北京市某中学2022-2023学年高一年级下册学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2022-2023学年高一下学期期中考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，复数2T对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，在平行四边形/8CD中，AC-AB=（）

A-EfiB-ADC-BDD-CD

3.已知长方体的长、宽、高分别为5,4,3,那么该长方体的表面积为（）

A.20B.47C.60D.94

4.已知向量z=且"力则加=（）

A.1B.-1C.4D.-4

5.已知向量凡$忑在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所

示.则（22+刃”=（）

A.12B.4C.6D.3

6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则

这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

试卷第11页，共33页

也c.@D.6

A.2B.

23

7.“直线/与平面0平行”是“直线/与平面a内无数条直线平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，48两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得8c的距离

1Om,ZABC=15\^ACB=600>则48两点间的距离为（）

A-5&mB-5GmC55/5mD・5A/6ITI

9.在正方体44clz）|中，p是正方体的底面481G£）］（包括边界）内的一动

点，（不与4重合），0是底面力BCQ内一动点，线段4c与线段P。相交且互相平分，

则使得四边形42cp面积最大的点尸是（）.

A.1个B.2个C.3个D.无数个

试卷第21页，共33页

10.如图，正方形48CD的边长为2，P为正方形/3CO四条边上的一个动点，则

。[0,4]D-[-1,4]

二、填空题

H.若复数z=」-,则kb.

1+1

12.已知向量G，B满足I51=2，出|=4，（3_万）方=0,则2与B的夹角为--・

13.在VR8C中，4=60。加=1,SVABC=也'贝"=-----

14.已知直线机和平面Q,夕.给出下列三个论断：①“〃a；②a〃0；③mu/?.以

其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

15.如图，矩形/8CO中，/D=248=2,用为8c的中点，将沿直线力加翻折，

构成四棱锥N为的中点，则在翻折过程中，

①对于任意一个位置总有CN//平面AB,M；

②存在某个位置，使得CW1AB］；

③存在某个位置，使得AD1MB、；

试卷第31页，共33页

④四棱锥B'~AMCD的体积最大值为变.

上面说法中所有正确的序号是.

三、解答题

16.如图，在"8。中，AD=-AB,点、E,尸分别是8°的中点.设方=

4

AC=h-

（1）用£出表而，EF-

（2）如果乙4=60°，AB=2AC,CD,EF有什么关系？用向量方法证明你的结论.

17.如图，在四棱锥尸_/Be/）中，8c〃平面物。,ADBC'区尸，"，G分别是

棱Bl,PB,PC,的中点.

试卷第41页，共33页

(1)求证：8C〃N。；

(2)判断直线EF与直线G4的位置关系，并说明理由.

18.如图，在四棱柱/88_/圈。|"中，，平面Z8CZ)，ADHBC,NB4D=90°，

(1)求三棱锥5,-ABD的体积;

(2)求证：8C//平面ZDZ)/;

(3)求证：AC1B.D-

19.在V/8C中分别°、b'c分别是角A、B、c的对边，且满足

^2b-y/3c^cosA=VJizcosC

⑴求角rA\的大小;

⑵现在给出三个条件.：①-耳；②八手；③.试从中选出两个条件'补充在

下面的问题中，•,求VN8C的面积•

(3)当满足°=2时，求的取值范围使得这样的VN8C有且只有两个(直接写出结论)

20.某港口水深夕(米)是时间/(0^524,单位：小时)的函数，下表是水深数据:

03691215182124

t(小

试卷第51页，共33页

时)

10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

y(米)

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数

y=Asin+6的图象.

I，'」

o*1I'S/*I.M)

⑴试根据数据表和曲线，求出y=4sin(yf+6(4>o,0>0力>0)的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃

水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲

当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时

间)

21.在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐

标都是整数的点),AnS(n):B},B2»B}>,B"，其中

〃23，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②线段.MR其中

,=1,2,3,---,/7-1>则称/(”)与8(〃)互为正交点列.

⑴求4(3)：4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交点列8(3)；

⑵判断N(4)：4(0,0)，4(3/)，4(6,0)，4(9/)是否存在正交点列8(4)?并说明理

由；

(3)Vn>5,〃WN，是否都存在无正交点列的有序整点列/(〃)？并证明你的结论.

