2023-2024学年江西省宜春市高二年级上册第二次月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市高二上学期第二次月考数学

模拟试题

一.选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知不等式ax2-5x+h>0的解集为{x∣-3<Λ<2},则不等式6/-5》+。>0的解集

为()

,,1I,,1I

A.{x%<——或x>一1}B.{x——<%<—}1

3232

C.{x∣-3<x<2}D.{x∣x<-3或x>2}

i

2.若复数1+i,则2i∙z的虚部是()

A.iB.2iC.1D.2

3.已知向量α、〃满足W=1，W=α,α与〃的夹角为；•，则一。)«2a+。)=()

A.1B.3C.-1D.-5、

4.若圆N+/=1上总存在两个点到点(0l)的距离为2,则实数〃的取值范围是(〉

A.(-2√2.0)U(0.2vI)B.(-2√2,2√2)

C.(-1.0)u(0.1)D,(-1.11

5.已知曲线CI:y=sinx,曲线

C?:旷=5皿(0尤+9)(0>0,网<9的部分图象如图

所示，则下列结论正确的是()

TT

A.将曲线。2先向右平移三个单位长度，再将各点的横

坐标伸长为原来的2倍得到G

B.将曲线G先向右平移、个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的5倍得到G

TT

C.将曲线C,先向右平移N个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得G

O

D.将曲线。2先向右平移弓个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的g∙倍得到G

6.在锐角ASC中，A,B,C分别为AA"C三边"，b,C所对的角，若

cosBcosC2sinAsinB

cosB+∖∕3sinB=2»且满足关系式--------+---------=------------------则α+c的取值范围

b3sinC

是（）

A.(√3,2√3]B.当当■C.D.(3,2石]

I」Vɔɔ√

7.如图，正方体ABCL>-A4GR中，AN=NAt,AiM=MDt,

ByE=λBtC,当直线与平面MNE所成的角最大时，λ=（

Illl

ʌ-2B.§C.-D.-

8.已知直线/与圆。：/+丁=9交于A,B两点，点P（4,0）满足

PAYPB,若AB的中点为M,则|。Ml的最大值为（）

A.2+—B.2+—C.3+也D.-+√2

22222

二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

9.若α>0,b>0,-+b=2,则>二+工的可能取值有（）

aa+∖b

6543

A.B.C.D.

5432

冗冗

1°-若关于、的方程2岳。n-sin2A百-根在区间-了了上有且只有一个解，则

加的值可能为（）A.-2B.-1C.OD.I

11.已知动直线/：丘-y-k+l=O与圆C"2+V-4y=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（M）

B.圆C的圆心坐标为（0,—2）

C.直线/与圆C的相交弦的最小值为2后

D.直线/与圆C的相交弦的最大值为4

12.如图，已知P为棱长为1的正方体对角线8。上的一点，且

BP=^BO,（Λ（0,1））,下面结论中正确结论的有（）

A.AiDlCtP；

2

B.当"+尸。取最小值时，Λ=-；

C.若a€（0,1）,则NAPCe停著）；

9

D.若P为他的中点,四棱锥尸一"QO的外接球表面积为厂

≡.填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.己知q,C2是互相垂直的单位向量，若64+02与6+崩2的夹角为60°，则实数九的

值是.

14.设偶函数/(x)=ASin(0^+0)(4>0,<0>0,0<°<万)的

部分图象如图所示，AZM为等腰直角三角形

,NKML=会KL=I,则的值为.

15.已知圆C:(x-I/+/=],点尸(加然)在直线X-y+l=0上运动.若

上存在点。，使/CP630。，则Xo的取值范围是.

16.如图，在正四棱锥P—ABCD中，PA=AB,点、M为P/

BD=ABN.若MVLAD,则实数2=

四.解答题(本题共6个小题，第17题10分，其他12分，共70分，解答题应写出文字

说明、证明过程和演算步骤)

/ɜ

17.己知函数/(χ)=sin%cos%-ʌ/ɜCOS2x+^—.

