微积分-多元函数与二重积分知识点汇总

./第四章矢量代数与空间解析几何微积分二大纲要求了解两个向量垂直、平行的条件,曲面方程和空间曲线方程的概念,常用二次曲面的方程与其图形,空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互絭〔平行、垂直、相交等〕解决有关问题,点到直线以与点到平面的距离,求简单的柱面和旋转曲面的方程,求空间曲线在坐标平面上的投影方程.理解空间直角坐标系,向量的概念与其表示,单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式掌握向量的运算〔线性运算、数量积、向量积、混合积〕,用坐标表达式进行向量运算的方法,平面方程和直线方程与其求法.第一节矢量代数一、内容精要〔一〕基本概念1.矢量的概念定义4.1一个既有大小又有方向的量称为矢量,长度为0的矢量称为零矢量,用0表示,方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。定义4.2两个矢量与,若它们的方向一致,大小相等,则称这两个矢量相等,记作.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方〔因为既没有改变大小,也没改变方向〕,这种矢称为自由矢量,这样在解问题时将更加灵活与方便。称为按照的坐标分解式,称为坐标式。若记。知是单位矢量且与的方向一致,且。因此,告诉我们求矢量的一种方法,即只要求出的大小和与方向一致的单位矢量,则若,知其中是分别与Ox轴,Oy轴,Oz轴正向的夹角,而且2.矢量间的运算设的确定〔1〕〔2〕与所确定的平面,方向可任意确定〕垂直,且构成右手系若用坐标式给出,则图4-1图4-1由行列式的性质可知的几何意义：表示以为邻边的平行四边形的面积,即容易知道以为邻边的三角形面积为h图4-2.h图4-2容易验证的性质可用行列式的性质来记,其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。的几何意义表示以为邻边的平行六面体的体积,即图4-3图4-4图4-3图4-4容易知道以为邻边的四面体的体积为的应用特别重要,既若直线L既垂直矢量,也垂直矢量不平行,则L与确定的平面垂直,又也与确定的平面垂直,由两直线与同一平面垂面,则两直线平行.知L与平行,换句话说是直线L的方向向量,是确定平面的法矢量,这对于求直线方程与平面方程显得非常重要。3.矢量间的关系1..2.的分量对应成比例,总存在唯一的常数,使。以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法,请记住.3.共面不共线总存在唯一的两个实数m,n,使.Oθ图4-54.设三个矢量不共面,则对空间任一矢量,总存在唯一的三个常m,n,使Oθ图4-55.设,上的投影指的是把的起点平移到的起点O,过的终点作的垂线交上一点P,OP称为在的投影,记作,即这个公式对我们在后面求点到直线上距离,点到平面距离,两异面直线公垂线的长都有帮助。二、考题类型、解题策略与典型例题类型1.1求矢量的模解题策略1.,2.,例4.1.1已知互相垂直,且,求的模。分析利用与,下一题类似.解由两两垂直,知,知.例设,若以为邻边的平行四边行的面积为6,求常数k。解由公式得例已知都是单位矢量且,求分析利用与.解由又,故例设,向量共面且解法一设共面,知〔1〕由条件,有即〔2〕由条件即〔3〕〔1〕、〔2〕〔3〕三式联立,解得,所以解法二因共面,且不共线,故可设得〔4〕得〔5〕〔4〕〔5〕联立,解得于是解法三由在上的投影相等且为正,知在的夹角相等且为锐角,又因与共面,知的方向即是〈AOB的角平分线方向,而的方向即是平分线方向,因此AB图4-6平行,可设,AB图4-6由,故解法四由,按例4.1.5设分析利用点积、叉积、混合积的性质.解原式第二节直线与平面一、内容精要〔一〕定理与公式直线方程直线方程点向式〔对称式〕：参数式：两点式：一般式：平面方程点法式一般式三点式截距式〔〕平面束两直线L1、L2位置关系垂直平行两平面π1、π2位置关系垂直平行直线L与平面π的位置关系垂直平行直线与平面其中P0QLP12R图4-71．设直线L方程为,其中是直线L上一点,是L的方向向量,P1〔x1,y1,z1〕是直线L外一点,则P1到L的距离为.

