2023-2024学年上海市徐汇区九年级上册数学期末学业水平测试模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区九上数学期末学业水平测试模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在AABC与AAZJE中，ZACB=ZAED=90°,ZABC=ZADE,连接80、CE,若4C：BC=3：4,则

BD:CE为（）

A.5：3B.4：3C.V5：2D.2：73

2.顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形

3.如图，抛物线y=-，+2x+2交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为民下列说法：其中正确判断

的序号是（）

①抛物线与直线y=3有且只有一个交点；

②若点MNP（2,%）在该函数图象上，则

③将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y=（x+1）2+1；

④在x轴上找一点。，使AZJ+8O的和最小，则最小值为而.

A.①②④B.①③C.①③④D.②③④

4.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，且a/））中的x与y的部分对应值如下表:

X.・・-3-2-101…

y・・・_60466・・・

给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为（0,6）；

②抛物线的对称轴在y轴的左侧；

③抛物线一定经过（3,0）点；

④在对称轴左侧y随x的增大而减增大.

从表中可知，其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

5.一元二次方程V-3k4=0的常数项是（）

A.-4B.-3C.1D.2

6.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）

A.72B.4:1C.3:1D.2:1

7.下列说法正确的是（）

A.所有等边三角形都相似B.有一个角相等的两个等腰三角形相似

C.所有直角三角形都相似D.所有矩形都相似

8.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多

有（）

俯视图左视图

A.5个B.6个C.7个D.8个

9.如图，下列条件中，能判定八48。。人钻。的是（）

A

B

ACAD

A.NBAC=ZABCB.ZBAC^ZADCC.—=—

ACBCAB-AC

10.抛物线y=(x—I)?+2的顶点坐标是()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)

11.一元二次方程f+3x=4的正根的个数是()

A.0B.1C.2D.不确定

12.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,则tan/BAC的值为()

二、填空题(每题4分，共24分)

13.已知NAO8=60。，OC是NA03的平分线，点。为OC上一点，过O作直线OE_LQ4,垂足为点E,且直线OE

交05于点F,如图所示.若£>£=2,则。尸=

14.已知aABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).以B为位似中心，画出

△AiBiG与aABC相似，两三角形位于点B同侧且相似比是3,则点C的对应顶点Ci的坐标是.

15.体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A,B,C,D处,

则他们四人中，成绩最好的是.

16.如图、正比例函数与反比例函数%=与的图象交于0,2),则在第一象限内不等式勺、>+的解集为

0Z

17.如图，抛物线乎=好在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为4,A2,43…4”将抛

物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点Mi,Mi,M3,…M，都

在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点4,A2,AS...A,,,则顶点M2020的坐标为.

18.如图，五边形A8C0E是正五边形，若“儿，则Nl—N2=

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视图

和俯视图.

20.(8分)如图，直线％=依+2与x轴交于点A(m,O)(加>4),与)'轴交于点8,抛物线%=⑪？—ar+c(a<0)

经过A，8两点，P为线段AB上一点，过点P作PQ〃y轴交抛物线于点Q.

(1)当加=5时，

①求抛物线的关系式；

Q

②设点P的横坐标为X,用含X的代数式表示PQ的长，并求当X为何值时，PQ=不?

(2)若P。长的最大值为16,试讨论关于x的一元二次方程以2一4以-丘=〃的解的个数与〃的取值范围的关系.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知A48C的三个顶点的坐标分别是A(-4,1),8(-1,2),C(-2,4).

(1)将A4BC向右平移4个单位后得到A4BC1,请画出△AiBCi,并写出点步的坐标；

(2)AA252c2和A/hBCi关于原点。中心对称，请画出AA232c2,并写出点C2的坐标；

(3)连接点A和点用，点8和点小，得到四边形4曲48,试判断四边形ABM28的形状(无须说明理由).

22.(10分)经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销

售该商品每天的利润为y元.

时间X(天)lWx<5050WxW90

售价(元/件)x+4090

每天销量(件)200-2x

(1)求出y与x的函数关系式

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？

(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案.

23.(10分)(1)用配方法解方程：X2+6X+4=0;

(2)用公式法解方程：5*2—3x=x+L

24.（10分）如图④在AABC中，AB=AC=3,ZBAC=100°，D是BC的中点.

图②图③

小明对图眺行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对

应点是点E,连接BE,得到AfiPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可

能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线AD上时，如图②听示.

®ZBEP=;②至接CE,直线CE与直线AB的位置关系是.

(2)请在图③h画出使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明

理由.

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

25.(12分)如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点反厂为AO的中点，连接CF交8□于点G,

且EG=1.

