2024北京延庆区2024届高三一模数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京延庆高三一模数学2024.03 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A） （B）（C） （D）（2）若复数满足，则（A） （B）（C） （D）（3）在的展开式中，的系数为（A） （B）（C） （D）（4）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（A） （B）（C） （D）（5）已知正方形的边长为，点满足，则（A）（B）（C）（D）（6）“”是“为第一或第三象限角”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知函数，则不等式的解集是（A）（B）（C）（D）（8）设，，，则（A） （B）（C） （D）（9）在等边中，，为所在平面内的动点，且，为边上的动点，则线段长度的最大值是（A） （B）（C） （D）（10）已知在正方体中，，是正方形内的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（A） （B）（C）（D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为．（12）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则，的面积为．（13）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．（14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)块，则上层有扇形石板块．（15）已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使得函数的最小值为；②存在实数，使得函数的最小值为；③存在实数，使得函数恰有个零点；④存在实数，使得函数恰有个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数，的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．（17）（本小题13分）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：12月16日星期六9:30单人雪橇第1轮10:30单人雪橇第2轮15:30双人雪橇第1轮16:30双人雪橇第2轮12月17日星期日9:30单人雪橇第3轮10:30单人雪橇第4轮15:30团体接力（Ⅰ）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；（Ⅱ）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望；（Ⅲ）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“”表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差，的大小关系．（18）（本小题15分）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，并求二面角的余弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．（20）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）若曲线的一条切线方程为，求的值；（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（Ⅲ）若，无零点，求的取值范围．（21）（本小题13分）已知数列，记集合.（Ⅰ）若数列为，写出集合；（Ⅱ）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．

参考答案一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分）1.B2.C3.D4.B5.C6.C7.A8.D9.D10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）11．；12.，；13．；14；15．①③12题第一空3分，第二空2分；15题选对一个给3分，二个给5分，有错误不给分.三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.解：（Ⅰ）因为…………2分其中，…………3分所以，…………5分又因为，所以.…………6分（Ⅱ）因为…………8分所以…………10分则，…………12分，…………13分所以函数的单调增区间为…………14分没有出现扣一分,结果不写区间形式扣一分。17.解：（Ⅰ）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件.由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法．所以．……4分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为．……5分根据题意，，……6分，……7分．……8分随机变量的分布列是：……9分数学期望．……11分（Ⅲ）……13分18.解：（Ⅰ）证明：方法一：在四棱柱中，连结，设，连结，在中，因为、分别为的中点，所以，…………2分又因为平面，平面，…………3分所以.…………4分方法二：在四棱柱中，设中点为，连结，，，因为，所以为平行四边形，所以，……1分因为，所以为平行四边形，所以，……2分因为所以平面，……3分因为平面所以．……4分（Ⅱ）解:选择条件①：本问记为分．选择条件②：连结，因为底面是正方形，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，所以，所以，在中，因为，，所以，在中，因为，，所以，所以，即，，又因为，所以如图建立空间直角坐标系，…………6分其中，，，，且，，…………7分因为侧面底面，，所以，因为平面所以，故，…9分设为平面的一个法向量，则即.不妨设，则,可得．…………12分所以，…………14分因为二面角的平面角是钝角,所以二面角的余弦值为.…………15分选择条件③：因为底面是正方形，所以，因为，所以，因为所以，因为侧面底面，且侧面底面，所以，即，，又因为，所以如图建立空间直角坐标系，…………6分下面同选择条件②.19.解：（Ⅰ）由题设，…………3分解得．…………4分所以的方程为．…………5分（Ⅱ）方法一：因为椭圆的方程为，所以，因为为第二象限上的动点，设．…………6分所以，即．…………7分直线的方程为，即．…………8分直线的方程为，即．…………9分由得．…………10分直线的方程为，即．…………11分直线的方程为，即．…………12分由得．…………13分，………15分（）所以，即．方法二：因为椭圆的方程为，所以，设直线的方程为，其中．…………7分由得．…………9分直线的方程为，即．…………10分由得．…………11分直线的方程为，即．…………12分直线的方程为，即．…………13分由得．…………14分因为，所以．…………15分20.解：（Ⅰ）函数的定义域为，设切点为，因为，………………1分所以，即，………………2分因为，，………………4分所以，即，所以，即.………………5分（Ⅱ）因为，在区间上为增函数，所以在内恒成立，………………7分因为，所以，………………8分所以，即.………………10分（Ⅲ）因为，，当，即时，，所以在上单调递减，因为，所以在上无零点，符合题意；……11分当时，令，则，当时，；当时，，所以的单调递减区间是；单调递增区间是，的最小值为，……12分当，即时，无零点，符合题意；……13分当时，有一个零点，不符合题意；……14分当时，的最小值，因为，所以，使得，不符合题意；……15分综上所述，当时，，无零点.21.解：（Ⅰ）.………………4分（Ⅱ）假设存在，使得，则有，………6分由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同.又因为，，所以必有大于等于的奇数