证连接P0P1,过P1作L的垂线,垂足为Q,以分邻边作平行四边形,由在直线L上,知P0QLP12R图4-7注：在证明过程中假设P0不是P1的垂足,若P0是垂足,则,实际上时,上式依然成立。

2。设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0,是平面的法矢量,P1〔x1,y1,z1〕是平面π外一点,则P1到平面π的距离为.P1QP0π图4-8证过作平面的垂线,垂足为Q,在平面π内选一点,连接P1P0,得矢量,由,知P1QP0π图4-8而从而

又P0点在平面π上,有,故

3.设有两异面直线

则两直线之间的距离.证端点分别在两异面直线上的公垂线的长度称为两异面直线之间的距离〔图7-9〕.过直线L1作平面π平行于直线L2,

在L2上取一点M2,在L1上取一点M1,从M2引平面π的垂线M2M〔M为垂足〕,于是即为L1与L2的距离.设平面π的法矢量为n,则在n上的投影的绝对值即为所求的距离.即

而,所以4.设L1与公垂线O1O2确定的平面为π1,由π1经过点M1〔x1,y1,z1〕设π1的法矢量为,由O1O2的方向向量为,而知从而可用点法式写出平面π1的方程。

设L2与公垂线O1O2确定的平面为π2,由π2经过点M2〔x1,y1,z1〕设π2的法矢量为,同理可得,从而可用点法式写出平面π2的方程,因此

公垂线O1O2的方程：π1方程,

π2方程.

O1O2与L1的垂足O1：L1方程,

π2方程.

O1O2与L2的垂足O2：L2方程,

π1方程

5.直线方程的点向式与一般式的相互转化.