(1)求8。的长；

(2)若S&CDG=2,求SXBCG•

E

B

k

26.如图，在平面直角坐标系x。），中，一次函数y=3x+2的图象与）,轴交于点A,与反比例函数,，=一一快工0）在第

x

k

一象限内的图象交于点8,且点8的横坐标为1.过点A作ACL.y轴交反比例函数y=—（攵。0）的图象于点C,连接

x

BC.

（1）求反比例函数的表达式.

（2）求AABC的面积.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

A85

【解析】因为NAC8=90。，AC：BC=3：4,则一=一因为NAC8=N4EO=90。，ZABC=ZADE,得△ABC

AC3

△ADE,得竺_=竺_,ZDAE=ZBAC^DAB=ZEAC,则AE4C,—.故选A.

ADAECEAC3

2、D

【解析】试题分析：顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形，如果原四边形的对角线互相垂直，那么

所得的四边形是矩形，如果原四边形的对角线相等，那么所得的四边形是菱形，如果原四边形的对角线相等且互相垂

直，那么所得的四边形是正方形，因为平行四边形的对角线不一定相等或互相垂直，因此得平行四边形.故选D.

考点：中点四边形的形状判断.

3、C

【分析】根据抛物线的性质和平移，以及一动点到两定点距离之和最小问题的处理方法，对选项进行逐一分析即可.

【详解】①抛物线的顶点B（l,3）,则抛物线与直线y=3有且只有一个交点，正确，符合题意；

②抛物线x轴的一个交点在2和3之间,

则抛物线与X轴的另外一个交点坐标在X=O或x=-1之间，

则点N是抛物线的顶点为最大，点尸在x轴上方，点M在x轴的下放，

故刈</<>2,故错误，不符合题意；

@y=-x2+2x+2=-(x+1)2+3,将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，

所得抛物线解析式为y=(x+1)2+1,正确，符合题意；

④点A关于x轴的对称点4(0,-2),连接A'8交x轴于点Z),

则点D为所求，距离最小值为BD'=+(3+2)2=V26，

正确，符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线的性质、平移和距离的最值问题，其中一动点到两定点距离之和最小问题比较巧妙，属综合中档题.

4、B

【解析】试题分析：当x=0时y=6,x=l时y=6,x=-2时y=0,

,c=6严=

可得Z+b-c=6,解得%Ml,

14a-23-c=0Lc=i编

...抛物线解析式为y=-x2+x+6=-(x-1)2+—,

24

当x=0时y=6,

抛物线与y轴的交点为(0,6),故①正确；

抛物线的对称轴为x=L,故②不正确；

2

当x=3时，y=-9+3+6=0,

.••抛物线过点(3,0),故③正确；

二•抛物线开口向下，

在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；

综上可知正确的个数为3个，

故选B.

考点：二次函数的性质.

5、A

【分析】一元二次方程。/+加+，=05，b,c是常数且存0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.

【详解】解：一元二次方程/-3k4=0的常数项是-4,

故选A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且存0）特别要注意对0的条件.这是在做题过程中

容易忽视的知识点.在一般形式中ax?叫二次项，所叫一次项，，是常数项.其中“、氏c分别叫二次项系数，一次项

系数，常数项.

6、A

【分析】设原矩形的长为2a,宽为b,对折后所得的矩形与原矩形相似，则上=—

ba

2a

b

设原矩形的长为2a,宽为b,

则对折后的矩形的长为b,宽为a,

•••对折后所得的矩形与原矩形相似，

*2ab

••一，

ba

...大矩形与小矩形的相似比是0:1;

故选A.

【点睛】

理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边

形对应边的比叫做相似比.

7、A

【解析】根据等边三角形各内角为60。的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题.

【详解】解：A、等边三角形各内角为60。，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；

B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60。，则该对三角形不相似，故本选项错误；

C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；

D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形各内角为60。，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边

三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键.

8、D

【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有3层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二、三层正

方体的可能的最多个数，相加即可.

【详解】根据主视图和左视图可得：

这个几何体有3层，3列，最底层最多有2X2=4个正方体，第二层有2个正方体，第三层有2个正方体

则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是4+2+2=8个；

故选：D.

【点睛】

此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数.

9、D

【分析】根据相似三角形的各个判定定理逐一分析即可.

【详解】解：•••NA=NA

若NBAC=NABC,不是对应角，不能判定△ACDS/VRC,故A选项不符合题意；

若/84C=NAOC,不是对应角，不能判定△ACDs/vwc,故B选项不符合题意；

若婴=当，但NA不是两组对应边的夹角，不能判定△ACDs/vsc,故C选项不符合题意；

ACBC

ArAn

若一上=:，根据有两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似可得△A8S"BC,故D选项符合题

ABAC

意.

故选D.

【点睛】

此题考查的是使两个三角形相似所添加的条件，掌握相似三角形的各个判定定理是解决此题的关键.

10、D

【分析】根据顶点式y=a（x-〃）2+A,顶点坐标是（h,k）,即可求解.

