高三数学二轮专题复习数列通项公式题型全归纳（归纳本专题共16种数列通项公式题型近五年高考真题100题模拟训练题）原卷版

2024届高三数学二轮专题复习数列通项公式题型全归纳归纳本专题共16种数列通项公式题型近五年高考真题100题模拟训练题知识回顾二、考点分析三、本专题常用解题技巧四、本章常用解法总结五、本章考点分析六、高考真题回顾（20192023年）七、本章知识模拟训练（100题）知识回顾一、数列的通项公式如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项.通关一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即要点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此不可能是，（2）“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个.（3）隐含条件，任一项且（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为的常数，数列是公比为的等比数列.（5）证明一个数列为等比数列，其依据是利用这种形式来判定就便于操作了。通关二、等比中项如果三个数成等比数列，那么称数为的等比中项，其中。要点诠释：（1）只有当与与同号即时，才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项，当与异号或有一个为零，即时，与与没有等比中项。（2）任意两个实数，与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项是等比中项不唯一（3）当时，成等比数列推不出成等比数列通关三、等比数列的通项公式首项为公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法根据等比数列的定义：，可得，所以当时，上式也成立，所以归纳得出：累乘法根据等比数列的定义可得：,把以上个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得，即，又也符合上式，所以迭代法，所以要点诠释：（1）通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比数列就唯一确定了.（2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.通关四、等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则.（1）当时，，等比数列是非零常数列，它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.（2）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图像是分布在曲线，且上的一些孤立的点.考点分析判断或写出数列中的项【例题1】（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（

）A．23 B．31 C．33 D．43【例题2】（2024上·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）已知数列，则是这个数列的（

）A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项累加法求数列通项【例题3】（2024·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（

）A．241 B．231 C．213 D．192累乘法求数列通项【例题4】（2023·高二单元测试）已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（

）A． B． C． D．利用an与sn关系求通项或项【例题5】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）数列的前项和，求数列的通项公式：构造法求数列通项【例题6】（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．观察法求数列通项【例题7】（2024上·安徽·高二安徽省利辛县第一中学校联考期末）已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（

）A． B． C． D．定义法求数列通项【例题8】（2023下·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是（

）A．存在等差数列是“跳跃数列”B．存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”C．若等比数列是“跳跃数列”，则公比D．若数列满足，则为“跳跃数列”本专题常用解题技巧方法一：归纳法使用情景：已知数列的首项和递推公式解题步骤：观察、归纳、猜想、证明.【例9】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781方法二：公式法使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知.已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.【例题10】（2024上·广东深圳·高二统考期末）记为数列的前项和，已知，且，.(1)证明：为等差数列；(2)求的通项公式；方法三：累加法使用情景：在已知数列中相邻两项存在：的关系解题步骤：先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.【例题11】（2024上·山东滨州·高二统考期末）已知数列中，，则.方法四：累乘法使用情景：若在已知数列中相邻两项存在：的关系.解题步骤：先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.【例题12】（2024·全国·高二假期作业）数列中，若，，则.本章常用解法总结公式法题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))来求解.若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．【例题13】（2024上·河南·高二校联考期末）已知数列的前项和，则（

）A． B． C．是等差数列 D．是递增数列【例题14】（2024·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，，.求的通项公式；累加法：若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项.形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．【例题15】（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足：，则（

）A．21 B．23 C．25 D．27【例题16】（2024上·全国·高三阶段练习）已知数列满足，则（

）A． B．C． D．累乘法：若数列{an}满足eq\f(an,an－1)＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用累乘法求通项.形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．【例题17】（2024·全国·高二假期作业）已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．【例题18】（2024上·广东清远·高二统考期末）已知数列满足，则下列结论成立的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为递增数列C． D．数列的前项和为构造法：当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝eq\f(q,p－1)，从而构造出等比数列{an＋λ}.（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．【例题19】（2024上·河北邯郸·高二统考期末）已知数列中，且，则数列的前项和（

）A． B．C． D．【例题20】（2023·安徽蚌埠·统考一模）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数.定义法分别回到等差数列与等比数列的基本量建立方程组，解出基本量，从而就可以求出通项；利用这一递推关系，求得的通项；利用等差中项证明是等差数列，并求出的通项公式；【例题21】（2023上·宁夏·高二六盘山高级中学校考期中）已知数列的首项，，，.(1)证明：为等比数列；(2)求数列的前项和．观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．【例题22】（2023·高二课时练习）数列的一个通项公式（

