人教版九年级数学下册同步练习 28.2.1 解直角三角形（分层练习）（原卷版+解析）

28.2.1解直角三角形基础篇基础篇一、单选题：1．在中，，，，下列四个选项，正确的是（

）A． B． C． D．2．在Rt中，，如果，，那么AC的长是（）A． B． C． D．3．如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．65．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（）A． B． C． D．6．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（）A． B． C． D．7．将矩形纸片，按如图所示的方式向上折叠，当折痕与边的夹角为，时，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题：8．在中，，，，则___________．9．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于__．10．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为_____．11．如图，点，，点是一点，若，则的面积为______．12．如图，线段与相切于点C，连接、，交于点D，已知，，则图中阴影部分的面积为_______．13．如图，反比例函数在第一象限的图象上一点，在轴上，点的纵坐标为1，若，的面积是，则的值是______．14．如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．三、解答题：15．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．16．如图，是锐角三角形，，，，求和的值．17．如图，在中，，，，求长．提升篇提升篇1．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（）A． B． C． D．2．如图，在中，，点O在上，经过点A的与相切于点D，交于点E，若则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．3．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．在△ABC中，，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_____．5．如图，在中，D为BC上一点，连接，将沿着翻折得到，E点恰好在边上且，若，，则线段___________；6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AD=6cm，则∠EAD的正弦值为_____．7．如图，以的边上一点O为圆心，为半径的经过B点与交于D点，连接，已知，．(1)求证：为的切线；(2)若，求；(3)设为的平分线，，求的半径．28.2.1解直角三角形基础篇基础篇一、单选题：1．在中，，，，下列四个选项，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：，∴，，，，∴C正确，A、B、D错误，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．2．在Rt中，，如果，，那么AC的长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】如图：在Rt中，AC．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．3．如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：如图，与交于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．5．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求出长度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即．【详解】解：在中，，，∴，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵E为中点，∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半．6．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，则，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，而，∴．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了相似三角形的判定与性质．7．将矩形纸片，按如图所示的方式向上折叠，当折痕与边的夹角为，时，图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形对边平行的性质与折叠的性质推出，得到，过点F作，结合矩形角的性质推出四边形是矩形，得到，根据正弦定义推出，根据三角形面积公式求出阴影部分面积．【详解】∵矩形中，，∴，由折叠知，，∴，∴，过点F作于点G，则，∵，∴四边形DAGF是矩形，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形折叠，正弦，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，折叠性质，正弦定义，三角形面积公式．二、填空题：8．在中，，，，则___________．【答案】【分析】根据正切的定义得，则可设，利用勾股定理计算出，可求出t，即可．【详解】解：如图，∵，∴设，∴，∵，∴解得：，即．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．9．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于__．【答案】220【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为点．，设，，，可设，，，，，由，得，则故．故答案是：220【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．10．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为_____．【答案】【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．【详解】如图，过点作于点E．由题意可知四边形为菱形，∴，．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．11．如图，点，，点是一点，若，则的面积为______．【答案】3【分析】根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等，得到正切值相等，再得到长度，最后求出的面积．【详解】解：由题意可知，，，，，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．12．如图，线段与相切于点C，连接、，交于点D，已知，，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】【分析】连接．由切线的定义得，由等腰三角形“三线合一”得，利用勾股定理求出，进而求出；计算出的正切值，求出，进而求出，再求出扇形的面积，则阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积．【详解】解：如图，连接．线段与相切于点C，，，，，在中，，，．，，，．，故答案为：．【点睛】本题考查扇形的面积公式，等腰三角形的性质，切线的定义，勾股定理，特殊角的三角函数等，涉及知识点较多，难度不大，解题的关键是得出阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积．13．如图，反比例函数在第一象限的图象上一点，在轴上，点的纵坐标为1，若，的面积是，则的值是______．【答案】【分析】作轴于点H，则，由的面积是可得长，再由可得，解直角三角形即可解得，从而求出点E的坐标，进而求解．【详解】解：作轴于点H，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵点E在反比例函数的图象上，∴．故答案为：【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及解直角三角形的方法．14．如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．【答案】【分析】先在中由求出，再在中由求出．【详解】∵，∴，在中，，，，∴，在中，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．三、解答题：15．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．【答案】，，【详解】解：在中，∵，，，∴∵∴∴16．如图，是锐角三角形，，，，求和的值．【答案】，【分析】过作于点，利用面积公式求出高的长，从而求出、的长，再根据勾股定理求出的长，之后直接解直角三角函数求和即可．【详解】过作于点，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，．【点睛】本题考查三角函数，注意辅助线的添加法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．17．如图，在中，，，，求长．【答案】【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度．【详解】解：过点A作，垂足为在中，，，在中，长为【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键．提升篇提升篇1．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．【详解】∵，∴．设，则．由折叠的性质可知，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．设，则．∵，即，∴（舍去负值），∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．2．如图，在中，，点O在上，经过点A的与相切于点D，交于点E，若则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点O作，可得，可得四边形是矩形，进而可得，在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据面积公式，进行计算即可解答．【详解】解：连接，过点O作，垂足为F，∴，∵与相切于点D，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，，∴阴影部分面积的面积扇形的面积，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形，三角形和扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故②错误；通过证明，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④正确，设，，可求，，可得，故⑤正确；即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，∴，∴，，故①正确；如图，连接，∵，，∴，∵，，∴，故②错误；∵，，F是的中点，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，如图，作于G，则，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，∴，∴，∵F是的中点，∴，∴，故④正确；∵，∴设，，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；故选C．【点睛】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．在△ABC中，，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_____．【答案】或【分析】分两种情况讨论：当AD在△ABC的内部时，当AD在△ABC的外部时，即可求解．【详解】解：如图，当AD在△ABC的内部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；如图，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；综上所述，BC的长为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．5．如图，在中，D为BC上一点，连接，将沿着翻折得到，E点恰好在边上且，若，，则线段___________；【答案】【分析】过作交的延长线于，得到，设，，根据折叠的性质得到，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过作交的延长线于，，，，，设，，将沿着翻折得到，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AD=6cm，则∠EAD的正弦值为_____．【答案】【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，进而可得到可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,再设AF=x,则EF=DF=（8-x）cm,在Rt△ADF中利用勾股定理可得，求得AF的长，再通过勾股定理求得DF的长，最后可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=6cm,∴BC=AD=6cm,∵