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图

象向左平移《个单位，得到函数g(x)的图象，求函数〃(力=；/(X)+g2(χ)在

πlπ

xe—的值域.

OIZ

18.在AABC中，内角A,B,C的对边长分别为“、b、c,且为C=WSinC-CCosB∙

(1)求角3的大小；

(2)若6=2√L求AABC面积的最大值.

19.已知圆C过点A(l,3)、8(2,2),且圆周被直线3x+y+7=0平分.

(1)求圆C的标准方程；

(2)已知过点(-4,5)的直线/被圆C截得的弦长为2面，求直线/的方程.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，PALAB，PC±CD,

ɔ

BC//AD,ZBAD=-,PA=AB=BC=2,

3

AD=4.

(1)证明：Q4L平面ABC£).

(2)若M为PD中点，求二面角M-AC-。的大小.

21.已知圆Ci：X，+/+2x+2y-8=0与C,：x2+y2-2x+IOy-24=0相交于A、B两

点.

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y=-X上，且经过A、B两点的圆的方程；

(3)求经过A、8两点且面积最小的圆的方程.

22,已知三棱柱ABC_ABc中，AC=AA,=4,BC=2,ZACB=90∖AtBYACt.

(1)求证：平面AACcj平面ABC.

(2)若NAAC=60。，在线段AC上是否存在一点P使平面8A/和平面AACG所成角的余

弦值为争若存在，确定点尸的fi≡；若不存在,说明理由.

数学答案

ACCAADCA

9.CD10.AC11.ACD12.ABD

√2

13.314.415.-lɪ16.4

kπ-∖-^-,kπ+^^-(&∈Z);(2)Λ(x)∈0,

17.【正确答案】（1）

【分析】（1）通过降基公式和辅助角公式将函数/（x）化简，进而求出单调递减区间;

（2）先通过图象变换求出函数g（X）,进而通过降事公式和辅助角公式将函数/7（X）化简,

进而求出函数的值域.【详解】（1）

1+cos2xʌ/ɜ1.c

/(x)=；sin2x一G∙.ɔ乃

--------------+——=—sin2x一COSozx=Sin2x——，

222TI3J

JT-TT5兀11TT

令5+2&乃≤2x--<-+2kπ^k∈Z),则五+&;T≤x≤+k汽(k∈Z),

54I∖τc

，函数/（x）的单调递减区间为.五十左孙-jɪ+左乃（k∈Z）

（2）将函数/（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

y=smX-寺勺图象’再将图象向左平移π/单位，得到

6

.ππ=sinfɪ-ɪ

g(χ)sinx+---------的图象,

I63

l-COS^2χ-y

…A(Λ)=ɪsinf2x-yj+sin2π-sin∖2x-π^}+

X-----

3232

=也ShKFL

I12J2

πlπC77π7乃,.∙."2T)

∙.∙x∈,e∈

ʌl2~4y~↑2

,√2+1

..O≤^^sinf2Λ-7%+J≤与ɪ,即MX）的值域为.0,

^n-2~

18.【正确答案】（1）Bw（2）3√3

【分析】(I)利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式可整理得Sin(B-宗］=；,根据角

7171

所处的范围可求得5-二="，求得5;(2)利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可

66

求得〃。的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.

(1)由c=√¾sinC-CCoSB及正弦定理可得：sinC=GSinBsinC-sinCcosB

C∈(0,^∙).,.sinC≠O/.ʌ/ɜsinB-cosB=I即：=—

6∈(0,乃)∙∙.fi-ɪef-ɪ.∙.=解得：B=土

6V66J663

(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=l2

/.12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当。=C时取等号)

.∙.SMBC=∣αcsinB≤^×12siny=3√3,即AABC面积的最大值为

本题考查解三角形相关知识，涉及到利用正弦定理进行边角互化、利用余弦定理和基本不等

式求解三角形面积的最大值的问题，属于常考题型.

