第30讲　等比数列及其前n项和（原卷版）

第30讲等比数列及其前n项和基础知识1.等比数列中的有关公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则等比数列定义式(q≠0且q为常数)

等比中项Gx=yG(G是x与y通项公式或

前n项和公式当q=1时,Sn=;

当q≠1时,Sn==

2.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman==.

(2)若公比q≠-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成数列,其公比为.

3.等比数列与函数的关系(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=a1qqn(q≠1),前n项和公式可以写成Sn=a1q-1qn-(2)①当a1>0,q>1或a1<0,②当a1>0,0<q<1或a1<0③当q=1时,数列{an}是常数列;④当q<0时,数列{an}为摆动数列.常用结论1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1an,{an2},{an·bn2.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.3.一个等比数列各项的k次幂仍构成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.4.若{an}为等比数列,a1·a2·…·an=Tn,则Tn,T2nTn,T5.在数列{an}中,当q≠0,q≠1时,其前n项和Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,此时k=a1分类探究探究点一等比数列的基本运算例1(1)已知等比数列{an}中,a2=1,a5=-8,则{an}的前6项和为.

(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S4=2S3+1,2a4=2a3+3a2+2,则a1=.

[总结反思](1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对公比q=1和q≠1的分类讨论.变式题(1)已知{an}为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11= ()A.9 B.-9C.212 D.-(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4= ()A.7 B.8 C.15 D.16(3)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层,每一层的数量是它下一层的2倍,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.已知该处共有1016个“浮雕像”,则正中间那层的“浮雕像”的个数为 ()A.508 B.256 C.128 D.64探究点二等比数列的性质例2(1)各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S20= ()A.107 B.30或-20C.30 D.40(2)已知等比数列{an}中,a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为 ()A.128 B.64C.16 D.8[总结反思](1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,若可以灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=apaq”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当组合后构成的新数列也具有某种性质.变式题(1)已知等比数列{an}中,an>0,a5,a95为方程x2-10x+16=0的两根,则a20a50a80=()A.32 B.64 C.256 D.±64(2)已知各项都为正数的数列{an},对任意的m,n∈N*,am·an=am+n恒成立,且a3·a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=.

探究点三等比数列的判定与证明例3已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若数列{an}为等差数列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列{an+bn}和{an-bn}均为等比数列.[总结反思]判定一个数列为等比数列的常见方法:(1)定义法:若an+1an=q(q是非零常数),则数列{a(2)等比中项法:若an+12=an·an+2(n∈N*),则数列{an(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q为非零常数),则数列{an}是等比数列.变式题在等差数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列中.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一组可能的{a1,a2,a3},并求数列{an}的通项公式.(2)记(1)中你选择的{an}的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.同步作业1.记Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2=0,则公比q= ()A.0 B.-1C.1 D.无法确定2.设{an}是等比数列,则下列说法中一定正确的是 ()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列3.若1,a,4,b,c成等比数列,则b= ()A.42 B.8C.±8 D.±424.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为 ()A.35 B.75C.155 D.3155.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= ()A.7 B.5C.-5 D.-76.已知数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值是 ()A.1 B.2 C.12 D.-7.已知{an}是等比数列,且a3a5a7a9a11=243,则a7=;若公比q=13,则a4=8.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列,若a6+a7+a8=26,且a5·a9=36,则1a6+1a7+1A.1318 B.1318C.139 D.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m= ()A.3 B.6 C.8 D.910.著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创建了十二平均律,是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音之间频率的比值是常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2（ai+1ai）12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D#的频率的比值为32,频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A.F# B.G C.G# D.A11.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则 ()A.数列{an}为等差数列B.数列{an}为等比数列C.a12+a22+…D.m+n为定值12.(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足a1>1,a7·a8>1,a7-1a8-1<A.0<q<1B.a7·a9>1C.Sn的最大值为S9D.Tn的最大值为T713.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S20-S10S30-S20=1314.已知数列{an}满足a3,a6,a9,…,a3n,…是首项为1,公比为2的等比数列,a3n-2,a3n-1,a3n是公比为-12的等比数列,则数列{an}的前20项和S20=15.设