第33讲　平面向量的概念及其线性运算（解析版）

第33讲平面向量的概念及其线性运算基础知识1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量既有又有的量称为向量

用a,b,c,…或AB,BC,…表示向量的模向量的,也称为向量的模(或长度)

或

零向量始点和相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的

记作

单位向量模等于的向量称为单位向量

用e表示,|e|=

相等向量把相等、相同的向量称为相等的向量

向量a和b相等,记作

两个向量平行(或共线)如果两个非零向量的方向或者,则称这两个向量平行,两个向量平行也称为两个向量共线

两个向量a和b平行,记作,零向量与任意向量

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算

法则

法则

(1)加法交换律:a+b=;

(2)加法结合律:(a+b)+c=

减法减去一个向量相当于加上这个向量的

法则

a-b=

数乘实数λ与向量a的运算

(1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=.

(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0或a=0时,λa=

λ(μa)=;

(λ+μ)a=;

λ(a+b)=

3.向量三角不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.【核心概念与思想方法】平面向量的平行四边形法则与数形结合:若平行四边形ABCD满足|AD+AB|=|AD-AB|,则该平行四边形为.

1.大小方向大小|a||AB|终点011大小方向a=b相同相反a∥b平行2.和三角形平行四边形b+aa+(b+c)相反向量三角形a+(-b)相乘|λ||a|相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb【核心概念与思想方法】矩形常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…2.△ABC中的常见结论:(1)PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心;(2)PA·PB=PB·PC=PC·PA⇔P为△ABC的垂心;(3)(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA⇔O为△ABC的外心;(4)若P为△ABC的重心,则AP=13(AB+AC)3.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则OF=12(OA+OB)分类探究探究点一平面向量的基本概念例1给出下列说法:(1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;(2)若A,B,C,D是不共线的四个点,则“BA=CD”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;(3)“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”;(4)若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b.其中正确说法的个数是 ()A.1 B.2C.3 D.4例1[思路点拨]根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.A[解析]对于(1),若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等,但两个相等向量不一定有相同的起点和终点,故(1)中说法错误.对于(2),∵BA=CD,∴|BA|=|CD|且BA∥CD,又∵A,B,C,D是不共线的四个点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则BA=CD,故(2)中说法正确.对于(3),当a∥b且a,b的方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件,故(3)中说法错误.对于(4),向量不能比较大小,故(4)中说法错误.故选A.[总结反思](1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性.(2)只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等.(3)在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.变式题(多选题)下列命题为真命题的是 ()A.若a与b为非零向量,且a∥b,则a+b必与a或b平行B.若e为单位向量,且a∥e,则a=|a|eC.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件变式题ACD[解析]易知A为真命题;对于B,若e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e,故B为假命题;对于C,由向量的三角不等式可知,C为真命题;对于D,因为两个向量平行不能推出两个向量相等,而两个向量相等能推出两个向量平行,因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件,故D为真命题.故选ACD.探究点二平面向量的线性运算背景问题微点1平面向量的线性运算例2(1)如图6-33-2,四边形ABCD为正方形,△ADE为等腰直角三角形,F为线段AE的中点,设向量BC=a,BA=b,则CF= ()图6-33-2A.-14a+3B.34a+3C.-34a+5D.14a+5(2)若正六边形ABCDEF的边长为2,中心为O,则|EB+OD+CA|= ()A.2 B.23C.4 D.43例2[思路点拨](1)结合图形中的各线段的关系及正方形、等腰直角三角形的性质求解;(2)首先将EB+OD+CA化简为EA,再根据正六边形ABCDEF的边长为2,每个内角都是120°,通过余弦定理解三角形求出|EA|,即得|EB+OD+CA|.(1)C(2)B[解析](1)如图,连接BD.∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等腰直角三角形,F为线段AE的中点,∴BD∥AE,且BD=2AE,∴CF=CB+BA+AF=-BC+BA+12AE=-BC+BA+14BD=-BC+BA+14(BC+BA)=-34BC+54BA,∵向量BC=a,BA=b,∴(2)在正六边形ABCDEF中,EB+OD+CA=EO+DC+OD+CA=ED+DA=EA.在△AEF中,∠AFE=120°,AF=EF=2,∴|EA|=22+22-2×2×2×cos120°=23,即|EB+OD+CA|=2[总结反思]向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的一般步骤:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.微点2平面向量的加、减运算的几何意义的应用例3(1)已知点D在△ABC的边AC上,CD=2DA,点E是BD中点,则EC= ()A.13AB+23AC BC.