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参考答案:

I.D

【分析】求得复数对应的坐标，从而确定正确选项.

【详解】复数2-i对应的点为力，翎:，在第四象限•

故选：D

2.B

【分析】根据向量运算得％_万=而.

【详解】由图知前一方=前=而，

故选:B.

3.D

【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.

【详解】长方体的长、宽、高分别为5,4,3,

所以该长方体的表面积为(5x4+5x3+4x3)x2=94

故选：D

4.D

【分析】利用平行的坐标公式处理即可.

【详解】由向量&=(一1,2)3=(2,/«)，且“，

-lxnj_2x2=0,解得：m=-4-

故选：D.

5.C

【分析】建立平面直角坐标系，可得出G=(2,-1)，5=(2,2”0=(1,2),再结合平面向量

坐标的线性运算性质即可求解.

【详解】•・网格纸上小正方形的边长为1，

答案第11页，共22页

，如图，在平面直角坐标系中)=(2,-1)，.=(2,2)，0=(1,2),

/.2a+i=2x(2,-1)+(2,2)=(6,0)'

.­.(2a+^)-c=(6,0)-(1,2)=6-

故选：C.

6.C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为,，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为/=2u

则圆锥和圆柱的高为占=,4/=岛•

所以圆锥的侧面积为£=；X2TT2%/=r2,

圆柱的侧面积为S2=2兀2乂酢«r2,

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为县=3,

S23

故选:C.

7.A

【解析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可.

【详解】因为“直线/与平面a平行”，所以根据线面平行的性质定理可知“直线/与平面

答案第21页，共22页

a内无数条直线平行”，反之不成立，因为直线/还可能在平面a内.

故选：A.

【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确语句间的推出关系是求解的关键，侧重考查

逻辑推理的核心素养.

8.D

【分析】根据正弦定理求解即可

【详解】因为N/8。=75°,//。8=60"，故/8/C=180°-75°-6(T=45°，由正弦定理，

BCAB

---------=---------1ox——

sinZBACsinZACB2r[7

,故48=——7=^=5V6m

V2

T

故选：D

9.C

【详解】,・•线段4c与线段尸。相交且互相平分，

・•・四边形AQCP是平行四边形，

因4c的长为定值，为了使四边形40。尸面积最大，

只须P到4c的距离为最大即可，

由正方体的特征可以知道，

当点p位于巴，G，2时，平行四边形40c尸面积相等，且最大，

则使得四边形42cp面积最大的点尸有3个.

故选c.

点睛:立体几何中最值问题，主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转

化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.

答案第31页，共22页

10.D

【分析】建立平面直角坐标系，分点尸在CD上，点尸在5C上，点尸在上，点尸在

上，利用数量积的坐标运算求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则/(0,2),8(2,2)，

当点尸在CD上时，设尸(x,0)(0<x<2))

则734=(x,-2),PB=(x-2,-2),

所以质.而=x(x-2)+4=(x-+3e[3,4]；

当点尸在2C上时，设尸(2,尸)(0«尸w2)，

贝IJ万1=-2),丽=(0,y-2),

2

所以万1•无=(y-2)e[0,4]:

当点尸在“8上时，设尸(应2)(04x42)，

答案第41页，共22页

则应=(x,0),=(x-2)0),

所以%.阳=X(X_2)=(x-_1e［-1,o］:

当点尸在“。上时，设O(o,y)(o4y42)，

则(0,y-2),而=(-2y-2),

所以万1•届=(尸-2丫e［0,4］；

综上：用.而的取值范围是卜］,4］•

故选：D

【解析】根据15Hzi以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案•

【详解】因为2=3,所以|刃=|z|=|2|=—不=-4==&.

1+11+i11+/1vl4-1

故答案为：72

【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.

12.-

3

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出［力再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】向量a，不满足|万|=2，历|=4,由(在-4)*=0，得15=/=4,

因此cos〈£［〉=曰=/一△，而°“潮,，则&［〉=？，

⑷⑸2x423

答案第51页，共22页

所以“与"的夹角为巴.

3

故答案为：—

3

3V13

【详解】由三角形的面积公式知，s=1bcsinZ=^，解得°=4,再有余弦定理得

2

a2=b2+c2-2/）ccos60°=13'故a=

14.若a〃/3,mu。，则机Pa

【分析】分三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件,

①作结论.只要以上三个命题为真即可.

【详解】解：将①②作条件，③作结论：若加〃a,a〃P，则机uQ.此命题为假命题

（结论应为mu/5或心〃夕）；

将①③作条件，②作结论：若"?〃a,mu/3,则。〃户.此命题为假命题（结论应为a与

夕相交或a〃?）；

将②③作条件，①作结论：若a〃P，mu0，则机〃a.由两平面平行的性质定理可知

此命题为真命题.

故答案为：若a〃夕，mu0，则加〃a.

15.①④

【分析】证明EA7〃NC,结合线面平行判定判断①；由皮0〃"C结合/用与不垂直，

答案第61页，共22页

判断②；由线面垂直的判定得出点用与点尸重合，从而判断③；取4W的中点为G，连接

B}G>当4GJL平面ZMCD时,四棱锥鸟-/A/C。的体积最大,从而判断④♦

【详解】分别取/用,40的中点为瓦广，连接EN,EM,B、F,FM-

因为网部的中点分别为E'N,所以EN〃旬〃MC,且硒」仞="0

2

即四边形ENCW为平行四边形，故EN〃NC，由线面平行的判定可知对于任意一个位

置总有CN//平面AB.M，故①正确；

因为4B附=90。，所以/4与EN不垂直，由EA/〃MC可知，/4与NC不垂直，故②错

误；

由题意/々J.4",若/£>_1_知8］，则由线面垂直的判定可得朋81_1平面/40.

则因为所以与△A/8Q全等，则44=4。=1，

此时点名与点尸重合，不能形成四棱锥故③错误；

取"加的中点为G,连接与G,BG=变，当BQ，平面"M8时，四棱锥4-/MCD

12

的体积最大，最大值为1（i+2）xlx1xE=正，故④正确：

3224

答案第71页，共22页

故答案为：①④

CD1EF

16.(1)CD=-a-b,EF=-a；(2)t证明见解析

42

【解析】(1)根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出前，EF

(2)设zc=机，则/8=2加，EF=m.计一算丽.而即可。

【详解】解：(1)CD=AD-AC=-AB-AC=-a-h；

44

——111,1-

EF=-AB=-a.

22

(2)CD1EF,证明如下：设NC=m'则N8=2加'EF=

---------(1一一)1一1一21--1I1。

CD-EF=-a-b\--a=-a——a'b=—x(2mY——x2mxmxcos60

l4)28282

=—Im~,—1tn~)=0八.

22

•''CDLEFJCD1EF-

【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于

中等题。

17.(1)证明见解析：

(2)直线后尸与直线G“相交，理由见解析.

答案第81页，共22页

【分析】(1)根据线面平行的性质即可求解;

(2)根据题意可证瓦£”,G四点共面，又因为所以EGwFH，即得EF与

G4相交.

【详解】(1)解：因为5c〃平面尸/。，8Cu平面平面尸/Dc平面

ABCD=AD，

所以8C///ZT

(2)解:直线《尸与直线G”相交，理由如下：

连接EG,户H)

因为E,G分别是棱尸4P。的中点，

所以EG///O,EG=g/£»,同理可证：FH//BC,FH=^BC,

因为8C//4T所以EG//FH，

所以瓦F,//,G四点共面，

因为XDwBC，所以EGxFH'

所以E尸与G//不平行，即E尸与GH相父•

答案第91页，共22页

2

18.(1)-；(2)证明过程见解析；(3)证明过程见解析.

【分析】(1)直接应用棱锥的体积公式进行求解即可；

(2)直接应用线面平行的判定定理进行证明即可；

(3)根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质进行证明即可.

【详解】⑴三棱锥片-。的体积为：

"81.551.SV^D=1X1X1X2X2=|;

(2)因为4D//8C,/Ou平面8C<Z平面4304，

所以8C//平面

(3)因为_L平面/BCD，/Cu平面/8CO，所以

又因为ZCJ.8。，BDCBB、=8,5。,8片u平面8。片，

所以ZC_L平面因为。々u平面所以/CJL8Q-

19.(1)/=［；

6

(2)答案见解析；

(3)(2.4)-

答案第101页，共22页

【分析】（1）用正弦定理求得c°sN=在，即可求出/=9；

26

c=&相矛盾，故这样的V"8c

（2）选条件①②：直接求出。=工<8,得到c<",这与

6

不存在，舍去.