19.【正确答案】(1)(%+2)2+(y+l)2=25(2)4x+3y+l=O或X=Y

【分析】(1)根据题意可知直线3x+y+7=0过圆心，AB的垂直平分线也过圆心，求出其

方程后与已知直线方程联立，求出圆心坐标及半径，便可写出圆的标准方程.

(2)根据垂径定理求出点到直线的距离，斜率存在时设直线方程为y-5=Mx+4),利用

点到直线距离公式求得左，求出直线方程，斜率不存在x=-4.

【小问1详解】

解：由题意得：

∙.∙A(1,3),8(2,2),且直线3x+y+7=O过圆心

.∙.A8的中点坐标为(∣∙,∙∣)又=-1

53

.∙∙AB的垂直平分线方程为y—；=即χ-y+l=0

22

.∙.圆C的圆心坐标为(-2.-1),r=λ∕(-2-l)+(-l-3)=5

则圆C的标准方程为O+2)2+(>+1)2=25.

【小问2详解】当斜率存在时，设直线方程为y-5=-x+4),即依—y+4Ar+5=0.

∖-2k+l+4k+5∖_\2k+6\

圆心(-2,-1),到直线的距离Q==JF=ii=2解得上=一3

J∕+ιΛ2+l3

.∙.直线/方程为4x+3y+l=0

当斜率不存在时，X=-4也满足条件

则直线/的方程为4x+3y+l=0或X=T.

TT

20.【正确答案】(1)证明见解析(2)-

6

TT

(1)证明：由题可知,A8C为等边三角形，所以AC=2,ZCAD=-

在NCO中，由余弦定理得CO=22+42-2×2×4cos∣=2√3,

所以AC2+C02=AQ2,所以CD_LAC.

因为CD_LPC,且ACPC=C,所以CO_L平面PAC.

因为A4u平面P4C，所以CD.因为Q4∙LAB,且钻,。相交,

所以，平面ABCD.

(2)以A为坐标原点，以AO，AP的方向分别为)'，Z轴的正方向,

如图所示的空间直角坐标系4一盯Z则C(G,1,0),Λ/(0,2,1).

设平面MAC的法向量为n=(x,y,z),

n∙AC->∕3x+y=0,/∣-∣-∖

则《令X=1,得〃=l,-√3,2j3.

n∙AM=2y+z=0,

m∙n2√3_73

取平面ACr）的一个法向量为m=（0,0,1）,贝∣Jc°s<m">=M/

1x42•

TT

由图可知二面角“一4。一。为锐角，所以二面角M-AC-。的大小为z.

O

21.【正确答案】（I）Ey+4=。c2v+Γ÷6x-6y+8=0

⑶(x+2)2+(y-l>=5

【分析】(1)两圆相减，可得公共弦所在直线方程;

⑵首先设圆系方程/+V?+2x+2y-8+M+y2-2χ+IOy-24）=0（"为常数）,

根据圆心在直线)'上，求'，即可求得圆的方程;

(3)面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.

(1)将两圆方程相减得χ-2y+4=0,此即为所求直线方程.

(2)设经过A、B两点的圆的方程为'+y2+2*+2y-8+"x2+y2-2x+10y-24)=0

(A-X—ɪ—04、Λ-A,一▲一O∙ΛC

--,-----j----+--------=U

(“为常数)，则圆心坐标为1+λ1+；l；又圆心在直线y=-χ上，故1+,',

解得'-8,故所求方程为χ2+y2+6x-6y+8=0.

(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小.两圆心所在直线方程为2x+y+3=0,

与直线AB方程联立得所求圆心坐标为(一2-1∖由弦长公式可知所求圆的半径为,5

故面积最小的圆的方程为'ITmT)-=5.

22.【正确答案】(1)证明见解析；(2)在线段AC上存在一点P,且P是靠近C的四等分

点.

(1)在三棱柱ABC-AAG中，四边形AmCG是平行四边形，