【详解】•.•顶点式y=a（x—/z）2+k,顶点坐标是（h,k）,

抛物线y=（x-iy+2的顶点坐标是（1,2）.

故选D.

11、B

【分析】解法一：根据一元二次方程的解法直接求解判断正根的个数；解法二：先将一元二次方程化为一般式，再根

据一元二次方程的根与系数的关系即可判断正根的个数.

【详解】解：解法一：化为一般式得，f+3x—4=0，

Va=l,b=3,c=-4,

则△="2-4ac=32-4xlx(-4)=25>0,

方程有两个不相等的实数根，

.-b+\lb2-4ac-3±V25-3±5

••x=------------=--------=-----，

2a2x12

即玉=-4,x2=1,

所以一元二次方程X2+3X=4的正根的个数是1；

解法二：化为一般式得，炉+3尤_4=0,

A=b2-4«c=32-4xlx(-4)=25>0,

方程有两个不相等的实数根，

%,-%2=-4，

则再、马必为一正一负，所以一元二次方程f+3x=4的正根的个数是1：

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键；如果只判断正根或负根的个数，也

可灵活运用一元二次方程的根与系数的关系进行判断.

12、B

【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形，即可求出

所求.

【详解】如图，连接BC,

由网格可得AB=BC=«,AC=V10»即AB2+BC2=AC2,

.•.△ABC为等腰直角三角形，

.,.ZBAC=45°,

贝!JtanZBAC=l,

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1.

【分析】过点D作DMJ_OB,垂足为M,贝！|DM=DE=2,在RtZkOEF中，利用三角形内角和定理可求出NDFM=30°,

在RtADMF中，由30。角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解.

【详解】过点。作垂足为如图所示.

是NA03的平分线，

：.DM=DE=2.

在RtZkOE产中，ZOEF=90°,NE。尸=60°,

.,.ZOFE=30°,即NO尸M=30°.

在中，ZDMF=90°,NZ）RW=30°,

：.DF=2DM=1.

故答案为L

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的

直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键.

14、（0,-3）

【解析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形在改变的过程中保持形状不变

（大小可变）即可得出答案.

【详解】把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，所画图形如图所示，G坐标为（0,

【点睛】

本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小;图形中的每条线段都扩大（或缩

小）相同的倍数.

15、小智

【分析】通过比较线段的长短，即可得到OC>OD>OB>OA,进而得出表示最好成绩的点为点C.

【详解】由图可得，OC>OD>OB>OA,

...表示最好成绩的点是点C,

故答案为：小智.

【点睛】

本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法.

16、x>l

【分析】在第一象限内不等式k】x>4的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有yi>yz时x的取值

x

范围.

k

【详解】根据图象可得：第一象限内不等式kix>色

x

的解集为X>1.

故答案是：x>l.

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数图

象的交点坐标满足两函数解析式.

17、（4039,4039）

【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点An的坐标为（n,n2）,设点Mn的坐标为（a,a）,则以点

Mn为顶点的抛物线解析式为y=（x-a）2+a,由点An的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点M”的坐标

即可得出结论.

【详解】•••抛物线y=7在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为4,A2,A3,…，A“，…,

...点4,的坐标为(〃，I).

设点的坐标为(〃，〃)，则以点为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a,

■:点An(n,n2)在抛物线了=(x-a)2+a_t,

.,.n2=(”-a)2+a,解得：a=2"-l或a=0(舍去)，

.•.M”的坐标为(2n-1,2/i-D,

...M2020的坐标为(4039,4039).

故答案为：(4039,4039).

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点An

的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键.

18、72

【解析】分析：延长AB交乙于点F,根据/J4得到N2=N3,根据五边形ABCDE是正五边形得到NFBC=72。,最后

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.

详解：延长AB交4于点F,

N2=N3,

；五边形ABCDE是正五边形，

ZABC=108°,

二ZFBC=72°,

Z1-Z2=Z1-Z3=ZFBC=72°

故答案为：72。.

点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.

三、解答题(共78分)

19、如图所示见解析.

【分析】从正面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从左面看，下面一个长方形，上面左边一个长方形；从

上面看，一个正方形左上角一个小正方形，依此画出图形即可.

【详解】如图所示.

主视图左视图

俯视图

【点睛】

此题考查了三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所

得到的图形.

2Q28

20、(1)①%=-+《x+2；(2)--x2+2x；当x=l或x=4时，PQ=—；(1)当/?=16时，一元二次方程

以2-4ac-尿=力有一个解；当〃>2时，一元二次方程依2一40c无解；当〃V2时，一元二次方程

ax2-Aax-kx=〃有两个解.

【分析】(1)①首先根据题意得出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式即可得出其表达式；

②首先由点A的坐标得出直线解析式，然后得出点P、Q坐标，根据平行构建方程，即可得解；

(1)首先得出c=2,然后由PQ的最大值得出〃最大值，再利用二次函数图象的性质分类讨论一元二次方程的解即

可.