点向式转化为一般式为

一般式〔1〕消元法：例如消去x,得y,z的一次方程,解出.消去y,得x,z的一次方程。解得,于是直线的点向式为〔2〕由直线是两个平面的交线,知三元一次方程组有无数组解。例如令z=0,解得x=x0,y=y0,且直线既在π1内又在π2内,知直线既垂直于,又垂直于,所以直线的方向向量为,从而直线可用点向式表示若从直线的一般式求直线的方向向量,则6．判断两直线的位置关系设〔i〕若在同一平面内且平行〔ii〕若且〔iii〕若为异面直线。7．灵活地利用所给条件,用平面的一般式求平面方程〔i〕若平面经过原点,则平面方程为Ax+By+Cz=0,再给两个条件,即可求出平面方程〔ii〕若平面平行z轴,则平面方程为Ax+By+D=0,再给两个条件,即可求出平面方程〔iii〕若平面经过z轴,则平面方程为Ax+By=0,再给一个条件,即可求出平面方程其它情况类似。二、考题类型、解题策略与典型例题类型1.1求直线方程解题策略首先考虑直线方程的点向式与一般式,否则再用其它形式.例求过点〔-1,2,3〕且垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程.解设所求直线的方向向量为,由条件知,,因此,,故所求直线方程为类型1.2求平面方程解题策略平面方程的点法式、一般式、平面束.例已知两条直线方程是,求过L1且平行L2的平面π的方程.解由π经过L1,且点〔1,2,3〕,知π经过点〔1,2,3〕.又π的法矢量,有,故所求平面方程为〔x-1〕-3<y-2>+<z-3>=0,即x-3y+z+2=0。例求过直线且与已知平面4x-2y+3z+5=0垂直的平面方程.解设过直线L的平面束方程为,其法矢量已知平面的法矢量由题意知,,即,解得。代入方程得所求平面方程为注：对于平面束方程当时,可令,则有以上式子在计算时常带来方便.但上式漏了的情形,即平面无法表示,计算时应注意.例4.2.4求经过x轴且垂直于平面5x+4y-2z+3=0的平面方程。解由所求平面经过x轴,故可设平面的方程为又平面垂直已知平面,知平面的法矢量,得4B-2C=0,解得C=2B,代入平面方程得By+2Bz=0,即y+2z=0.例试求通过直线的交角为的平面方程.解设过直线L的平面束方程为.即,其法矢量平面的法矢量由题意知两边平方得,即有所对应平面分别为,注意：如果设平面束方程为,则会遗漏一平面.三、综合杂题例证明直线是异面直线,并求它们之间的最短距离与公垂线方程.解在L1、L2上各取一点M1〔5,1,2〕,M2〔0,0,8〕,由于,知L1、L2是异面直线,且.则过直线L1与公垂线的平面π1的法矢量且经过点〔5,1,2〕,故π1的方程为.过直线L2与公垂线的平面π2的法矢量且过点〔0,0,8〕,故π2的方程为故公垂线方程为例4.2.7将L：化为点向式与参数式.解法一设直线的方向向量为,由得,知.再求直线L上一点,为此令z=0,得解得故直线方程的点向式为.写成参数式为解法二〔1〕—〔2〕×2得-5y-z+14=0,得〔1〕×2+<1>得5x-7z-2=0,得故直线的点向式方程为,参数方程与解法一相同。例4.2.8设有直线L：与平面：4x-2y+Z-2=0,判断直线L与平面的位置关系.解,设直线L的方向向量为,知,而平面的法矢量,由于知‖,故直线L与平面垂直.例4.2.9设有直线L1:与,求L1与L2的夹角,解,故两直线的夹角为.例求点P1〔1,-4,5〕到直线的距离.解法一直线L的方向向量是直线上一点,,解法二过P1点且与L垂直的平面方程是2〔x-1〕-<y+4>-<z-5>=0与直线方程,联立,得,解得x=0,y=-1,z=0,由两点间距离公式,得第三节曲线与曲面一、内容精要〔一〕定理与公式曲线与曲面曲线与曲面曲面方程一般式：参数式：曲线方程参数式：一般式：特殊的曲面柱面：准线为母线平行z轴锥面：过空间一定点Q的动直线,沿曲线P〔不过原点Q〕移动所生成曲面旋转曲面：绕z轴旋转所得曲面二次曲面椭球面：〔图1〕椭圆抛物面：〔图2〕单叶双曲面：〔图3〕双叶双曲面：〔图4〕二次锥面：〔图5〕双曲抛物面：〔图6〕图1图2图3图4图5图61．