-13AB+56AC D(2)若P是△ABC所在平面内的一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,则△ABC的形状是 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形例3[思路点拨](1)根据条件画出图形,可得EC=-12(CD+CB),然后代入CD=-23AC,CB=AB-AC进行向量数乘运算即可得出答案;(2)根据平面向量的线性运算与模长公式,可以得出以AC,AB为邻边的四边形为矩形,进而得出△(1)D(2)B[解析](1)如图,根据题意可得EC=-12(CD+CB)=-12（23CA+AB-AC）=-12（-23AC-AC+AB(2)∵P是△ABC所在平面上一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,∴|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA)|=0,即|CB|=|AB+AC|,∴|AB-AC|=|AC+AB|,等号两边同时平方并化简得AC·AB=0,∴AC⊥AB,∴A=90°,即△ABC是直角三角形.[总结反思]利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.微点3利用向量的线性运算求参数例4(1)已知O是△ABC的重心,且OA+2OB+λBC=0,则实数λ= ()A.3 B.2 C.1 D.1(2)如图6-33-3所示,在△ABC中,已知D是BC延长线上一点,E为线段AD的中点,若BC=2CD,且AE=λAB+34AC,则λ=图6-33-3例4[思路点拨](1)由O为△ABC的重心可得OA+OB+OC=0,结合已知条件及BC=OC-OB,可得λ=1;(2)根据已知条件用AB和AC表示AE,再由AE=λAB+34AC(1)C(2)-14[解析](1)OA+2OB+λBC=OA+2OB+λ(OC-OB)=OA+(2-λ)OB+λOC=0.∵O是△ABC的重心,∴OA+OB+OC=0,∴(2-λ)OB+λOC=OB+OC,∴λ=1.故选C(2)因为E为线段AD的中点,BC=2CD,所以AE=12AD=12(AB+BD)=12AB+12×32BC=12AB+34(AC-AB)=-14AB+[总结反思]解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.▶应用演练1.【微点2】如图6-33-4,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB= ()图6-33-4A.AC-AD B.2AC-2ADC.AD-AC D.2AD-2AC1.D[解析]连接CD(图略),∵C,D是半圆弧的两个三等分点,∴CD∥AB,且AB=2CD,∴AB=2CD=2(AD-AC)=2AD-2AC.故选D.2.【微点1】(多选题)如图6-33-5,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则下列结论正确的是 ()图6-33-5A.AD-AC=1B.AB+BC+CD+DA=0C.|OA+2OD|=0D.OA=23DC2.ABC[解析]对于选项A,因为在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,所以AD-AC=CD=12AB,故选项A正确.对于选项B,AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0,故选项B正确.对于选项C,由于DOAO=12,所以OA+2OD=0,故|OA+2OD|=|0|=0,故选项C正确.对于选项D,OA=23DA=23(DB+BA)=23(DB+2DC)=23DB3.【微点3】已知点O为△ABC内的一点,且满足OA+3OB=λOC,若S△AOB=13S△ABC,则λ= (A.-2 B.-12C.12 D.3.A[解析]如图,取OE=3OB,作平行四边形OAME,连接OM,与AB相交于点F,则OA+3OB=OA+OE=OA+AM=OM.易知△OBF∽△MAF,故OFMF=OBMA=13,则OF=14OM,又S△AOB=13S△ABC,∴OFCF=13,则OC=-2OF,∴OM=4OF=4×-12OC=-2OC∴λ=-2.故选A.4.【微点1】如图6-33-6,圆O是等边三角形ABC的外接圆,点D为劣弧AC的中点,则OD= ()图6-33-6A.23BAB.23BAC.13BAD.43BA4.A[解析]连接BO(图略),∵圆O是等边三角形ABC的外接圆,∴BO⊥AC,∵点D为劣弧AC的中点,∴OD⊥AC,∴BO∥OD,又BO和OD有公共点O,∴B,O,D三点共线,则OD=BO=23×12(BA+BC)=13(BA+BA+AC)=23BA+同步作业1.若非零向量a和b互为相反向量,则下列说法中错误的是 ()A.a∥b B.a≠bC.|a|≠|b| D.a=-b1.C[解析]由向量平行的定义可知A中说法正确;因为a和b的方向相反,所以a≠b,故B中说法正确;由相反向量的定义可知a=-b,故D中说法正确;由相反向量的定义知|a|=|b|,故C中说法错误.故选C.2.给出下列说法:①两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;②两个有共同终点的向量,一定是共线向量;③向量AB与非零向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中错误说法的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.42.C[解析]对于①,相等向量是大小相等,方向相同的向量,故两个有共同起点的相等向量,其终点必相同,故①正确;对于②,共线向量是指方向相同或相反的向量,两个有共同终点的向量,其方向可能既不相同又不相反,故②错误;对于③,共线向量是指方向相同或相反的向量,向量AB与向量CD是共线向量,则线段AB和CD平行或共线,故③错误;对于④,有向线段是向量的表示形式,不能等同于向量,故④错误.4个说法中有3个错误,故选C.3.下列各式不能化简为PQ的是 ()A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BA-QC)C.QC-QP+CQD.PA+AB-BQ3.D[解析]对于A,AB+(PA+BQ)=AQ+PA=PQ;对于B,(AB+PC)+(BA-QC)=PC-QC=PQ;对于C,QC-QP+CQ=-QP=PQ.故选D.4.在△ABC中,D是AB边上的中点,则CB= ()A.2CD+CA B.CD-2CAC.2CD-CA D.CD+2CA4.C[解析]∵在△ABC中,D是AB边上的中点,∴CB=CD+DB=CD+AD=CD+(AC+CD)=2CD-CA.故选C.5.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-3b,CD=-5a-5b,则四边形ABCD的形状是 ()A.矩形 B.平行四边形C.梯形 D.以上都不对5.C[解析]∵AD=AB+BC+CD=-8a-6b,∴AD=2BC,∴AD∥BC,且AD≠BC,∴四边形ABCD是梯形.故选C.6.在平行四边形ABCD中,E,F分别为CD,BC的中点,则AE= ()A.34AD+12AF BC.12AD+34AF D6.A[解析]由题意可得AE=AD+DE=AD+12AB,AB=AF+FB=AF-12AD,则AE=34AD7.已知向量a与b的方向相反,|a|=1,|b|=2,则|a-2b|=.