【详解】(1)①

...点A的坐标为(5,0).

将x=0代入y(=kx+2,得j=i.

...点8的坐标为(0,1).

将A(5,0),B(0,1)

代入%=加-4or+c,得

,f2

25a—20。+c=0,a-——,

《C解得5

V=2.

2Q

抛物线的表达式为%=—1+"+2.

2

②将A(5,0)代入/=履+2,解得：k=~~-

2

,一次函数的表达为y=--x+2.

2

二点产的坐标为(x,-§x+2),

又,••PQ〃y轴，

28

，点Q的坐标为(x,—二一+—x4-2)

9e2

/.P2=--X2+|X+2-(--X+2)

=-2炉+2%

5

•••P0=j,

二―2f+2x=&

55

解得：玉=1,々=4

8

.,.当x=l或x=4时，PQ=~t

(1)由题意知：c=2

设九=%-'1-CDC-^ax+c-^kx+^-coC-4ax-kx,

二〃为x的二次函数，又。<0,

•••PQ长的最大值为2,

；.h最大值为2.

由二次函数的图象性质可知

当/?=16时，一元二次方程-4必-履=//有一个解；

当〃>2时，一元二次方程一4初一近=力无解；

当〃<2时，一元二次方程翻2—40V一位=/?有两个解..

【点睛】

此题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.

21、(1)如图，△Ai%©为所作；见解析；点Bi的坐标为(3,2)；(2)如图，ZVUBzCz为所作；见解析；点。2的坐

标为(-2,-4)；(3)如图，四边形A62A2B为正方形.

【分析】(D利用网格特点和点平移的坐标规律写出A、片、G的坐标，然后描点即可得到△A4G；

(2)利用网格特点和关于原点对称的点的坐标特征写出4、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△AgC?;

(3)证明四条相等且对角线相等可判断四边形AB2A2B为正方形.

【详解】解：(1)如图1,△A4G为所作；点B1的坐标为(3,2)；

图1

(2)如图1,△482G为所作；点G的坐标为(-2,-4)；

(3)如图1,四边形A&AzB为正方形，

(理由：如图2,在四边形AB2A2^外侧构造如图所示直角三角形，由坐标网格的特点易证四个直角三角形全等，从

而可得四边形A&4B四边都相等，四个角等于直角)

【点睛】

本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作

相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

22、(1)当l《xV50时，y=-2x2+180x+2000,当50<xW90时，y=-120x+12000；(2)

第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800

元.

【解析】试题分析：(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；

(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；

(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式，根据解不等式组，可得答案.

试题解析：(1)当1WXV50时,y=(x+40-30)(200-2x)=-2x2+180x+2000,

当500W90时，y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000；

(2)当1WXV50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45,

当x=45时，y最大=-2X452+180X45+2000=6050,

当50WxW90时，y随x的增大而减小，

当x=50时，y戢大=6000,

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

(3)当1WXV50时，y=-2X2+180X+2000^4800,解得20《XW70,

因此利润不低于4800元的天数是20Wx<50,共30天；

当50WxW90时，y=-120x+12000^4800,解得xW60,

因此利润不低于4800元的天数是50WxW60,共11天，

所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元.

23>(1)%=-3+后;x2=—3—5/5；(2)斗=1；x2———

【分析】(1)先把左边的4移项到右边成-4,再配方，两边同时加32,左边得到完全平方，再得出两个一元一次方程

进行解答；

(2)先化成一元二次方程的一般式，得出a、b、c,计算bZ4ac判定根的情况，最后运用求根公式％=心士幽二^竺

2a

即可求解.

【详解】解：(1)X2+6X+4=0

X2+6X=-4

X2+6X+9=-4+9

(x+3)2=5

x+3=±^5

N=-3+>/5；=-3-y/5

(2)5X2-3X=X+1,

5x2-4x-l=0,

b2-4ac=(-4)2-4X5X(-1)=36,

4±V36

X=--------,

2x5

X|=1,x2=--

【点睛】

本题主要考查了运用配方法、公式法解一元二次方程，运用公式法解方程时，要先把方程化为一般式，找到a、b、c

的值，然后用b2-4ac判定根的情况，最后运用公式x=一""-4"即可求解.

2a

24、(1)00°；@EC//AB；(2)AB//EC-,(3)AE的最小值3.

【解析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明NABC=40°,NECB=40°,推出NABC=NECB即

可.

(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作。P.利用圆周角定理证明N3CE=』N8PE=40'即可解决问题.

2

(3)因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时

AE的最小值=AB-3.

【详解】(1)①如图②中，

•••N5PE=8()°,PB=PE，

:.NPEB=NPBE=50°,

②结论：AB//EC.

理由：V