选条件①③：由余弦定理解得：P,判断出为等腰三角形，求出c=与‘直接用

面积公式求面积;

选条件②③：由角判断出VN8C为等腰三角形，直接用面积公式求面积―

（3）利用正弦定理建立不等式，解出分的取值范围.

【详解】（1）在"'SC中，对侬-辰卜。sZ=GacosC,用正弦定理得:

(2sin5-V3sinCjcos^=73sinAcosC,所以2sin庆os/=百sinIcosC+百sinCeos/,即

2sinBcosA=V3sin(A+C)-

因为4+8+C="所以sin8=sin(/+C)xO,所以更.

2

因为―万），所以N=g

6

⑵选条件①②：在刎中，有个…产

由，+8+C=%可得：c=^<5,所以c<',这与°相矛盾，故这样的"“SC不存在,

6

舍去.

答案第111页，共22页

选条件①③：在""SC中，有幺=工，。=后，”2

6

由余弦定理可得：1=b2+'-2bccos",即4=/+3^—2bx^cos&,解得："=?.所以

VZ5C为等腰三角形，所以8"=/,c=?，所以Sy=LbsinC」x2x2x正=5

63%ABC222

a=2

选条件②③：在"/SC中，有力=工，B=生,.

63

由"+8+C="可得：c」.所以38c为等腰三角形，所以c="2,所以

,△ABC=—acsinB=—x2x2x也=5

222

（3）如图示,

要使符合题意的V/8C有且只有两个，只需以C为圆心，以〃为半径作弧与射线（不含

/）有且仅有两个交点.

过C作C〃_L/8于。则CD=ACsinA

n=<44.CD<a<bb~2<6<4

只需满足a，即Hn一<2<b,解得：

2

所以6的取值范围为（2,4>

答案第121页，共22页

20.(l)^=3sin-/+10(0</<24)

6

(2)16小时.

【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出46，由两个最高点的之间的距离可以

求出",从而可求函数的表达式：

（2）在当0W24的前提下，解不等式^211.5即可.

【详解】（1）根据数据，\A+b=U,

[-4+6=7

.・.4=3,b=10,7=15-3=12，

2兀兀

/.CD=---=一,

T6

函数的表达式为y=35由e/+10（04，（24）；

（2）由题意，水深yN4.5+7，

即3sin二f+10211.5（04fV24），

6

.兀1、

sin—tN一,

62

'兀兀5疝3心「,1%=0i

—te2k,2w—k+—，，1，

6L66J

答案第131页，共22页

所以，该船在］：00至5:00或13:00至77:00能安全进港，

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

21.⑴旦(0,2)，与(2,5)，名(5,2)

(2)不存在，理由见解析

(3)不存在，证明见解析

【分析】(1)由正交点列的定义可知q(0,2)，与(5,2)，设约(x,y)，由正交点列的定义

可知瓦•丽=0,初•瓦瓦=0,即可得出结论；

(2)设点列B,，B、，纥是点列4，4，4，4,的正交点列，则可设

丽=4(-1,3),婀=4(1,3),礴=4(-1,3)，4，4，4eZ，因为4与4，4与&

相同，即可得到结论；

(3)Vn>5,/?eN»都存在整点列4(”)无正交点列.设彳彳二=(a,。),其中q，〃是一对

1=123…拉一1«-i»-1

，“’£5)壬，

互质整数，，则有正T,分类讨论，即可得出结论.

〃一1〃一1

£(4。,)=力

./=!/=!

【详解】(1)设点列4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交点列是用，B］，纭，

由正交点列的定义可知4(0,2)，员(5,2)，

设层(x,y)，石=(3,—2),不;=(2,2),瓦瓦=(xj-2),瓦瓦=(5-x,2-y)，

由正交点列的定义可知4石.瓦瓦=0,同4.瓦瓦=0，

答案第141页，共22页

即俨-2(y-2)=0,解得卜=2