用定义求曲面方程的方法〔1〕设M〔x,y,z〕是曲面上任意一点,根据题意,列出点M所满足的条件,得到含有x,y,z的等式,化简得F〔x,y,z〕=0,〔2〕说明坐标满足方程F〔x,y,z〕=0的点一定在曲面上,则曲面的方程为F〔x,y,z〕=0.一般来说,都是可逆的,故一般情况下,只需〔1〕就可以了,2．曲线：绕0z轴旋转所成旋转曲面的方程是图4-10证设M〔x,y,z〕是曲面上任意一点,面M是曲线图4-10某点M,〔x1,y1,z1,〕绕Oz轴旋转过程中所取到,因此有z=z1,故旋转曲面方程为.这个结果可作为一个规律记住,即坐标平面上的曲线绕该坐标平面上某个坐标轴旋转所生成的曲面方程是：把平面曲线方程中绕相应轴的变量不变,另外一个变量化成正负根号下方程中另外一个变量与该平面垂直轴对应的变量的平方和即为所求的旋转曲面方程。3.一般参数方程绕Oz轴旋转所成旋转曲面的方程是图4-11证设是曲面上任意一点,而是由曲线上某点〔对应的参数为t1〕绕Oz轴旋转所得到。因此有图4-11,故所求旋转曲面方程为特别地,若绕Oz轴旋转时,且参数方程表示为则事实上,由前面的证明过程可知,故图4-12这个结果可作为一个规律记住,一个用参数方程表示的曲线绕某个坐标轴旋转所生成曲面的方程是：若把该曲线表示成该坐标轴对应的变量作为参数的参数方程,则旋转曲面的方程是由参数方程两个等式两边平方再相加得到等图4-124.求曲线在坐标平面Oxy上的投影曲线方法由方程组消去z得到不含z的一个方程而=0是一个母线平行于z轴的柱面,且曲线也在该柱面上.在Oxy平面上的投影曲线与柱面与z=0的交线是同一条曲线,故曲线在Oxy平面上的投影的方程为,在其它坐标平面上投影曲线的求法完全类似二、考题类型、解题策略与典型例题类型1.1求曲线与曲面方程解题对策一般用定义求曲线与曲面方程例求以Oxy平面上的曲线为准线,母线的柱面方程。图4-13解设是曲线上任意一点,过点的母线交准线于点图4-13得曲面方程为图4-14图4-14解设是锥面上的任意一点,且过的母线与准线交于点由于共线,所以对应分量成比例,即,故所求锥面方程为.例4.3.3求与Oxy平面成角,且过点〔1,0,0〕的一切直线所成的轨迹方程.解设所求轨迹上任意一点为P〔x,y,z〕,点A〔1,0,0〕,则直线AP的方向矢量.由于直线AP与Oxy平面成角。取Oxy平面法矢量为,故的夹角为有为旋转锥面.例求直线在平面上的投影直线L0,并求L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程解法一设经过L且垂直于的平面方程为经过L,则经过L上的点〔1,0,1〕,设的法矢量为由题意知故所以的方程为,所以投影直线L0方程为,于是L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为即解法二由直线L的方程可写为所以过L的平面方程可设为,由于它与平面垂直,得得,故方程为,于是L0的方程为〔下同解法一〕多元函数的微分学微积分二大纲要求了解二元函数的极限与连续性的概念,以与有界闭区域上连续函数的性质,全微分存在的必要条件和充分条件,全微分形式的不变性,隐函数存在定理,空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线的概念〔仅适合数学一〕,二元函数的二阶泰勒公式,二元函数极值存在的充分条件。会求全微分,求空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线的方程〔仅适合数学一〕,求二元函数的极值,用拉格朗日数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决些简单的应用问题.理解多元函数的概念,二元函数的几何意义,多元函数偏导数和全微分的概念,方向导数与梯度的概念〔仅适合数学一〕,多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法,多元隐函数的偏导数,多元函数极值存在的必要条件,一、内容精要〔一〕基本概念定义5.1设在内有定义,且存在,则该极限值称为在点处对x的偏导数,记作或同理可给出的定义。多元函数的偏导数,本质就是求导数,例如,求时,视自变量为常数,本质上看成u是x的函数,这时一元函数的求导公式,四则运算,复合函数的求导都可以使用,但形式上要比求一元函数的导数复杂。定义5.2若二元函数在点处的全增量可表示为其中A,B是与无关,而仅与x,y有关,则称在处可微,线性主部称为在处的全微分,记作,即设,不论u,v是自变量,还是中间变量,若可微,则换句话说,若可微,且则上式在求复杂多元函数的偏导数与全微时显得非常重要。当然多元函数的偏导数与多元函数的全微分也有四则运算和一元情形完全类似,在这里就不再叙述了。定义5.3设函数在点的某区域内有定义,为从点出发的射线,为上且含于内任一点,表示与两点间的距离,若极限存在,则称此极限为函数u在点沿方向的方向导数,记作,由定义知方向导数是一个数量。容易证明,若存在,则u在点沿x轴正方向的方向导数是,u在点沿x轴负各时的方向导数为定义5.4设偏导数均存在,称为函数在点处的梯度,记作gradu,即由定义知gradu是一个矢量。定义5.5设函数在点的某区域内有定义,,当时,都有〔或〕,则称为极大〔或极小〕值。点称为f的极大〔或极小〕值点,极大值、极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。极值点一定包含在多元函数的驻点或偏导数不存在点之中〔若,称为驻点或稳定点〕。多元函数在一点连续,偏导数存在,可微,方向导数存在,偏导函数在该点连续,这些概念有下面的关系,我们以在点处为例。在点连续可微存在在点连续可微存在连续注：这里""表求推出,""表示推不出,能推出的,都是定理,推不出的,我们在下面都举了反例。〔二〕重要定理与公式定理5.1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等。推论5.1.1若存在且不相等,则不存在。定理5.2〔复合多元函数的求偏导定理〕,若在处可微,在处的偏导数均存在,则复合函数在处的偏导数均存在且可用下面结构图表示：zzuvxyzuvxywt即就是uzuvxywt例如知例如zzuvxw上式称为全导数。求复合多元函数偏导的思想一定要真正搞懂,否则在求复杂形式下的多元复合函数的偏导就容易出错。定理5.3若函数的二阶偏导数都在点处连续,则定理5.4若在点处可微,则在点处连续,反之不成立。定理5.5〔可微的充分条件〕若函数的偏导数在点处连续,则函数在点处可微,反之不成立。定理5.6〔可微的必要条件〕若在点处可微,则在点处的两个偏导数均存在,反之不成立。定理5.7若函数在点处可微,则u在处任意方向的方向导数都存在且〔其中的单位矢量〕反之不成立。1.方向导数与梯度的关系其中是矢量与的夹角。由此得出下面结论。〔1〕u在点处沿方向的方向导数,等于梯度在方向的投影,即〔2〕当,即的方向梯度方向一致时,即函数在处沿梯度方向的方向导数最大,且这就是,当u在点可微时,u在点的梯度方向是u值增长得最快的方向,当,即的方向与梯度方向相反时,即在点处沿方向时的方向导数最小,最小值当时,即在点沿着与梯度垂直的方向的方向导数为零。定理5.8〔极值的充分条件〕设函数在点的某区域存在连续的二阶偏导数。如果,设,则〔1〕当时,一定为极值,并且当A〔或C〕>0时,为极小值；当A〔或C〕<0时,为极大值。〔2〕当时,不是极值。〔3〕当时,还不能断点是否为极值,需进一步研究。对于偏导数不存在的点,只有根据定义判断是否为极值点。2．求带有条件限制的最大〔小〕值问题,统称为条件极值,可用拉格朗日乘数法去解决。即求在约束条件限制下的最大值或最小值方法是〔1〕作拉格朗日函数其中称为拉格朗日乘数。〔2〕若是函数的最大〔小〕值点,则一定存在m个常数,使是函数L的稳定点,因此函数f的最大〔小〕值点一定包含在拉格朗日函数L的稳定点前几个坐标所构成的点之中,在具体应用时,往往可借助于物理意义或实际经验判断所得点是否为所求的最大〔小〕值点。定理5.9有界闭区域上的连续函数一定能取到最大值与最小值,且最大值与最小值点一定包含在区域内部的稳定点或内部偏导不存在点或边界函数值最大与最小点之中.