数值分析习题答案

第一章绪论3．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,,,,解：是五位有效数字；是二位有效数字；是四位有效数字；是五位有效数字；是二位有效数字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1),(2),(3).其中均为第3题所给的数。解：6．设，按递推公式〔n=1,2,…〕计算到。假设取〔5位有效数字〕，试问计算将有多大误差？解：……依次代入后，有即，假设取,的误差限为。9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：正方形的面积函数为.当时，假设,那么故测量中边长误差限不超过时，才能使其面积误差不超过10．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：当增加时，的绝对误差增加当增加时，保持不变，那么的相对误差减少。11．序列满足递推关系(n=1,2,…),假设〔三位有效数字〕，计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：又又计算到时误差为，这个计算过程不稳定。第二章插值法1．当时，,求的二次插值多项式。解：那么二次拉格朗日插值多项式为4．设为互异节点，求证：〔2〕证明由上题结论可知得证。5设且求证：解：令，以此为插值节点，那么线性插值多项式为=插值余项为8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且〔为正整数〕。解：函数的展式为其中又是次数为的多项式为阶多项式为阶多项式依此过程递推，得是次多项式是常数当为正整数时，11．证明证明得证。14．求及。解：假设那么16．求一个次数不高于4次的多项式P〔x〕，使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。解：在区间上，函数在小区间上分段线性插值函数为误差为第三章函数逼近与曲线拟合，给出上的伯恩斯坦多项式及。解：伯恩斯坦多项式为其中当时，当时，4。计算以下函数关于的与：解：假设，那么6。对，定义问它们是否构成内积。解：假设，那么,那么假设，那么,且即当且仅当时，.故可以构成上的内积。7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：假设，那么令，那么，且，故又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且是在上带权的正交多项式。又8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式解：假设，那么区间上内积为定义，那么其中10.(Nohave)12.(Nohave)15。，在上按勒让德多项式展开求三次最正确平方逼近多项式。解：按勒让德多项式展开那么从而的三次最正确平方逼近多项式为16。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s)0距离s(m)010305080110求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程令那么那么法方程组为从而解得故物体运动方程为23，用辗转相除法将化为连分式。解19。求在处的阶帕德逼近。解：由在处的泰勒展开为得从而即从而解得又那么故

21。求在处的阶帕德逼近。解：由在处的泰勒展开为得从而即解得又那么故第四章数值积分与数值微分1.确定以下求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。〔2〕假设令，那么令，那么令，那么从而解得令，那么故成立。令，那么故此时，因此，具有3次代数精度。〔4〕假设令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此时，因此，具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为5。推导以下三种矩形求积公式：证明：两边同时在上积分，得即两边同时在上积分，得即两连边同时在上积分，得即7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为又且又即计算值比准确值大。其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。11。用的高斯-勒让德公式计算积分解：令，那么用的高斯—勒让德公式计算积分用的高斯—勒让德公式计算积分17.(Nohave)在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：xF(x)解：由带余项的三点求导公式可知又又又故误差分别为利用数值积分求导，设由梯形求积公式得从而有故又且从而有故即解方程组可得第5章解线性方程组的直接方法2．证明：〔1〕因A对称正定，故其中MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h=〔0,…,0,1,0,...,0〕为第i个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得=-=-=，I,j=2,…,n故也对称.又=其中显然非其异,从而对任意的x0,有X0,(x,AX)=(x,AX)>0(由A的正定性)故正定.又=,而>0,故正定.3.证明由矩阵乘法简单运算即得证.7.(Nohave)(Nohave)解设有分解=由公式其中，，分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，那么有，，，，，，，由得=，，，，由得=，=，=，=，=10．解设=由矩阵乘法得=2，，，由得，，由得故==2.5555556，=0.7777778，==1.111111111．解A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故假设将A中第一行与第三行交换，那么可以分解，且分解唯一。B中，==0，但它仍可以分解为B=其中为一任意常数，且U奇异，故分解且分解不唯一，对C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。C=13．证明〔1〕有定义知