2024年中考数学专题训练 专题02 中线四大模型在三角形中的应用（专项训练）（原卷版+解析）

专题02中线四大模型在三角形中的应用（专项训练）1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为．2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，AD＝BD，∠BDC＝45°，点E在BC边上，AE交CD于点F，CE＝EF，若S△FAC＝4，则线段AD的长为．3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝．4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．5．某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，点D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证：∠BFD＝∠CAD．6．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．7．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．8．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长是．9．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．10．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC，连结DM、DN、MN，求DN的长．（1）求DN的长；（2）直接写出△BDM的面积为．12.【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，GH∥AB交BC于点H，则△EGH与△ABC的面积的比值为．13．直角三角形两边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为．14．已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为．15．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线等于cm．专题02中线四大模型在三角形中的应用（专项训练）1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为．【答案】1＜AD＜5【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，AD＝BD，∠BDC＝45°，点E在BC边上，AE交CD于点F，CE＝EF，若S△FAC＝4，则线段AD的长为．【答案】2【解答】解：延长CD到点G，使DG＝CD，连接AG，过点H作AH⊥CG，垂足为H，∵AD＝BD，∠BDC＝∠ADG，∴△BDC≌△ADG（SAS），∴∠G＝∠BCD，∵EF＝EC，∴∠BCD＝∠EFC，∴∠G＝∠EFC，∵∠EFC＝∠AFG，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF，∵AH⊥FG，∴HG＝HF，∴S△AHG＝S△AHF，∵S△ADG＝S△BCD，S△BCD＝S△ADC，∴S△ADG＝S△ADC，∴S△AGH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△AFH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△ADH+S△ADF+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴2S△ADH＝S△AFC，∵S△FAC＝4，∴S△ADH＝2，∵∠BDC＝45°，∴∠BDC＝∠ADH＝45°，∴AH＝DH，∴AH•DH＝2，∴AH＝2或AH＝﹣2（舍去），∴AD＝AH＝2，故答案为：2．3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝．【答案】3【解答】解：过点B作BF∥AC，交AD的延长线于点F，∴∠CBF＝∠C，∠DAC＝∠F，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝AB＝4，∵D是BC中点，∴BD＝CDBC＝2，∴△ADC≌△FDB（AAS），∴AC＝BF＝4，∵∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠F，∴△BCE∽△FBD，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，故答案为：3．4．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：C．（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED，在△ABE与△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF与△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．5．某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，点D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证：∠BFD＝∠CAD．【解答】（1）证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD（中点定义），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：对顶角相等；SAS；（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（3）证明：延长AD到H，使DH＝AD，由（1）得，△ADC≌△HDB，∴BH＝AC，∠BHD＝∠CAD，∵AC＝BF，∴BH＝BF，∴∠BFD＝∠BHD，∴∠BFD＝∠CAD．6．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4；（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中线，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．7．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5．（2）结论：AD＝AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．8．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长是．【解答】方法一：解：连接DB，延长DA到F，使AD＝AF．连接FC，∵AD＝5，∴AF＝5，又∵点E是CD的中点，∴EA为△DFC的中位线，则AE＝CF，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝DB2，∴BD＝＝13，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，又∵DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形，∴FC＝DB＝13，∴AE＝．故答案为：．方法二：连接BE并延长，延长DA交BE延长线于点F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DEF和△CEB中，，∴△DEF≌△CEB（ASA），∴DF＝BC＝10，BE＝FE，∵DA＝5，∴AF＝5，在Rt△ABF中，AF2+AB2＝FB2，∴BF＝＝13，∴AE＝BF＝．故答案为：．9．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．【解答】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．10．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为．【答案】5【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴FD、FE、DE为△ABC中位线，∴DF＝AC，FE＝AB，DE＝BC；∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，故答案为：5．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°，故答案为：40°．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC，连结DM、DN、MN，求DN的长．（1）求DN的长；（2）直接写出△BDM的面积为．【考点】三角形中位线定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【解答】解：（1）连接CM，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，∵M，N分别是AB、AC的中点，BC＝6，∴MN∥BC，MN＝BC＝3，∵CD＝BC，∴CD＝BC＝3，∴CD＝MN，∵MN∥BC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN＝CM＝5；（2）由（1）知，CD＝3，则BD＝CD+BC＝3+6＝9．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC