a2a1a000000000410010111001011151011100201011106110010130111001711100107章差错控制编码例如A=0010111(1)A(x)=0x6+0x5+1x4+0x3+1x2+1x1+1x0=x4+x2+x+1

xA(x)=x5+x3+x2+x

A=0101110(2)2、码多项式——码组的多项式表示7章差错控制编码二、循环码的运算1、码多项式的按模运算若一个整数m,若可以表示为则：m≡

p(模n)7章差错控制编码多项式F(x)被n次多项式N(x)除，得到商式q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1则写为F(x)≡

R(x)

(模N(x))7章差错控制编码7章差错控制编码例如7章差错控制编码在循环码中，若T(x)是一个长为n的许用码组，则在按模运算下，亦是一个许用码组。则T’（X）也是该编码码组中的一个许用码组7章差错控制编码2．循环码的生成矩阵G

若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。在循环码中，一个(n，k)码有2k个不同码组，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为0的码组，即

g(x)=0…1x…xk位n-k位则g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵G。

7章差错控制编码例表9—6的循环码,唯一的一个(n-k)次码多项式代表的码组是0010111，相对应的码多项式为一旦确定了g(x)，则整个(n．k)循环码就被确定了。因此,循环码的生成矩阵G可以写成7章差错控制编码这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵，可以通过行变换，变换成系统码的生成矩阵。

g(x)＝x4+x2+x+1将此g(x)代入上式，得到7章差错控制编码g(x)的性质：g(x)必须是一个常数项a0=1；次数为(n-k)次；唯一的(n-k)次多项式；我们称这唯一的g(x)为码的生成多项式。g(x)是xn+1的因式（见后面分析）。7章差错控制编码说明g(x)是xn+1的因式。因为任码多项式T(x)都是g(x)的倍式，所以有

T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一个码组，其次数为n-k次。把它循环移位k次仍为一个码组。所以xkg(x)是n次多项式，在模xn+1运算下，所以即7章差错控制编码因为xkg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以即g(x)是xn+1的因式。这样就可以通过对xn+1的因式分解得到g(x).7章差错控制编码最高次幂n-kg(x)是一个常数项为1最多k-1个连0是的一个因式；循环码的生成多项式生成多项式7章差错控制编码任意一码组多项式可表示为：一个k位的信息码组Ｄ＝［dk-1,dk-2,…….d0]信息码多项式:T(x)=d(x)g(x)循环码7章差错控制编码d(x)代入T(X)得：不大于n-1次的多项式7章差错控制编码假如输入信息码元mk-1mk-2…m0则例：求（7，4）循环码的生成多项式g(x),当信息码组D=[1010]时，求输出码组7章差错控制编码

若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。

g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是许用码组，而且这k个码组是线性无关的。因此可以用来构成循环码的生成矩阵G。循环码的生成矩阵G7章差错控制编码例表9—6的循环码,唯一的一个(n-k)次码多项式代表的码组是0010111，相对应的码多项式为因此,循环码的生成矩阵G可以写成7章差错控制编码这个生成矩阵不是系统码的生成矩阵，可以通过行变换，变换成系统码的生成矩阵。

g(x)＝x4+x2+x+1将此g(x)代入上式，得到7章差错控制编码循环码的编码系统码编码：

信息码后附加n-k个0

非系统码编码：T(x)=m(x)g(x)除以g(x)，得余式r(x)；237章差错控制编码监督位信息位例

(7,3)循环码m(x)=x2+x,g(x)=x4+x2+

x+1r(x)7章差错控制编码a+b+cd+输入m输出feS（7，3）码编码器四、硬件实现——固定除式的多项式除法移位寄存器的级数等于生成多项式的次数是否有反馈由g(x)中的的非零系数对应，g(x)中有此项，有反馈。7章差错控制编码7章差错控制编码7章差错控制编码信息码元输入移存器反馈输出mabcddf0000001111011110011101010100010100000101100001000000011校验码元a+b+cd+输入m输出feS7章差错控制编码2．循环码的解码方法——检错若码组在传输中发生错误，则R(x)除以g(x)时可能有余项—码多项式T(x)应能被生成多项式g(x)整除若接收码组与发送码组相同，即R(x)=T(x)，则接收码组R(x)必定能被g(x)整除由接收多项式除以生成多项式得到余式r(x)r(x)=0接收码组无错r(x)≠0有错7章差错控制编码检错电路图接收码组缓冲移位寄存器除法电路反相与门重发指令输出信息码余式等于1时输出1余式等于0时输出07章差错控制编码

(1)根据