）A． B． C． D．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式本章考点分析考点一：观察法【例题23】（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（

）A． B．是一个等差数列C． D．考点二：累加法【例题24】（2024上·上海·高二校考期末）若数列满足，则的通项公式是．【例题25】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）若数列满足，（，），则的最小值是.考点三：累乘法【例题26】（2024上·广东河源·高二统考期末）已知正项数列满足，则.【例题27】（2024·全国·高三专题练习）数列中，若，，则.【例题28】（2024·全国·高三专题练习）数列中，，且，则等于.考点四：待定系数法用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．【例题29】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列．若，求证：是等比数列；【例题30】（2022·河南安阳·三模（文））已知数列满足，且前8项和为506，则___________.考点五：同除以指数【例题31】（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）已知数列的前项和为，则（

）A．B．为等比数列C．D．【例题32】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.考点六：取倒数法形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．【例题33】（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）若数列满足递推关系式，且，则（

）A． B． C． D．【例题34】（2024上·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【例题35】（2024·广东茂名·统考一模）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点七：取对数法形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．【例题36】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则___________，___________.考点八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题【例题37】（2024上·山西忻州·高二统考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【例题38】（2024上·河南·高二伊川县第一高中校联考阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，求的通项公式；考点九：周期数列【例题39】（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）已知数列的首项为1，对任意的，定义.(1)若，（ⅰ）求的值和数列的通项公式；（ⅱ）求数列的前n项和；【例题40】（2023下·四川德阳·高一统考期末）数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2023的值为（

）A．﹣2 B． C． D．【例题41】（2023·高二课时练习）数列中，，，（为正整数），则．考点十：前n项积型【例题42】（2023·贵州·统考模拟预测）已知等比数列的公比且，前项积为，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例题43】（2022上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，则（

）A．120 B．366 C．363 D．126【例题44】（2024·广东茂名·统考一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.求的通项公式；考点十一：“和”型求通项【例题45】（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为A．－8 B．6 C．－5 D．4【例题46】（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）在数列中，，且，.(1)求的通项公式；(2)若，且数列的前项n和为，证明：.考点十二：正负相间讨论、奇偶讨论型【例题47】（2024上·海南·高二校联考期末）在数列中，.若对任意的，不等式恒成立，则实数【例题48】（2024上·湖南郴州·高二统考期末）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（

）A．B．C．此数列的前项和为D．数列的前60项和为930【例题49】（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设是数列的前项和.已知，当时，满足.若，求数列的通项公式；考点十三：因式分解型求通项【例题50】（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列，且满足．求数列的通项公式；【例题51】（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为．考点十四：其他几类特殊数列求通项【例题52】（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.【例题53】（2024·江苏·高二专题练习）已知数列，则该数列的第2024项为（

）A． B．C． D．【例题54】（2024·江苏·高二专题练习）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．求的通项公式；【例题55】（2023上·河南周口·高二校考阶段练习）在数列中，已知，且.求通项公式.【例题56】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列满足，且.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.考点十五：双数列问题【例题57】（2023·广东茂名·统考模拟预测）设，数列的前n项和为，已知，且，正项的等差数列的首项为2，且，，成等比数列.（1）求和的通项公式；（2）求证：.【例题58】（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知数列满足，数列的前项和满足.求的通项公式；考点十六：通过递推关系求通项【例题59】（2024·全国·高二假期作业）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论错误的是（

）A． B．，C． D．【例题60】（2023·高二课时练习）已知数列中，，，当时，为定值，则实数的不同的值有（

）A．5个 B．5个 C．6个 D．7个【例题61】（2022·高二课时练习）已知数列满足递推关系，，则（

）A． B． C． D．高考真题回顾（20232023年）1.（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．2.（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．3.（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．4.（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．5.（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和．6.（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．7.（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．8.（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．9．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求．10.（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．11.（2020•浙江）已知数列，，满足，，．（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．12.（2019•浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：，．本章知识模拟训练（100题）单选题1.（2024上·四川达州·高二统考期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的1，3，6，10称为三角数，则下列各数中是三角数的是（