7.5[解析]因为向量a与b的方向相反,所以|a-2b|=|a|+2|b|=1+4=5.8.已知向量a,b不共线,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D8.A[解析]∵BD=BC+CD=2a+4b,∴BD=2AB,又BD,AB有公共点B,∴A,B,D三点共线.故选A.9.如图K33-1,在△ABC中,AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线,它们交于点G,则下列说法中不正确的是 ()图K33-1A.BG=2B.AB+AC=3AGC.DG=1D.GA+GB+GC=09.C[解析]由条件可知G为△ABC的重心.对于A,∵BG∶GE=2∶1,∴BG=23BE,故A中说法正确;对于B,AB+AC=2AD=2×32AG=3AG,故B中说法正确;对于C,易知DG=12GA,∵AB+AC=3AG,∴AG+GB+AG+GC=3AG,∴GA+GB+GC=0,故D中说法正确.故选C.10.设点O在△ABC的内部,且有AB=32(OB+OC),则△ABC的面积与△BOC的面积之比为 (A.3 B.13C.2 D.110.A[解析]以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,连接OD交BC于点M,如图所示.由AB=32(OB+OC),得OB+OC=23AB=2OM,∴AB=3OM,∴△ABC的面积与△BOC的面积之比为12·|BC|·|AB11.已知P为△ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,则△ABC的面积为 ()A.3 B.23 C.33 D.4311.B[解析]设BC的中点为D,AC的中点为M,连接PD,ND,BM(图略),则有PB+PC=2PD.由AB+PB+PC=0,得AB=-2PD,又D为BC的中点,M为AC的中点,所以AB=-2DM,则PD=DM,则P,D,M三点共线且D为PM的中点,又D为BC的中点,所以四边形CPBM为平行四边形.又|AB|=|PB|=|PC|=2,所以|MC|=|BP|=2,则AC=4,且BM=PC=2,所以△AMB为等边三角形,∠BAC=60°,则S△ABC=12×2×4×32=23.故选12.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ()A.若AM=12AB+12AC,则点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心D.若2CM=CA+CN,则△MBC的面积是△ABC面积的112.ACD[解析]若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点,故A正确;若AM=2AB-AC,则AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;由2CM=CA+CN,可得M为AN的中点,则△MBC的面积