数学分析常见极限

数学分析常见极限SMARTCREATECREATETOGETHER01极限的基本概念与性质极限的定义数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值极限的符号表示数列极限：用符号“∑”表示，如：∑(n→∞)a_n函数极限：用符号“lim”表示，如：lim(x→a)f(x)极限的分类单调有界数列极限：数列单调递增或递减且有界无穷小量极限：自变量趋向无穷小量时，函数值趋向某一有限值无穷大量极限：自变量趋向无穷大量时，函数值趋向某一有限值极限的定义与符号表示极限的基本性质局部有界性：在自变量的一个有限区间内，函数值是有界的唯一性：当自变量趋向某一值时，函数的极限值是唯一确定的局部保号性：在自变量的一个有限区间内，函数值保持同号极限的基本结论极限的四则运算法则：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)极限的乘方运算法则：lim(x→a)f(x)^n=(lim(x→a)f(x))^n(n为自然数)极限的除法运算法则：当lim(x→a)f(x)≠0时，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)(g(x)/f(x))极限的基本性质与结论极限存在的充分条件数列极限存在的充分条件：数列单调且有界函数极限存在的充分条件：函数在自变量趋向某一值时，函数值有界极限存在的必要条件数列极限存在的必要条件：数列的项趋于某一常数函数极限存在的必要条件：函数在自变量趋向某一值时，函数值趋于某一常数极限存在的充分必要条件02极限的运算规则极限的加法运算：lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)极限的减法运算：lim(x→a)(f(x)-g(x))=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)g(x)极限的乘法运算：lim(x→a)(f(x)*g(x))=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)g(x)极限的除法运算：当lim(x→a)f(x)≠0时，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)(g(x)/f(x))极限的四则运算原则极限运算的交换律：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)(g(x)±f(x))极限运算的结合律：lim(x→a)(f(x)±g(x))*h(x)=lim(x→a)(f(x)*h(x)±g(x)*h(x))极限四则运算的性质极限的四则运算极限的乘方运算极限的乘方运算原则lim(x→a)f(x)^n=(lim(x→a)f(x))^n(n为自然数)极限的乘方运算性质极限运算的幂等律：lim(x→a)f(x)^n=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)f(x)^(n-1)(n为自然数)极限运算的乘法分配律：lim(x→a)(f(x)*g(x))^n=lim(x→a)f(x)^n*lim(x→a)g(x)^n极限的除法运算原则当lim(x→a)f(x)≠0时，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)(g(x)/f(x))极限的除法运算性质极限运算的除法分配律：lim(x→a)(f(x)/g(x))*h(x)=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)h(x)/lim(x→a)g(x)极限运算的倒数律：lim(x→a)(1/f(x))=1/lim(x→a)f(x)(当lim(x→a)f(x)≠0时)极限的除法运算与商法则03无穷小与无穷大无穷小的定义无穷小是指当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0的函数无穷小的性质无穷小的比较：若lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，且lim(x→a)(f(x)/g(x))=L，则f(x)与g(x)是同阶无穷小，记作f(x)≈g(x)(x→a)无穷小的等价：若lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则f(x)与g(x)是等价无穷小，记作f(x)≈g(x)(x→a)无穷小的定义与性质无穷大的定义无穷大是指当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大的函数无穷大的性质无穷大的比较：若lim(x→a)f(x)=±∞，lim(x→a)g(x)=±∞，且lim(x→a)(f(x)/g(x))=L，则f(x)与g(x)是同阶无穷大，记作f(x)≈g(x)(x→a)无穷大的等价：若lim(x→a)f(x)=±∞，lim(x→a)g(x)=±∞，且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则f(x)与g(x)是等价无穷大，记作f(x)≈g(x)(x→a)无穷大的定义与性质无穷小与无穷大是相互对立的，即当自变量趋向某一值时，一个函数趋于无穷小，另一个函数趋于无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的加法运算：lim(x→a)(f(x)±g(x))=±∞(取决于f(x)与g(x)的极限符号)无穷小与无穷大的乘法运算：lim(x→a)(f(x)*g(x))=±∞(取决于f(x)与g(x)的极限符号)无穷小与无穷大的除法运算：当lim(x→a)f(x)=±∞，lim(x→a)g(x)=±∞时，lim(x→a)(f(x)/g(x))=±∞(取决于f(x)与g(x)的极限符号)无穷小与无穷大的运算无穷小与无穷大的关系与运算04极限的常用求解方法直接代入法直接代入法的原理当自变量趋向某一值时，直接将自变量代入函数表达式求解极限直接代入法的适用条件函数在自变量趋向某一值时，函数表达式简单，可直接代入求解因式分解法因式分解法的原理将函数分解为若干因子的乘积，然后分别求各因子的极限，最后将各因子的极限相乘因式分解法的适用条件函数可分解为若干因子的乘积，且各因子的极限存在或可求夹逼定理的原理若存在三个函数f(x)、g(x)、h(x)，满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，则lim(x→a)g(x)=L01洛必达法则的原理当函数f(x)和g(x)在自变量趋向某一值a时，满足lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=0或±∞，且lim(x→a)f'(x)/g'(x)存在或等于±∞，则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]02夹逼定理与洛必达法则的适用条件函数满足夹逼定理或洛必达法则的条件03夹逼定理与洛必达法则05连续函数的极限连续函数的定义与性质连续函数的定义函数在自变量的一个区间内，函数值连续不间断连续函数的性质连续函数的局部有界性：在自变量的一个有限区间内，函数值是有界的连续函数的局部保号性：在自变量的一个有限区间内，函数值保持同号连续函数在一点的极限连续函数在一点的极限定义函数f(x)在点x=a处的极限是指当自变量x趋向于a时，函数值f(x)趋向于某一常数L连续函数在一点的极限性质连续函数在一点的极限存在性：若函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a处的极限存在连续函数在一点的极限唯一性：若函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a处的极限值唯一连续函数在区间上的极限定义函数f(x)在区间I上的极限是指当自变量x趋向于区间I的端点时，函数值f(x)趋向于某一常数L连续函数在区间上的极限性质连续函数在区间上的极限存在性：若函数f(x)在区间I上连续，则函数f(x)在区间I上的极限存在连续函数在区间上的极限唯一性：若函数f(x)在区间I上连续，则函数f(x)在区间I上的极限值唯一连续函数在区间上的极限06极限的应用实例极限在几何中的应用极限在几何中的应用实例求圆的面积：lim(n→∞)(n*π*r^2)/n=π*r^2求球的体积：lim(n→∞)(n*(4/3)*π*r^3)/n=(4/3)*π*r^3极限在微积分中的应用极限在微积分中的应用实例求导数：lim(h→0)[(f(x+h)-f(x))/h]=f'(x)求积分：lim(n→∞)∑[f(a+i*h)*h/n](i=1