）A．20 B．21 C．22 D．232.（2024上·江苏南通·高二统考期末）数列的通项公式可能是（

）A． B． C． D．3.（2024上·全国·高二期末）是等差数列的（

）A．第项 B．第项C．第项 D．第项4.（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（

）A．28 B．36 C．45 D．555.（2024·全国·高三专题练习）数列满足，，则等于（

）A． B． C． D．6.（2024·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．数列与是相同的B．数列可以表示为C．数列与是相同的数列D．数列的第项为7.（2024·全国·高三专题练习）已知数列，若，则（

）A．9 B．11 C．13 D．158.（2024上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）已知数列满足，且，若，则正整数为（

）A．13 B．12 C．11 D．109.（2024·全国·高二假期作业）若数列满足，，则（

）10.（2024上·广东茂名·高二高州市第四中学校考期末）已知是数列的前项和，且满足，则（

）A．128 B．130 C． D．11.（2024·四川绵阳·统考二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．12.（2024上·广东深圳·高二校考期末）符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．13.（2024上·山西忻州·高二统考期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（

）A．B．C．D．14.（2024上·广东深圳·高二校考期末）数列，，，，…的一个通项公式是（

）A． B． C． D．15.（2024上·青海西宁·高二统考期末）数列的一个通项公式是（

）A． B． C． D．16.（2022·高一课时练习）已知数列满足，，若，则正整数k的值是（

）A．8 B．12 C．16 D．2017.（2022下·云南保山·高一统考期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年18.（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知数列20，17，14，11，8，…，根据该数列的规律，该数列的项中为正数的有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个19.（2022下·北京东城·高一统考期末）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则A． B．C． D．20.（2023下·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）设等比数列的前6项和，且为的等差中项，则（

）A． B．8 C．10 D．1421.（2022上·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．22.（2023·全国·高二专题练习）已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（

）A．－6 B．6 C．0 D．1023.（2022·高二单元测试）已知数列满足，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．24.（2022下·四川资阳·高一统考期末）已知等差数列的前n项和为，且，则（

）A．40 B．45 C．80 D．9025.（2023·高一课时练习）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2023年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2023年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是

A． B．C． D．26.（2023上·湖北荆州·高二统考期末）在等差数列中，，，，若的前项和为，则（

）A．1 B．2 C． D．427.（2023上·高二课时练习）在等比数列中，，，则公比q的值为（

）A．4 B． C．2 D．28.（2023上·西藏·高二校考阶段练习）一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（

）A．它的首项是，公差是 B．它的首项是，公差是C．它的首项是，公差是 D．它的首项是，公差是29.（2022·高二课时练习）已知等差数列的首项和公差均为2，是的前n项和，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．30.（2023·高二单元测试）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44 B．3×44＋1C．44 D．44＋131.（2023·湖南邵阳·校联考一模）已知等差数列，，则其前项的和A． B． C． D．32.（2022上·陕西延安·高二校考阶段练习）下列结论错误的个数为（

）①满足（为常数）的数列为等比数列.②若，则三个数成等比数列.③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.A．1 B．233.（2022·全国·高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（

）A． B． C． D．34.（2023上·江西·高一统考期中）造纸术是我国古代四大发明之一，目前我国纸张采用国际标准，复印纸A系列纸张尺寸的长宽比都是，.纸张的面积为1平方米，长宽比为，将纸张的长边对折切开得到两张纸张，将的长边对折切开得到两张纸张，依次类推得到纸张，，…，.则纸张的长等于（

）（参考数据：，）A．210毫米 B．297毫米 C．149毫米 D．105毫米35.（2022·河北张家口·统考一模）已知实数列成等比数列，则A． B． C． D．36.（2022上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（

）A．46 B．44 C．42 D．4037.（2023上·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）在等比数列中，若，，则等于（）A．35 B．63 C． D．38.（2023下·浙江·高三校联考阶段练习）设数列满足，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为（

）A． B． C．2 D．339.（2023上·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）数列为等差数列，若,，则（

）A． B． C． D．40.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，将该数列按下列格式(第n行有2n－1个数)排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数字为（

）a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15…A．142 B．270 C．526 D．103841.（2022上·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知2，，成等比数列，则a的值为（

）A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定42.（2023上·上海·高三上海市七宝中学校考期末）已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1，且an＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3] B．（1，3） C．（0，3] D．（0，4）43.（2022下·四川绵阳·高一统考期末）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（

）A． B． C． D．44.（2022·高二课时练习）等比数列的公比为q，且，，若，则m等于（

）．A．9 B．10 C．11 D．1245.（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若数列为等差数列，且，则（

）A． B． C． D．46.（2023上·重庆巫山·高二校考期末）下列说法正确的是（

）A．若数列的公差，则数列是递减数列B．若数列的前项和，则数列为等比数列C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列；47.（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列是递增的等比数列，，，则公比（

）A． B．1 C． D．48.（2023上·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则（）A． B．3 C．−3 D．49.（2023下·北京顺义·高二统考期中）在正整数数列中，由开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取；第二次取个连续的偶数，；第三次取个连续奇数，，；第四次取个连续的偶数，，，；第五次取个连续的奇数，，，，；按此规律取下去，得到一个数列，，，，，，，，，，，则这个数列中第个数是（

）A． B． C． D．50.（2022·高二课时练习）已知等差数列，，，则数列的前100项和（

）A． B． C． D．51.（2023·高二课时练习）某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2023年退耕万亩，以后每年比上一年增加，那么到2025年一共退耕（

）A． B． C． D．二、多选题52.（2024·全国·高三专题练习）提丢斯波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（

）A．数列的通项公式为B．数列的第20项为C．数列的前10项和为157.3D．数列的前项和53.（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且，数列的前项和记为，且数列满足，则（

）A． B．的前10项和为55C．当时， D．54.（2024上·江苏南京·高二统考期末）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（

）A． B．是等比数列C．是等比数列 D．是递增数列55.（2024上·吉林·高二吉林省实验校考期末）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列与数列是同一个数列B．数列的通项公式为，则120是该数列的第11项C．在数列中，第8个数是D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为56.（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B．为等比数列C． D．数列的前项和为57.（2023下·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（

）A．若是等差数列，则 B．若是等比数列，则C．若是等比数列，则公比一定为2 D．若是等比数列，则公比是2或－258.（2022·江苏·统考一模）记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列59.（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式.则下列结论中正确的是（

）（参考公式：）A．数列为二阶等差数列B．数列的前11项和最大C．D．60.（2023下·高二课时练习）下面四个选项中，正确的有（

）A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列B．常数列b，b，…，b一定为等比数列C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等D．等比数列中，各项与公比都不能为零61.（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．1562.（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与均为的最大值 D．为的最大值63.（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．64.（2023·湖南永州·统考模拟预测）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．65.（2022上·湖南郴州·高三郴州一中统考阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（

）A．数列是单调递减数列B．C．数列的公差的取值范围是D．当时，66.（2022上·福建龙岩·高三校联考期中）已知数列{}中，，，下列说法正确的是（

）A．若{}是正项等比数列，则 B．若{}是正项等比数列，则C．若{}是等差数列，则 D．若{}是等差数列，则公差为67.（2023上·江西·高三校联考期末）设，在数列中，，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，68.（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（）A．若数列满足，则该数列是等比差数列；B．数列是等比差数列；C．所有的等比数列都是等比差数列；D．存在等差数列是等比差数列．69.（2023上·江苏连云港·高二校考期末）在等差数列中，若，,则（

）A． B．C．的最大值为15 D．的最大值为2570.（2023上·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．当或时，取得最大值C．数列的前10项和是30D．，，成等差数列，公差为71.（2023·全国·高三专题练习）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（

）A．若，则从开始出现数字2 B．若，则C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字472.（2023·高二单元测试）下列命题正确的是（

）A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B．若等差数列的公差，则是递增数列C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列73.（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A． B．若，则最大为4048．C．是数列中的最大值 D．74.（2023下·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（

）A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列B．若数列的前项和，则数列为等差数列C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列三、填空题75.（2024·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为．76.（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．77.（2024·全国·高三专题练习）近日北方地区普遍降雪，某幼儿教师手工课上带孩子们做描述雪花形状的图案：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行