把这些怀疑点求出来,其中函数值的最大值就是区域上的最大值、最小值就是区域上的最小值,而边界上的最大与最小值点可用拉格朗日乘数法去求。泰勒定理5.10若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导,则对内任一点,存在,使上式称为二元函数f在点处的n阶泰勒公式。注：,推论5.10.1设在区域G上具有连续的一阶偏导数,〔1〕若则在G上仅是y的函数；〔2〕若则在G上仅是x的函数；〔3〕若则在G是常值函数。1．设在点处具有连续的一阶偏导数且不同时为零,则曲其中或是曲面在点处的法矢量。曲面在点处的法线方程为设在处具有连续的一阶偏导数,则曲面即在曲面上点的切平面方程为在处的法线方程为2．设在处连续,且不同时为零。则曲线在对应曲线上点处的切线方程为其中或为曲线在点切线的方向向量,而曲线在点处的法平面方程为设在处具有连续的一阶偏导,且,则曲线在曲线上点处的切线方程为事实上,曲线的切线既在曲面在的切平面上又在曲面在的切平面上,故该切线为两切平面的交线,故切线方程为两切平面方程的联立。由切线的方向向量为,而曲线在点的法平面的法矢量为,用点法式可写出曲线在点的法平面方程。二、考题类型、解题策略与典型例题类型1.1求多元函数的极限解题策略1．利用初等多元函数的连续性,即若是初等函数,在的定义域中,则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式.2．利用多元函数极限的四则运算。3．转化为一元函数的极限,利用一元函数的极限来计算.4．对于证明或求时,感觉极限可能时零,而直接又不容易证明或计算,这时可用夹逼定理,即而由夹逼定理知从而例5.1求分析转化为一元函数的极限.解由〔k常数〕,原式=0.例5.2求分析用夹逼定理.解由于而由夹逼定理知原式=0.例5.3分析利用〔常数〕,则.解原式=例5.4求分析由夹逼定理推出从而.解由于而而根据夹逼定理知故原式=类型1.2判断多元函数的极限不存在解题策略1．利用初等1．选取两条特殊的路径,而函数值的极限存在,但不相等,则不存在。2.存在,但不相等例5.5求分析存在,但不相等.解由于知不存在。类型1.3讨论多元函数的连续性解题策略用多元函数的连续定义例5.6讨论的连续性。解〔i〕当时,由于是初等多元函数,在点有意义,知在点连续。〔ii〕当时,由于知在点〔0,0〕处不连续,因此在时连续。例5.7讨论的连续性。解〔i〕当时,由于是初等多元函数,在点有意义,知在点连续。〔ii〕当时,由于且,根据夹逼定理知。知在点〔0,0〕处连续,故在全平面上连续。类型1.4求多元函数在一点的偏导数解题策略求有三种方法：〔1〕按定义；〔2〕求导函数,然后把代入；〔3〕求偏导函数,然后把代入。求同样也有三种方法：〔1〕按定义；〔2〕求导函数,然后把；〔3〕求偏导函数,然后把代入。例5.8证明函数在点〔0,0〕处的两个偏导数存在,但在点〔0,0〕处不连续。分析研究多元分片函数在孤立点的偏导数用偏导数的定义.解由同理可求即在点〔0,0〕处的两个偏导数存在。由当k取不同实数值时,极限不相同,所以在点〔0,0〕处极限不存在,当然也不连续。例5.9设函数求解由于从而同理可求,因此从这里可以看出注：此例说明一般情况下类型1.5判断多元函数在一点的可微性。解题策略1.偏导函数连续必可微.2.用可微定义例5.10讨论在原点的可微性。分析研究多元分片函数在孤立点的可微性,用可微的定义.解由由的对称性知要验证函数在原点是否可微,只需看是否为零,由于由例1知此极限不存在,所以在点〔0,0〕处不可微。此例说明偏导数存在,不一定可微。例5.11证明函数于点〔0,0〕的领域中有偏导函数。这些偏导数函数于点〔0,0〕处是不连续的且在此点的任何领域中是无界的；然而此函数于点〔0,0〕处可微。解由于当时,令,于是由于当时,无界,故上述在点〔0,0〕处极限不存在,当然在〔0,0〕处不连续,且在此点的任何领域中是无界的.同理在点〔0,0〕处不连续,且在此点的任何领域中是无界的。其中,再考虑在点〔0,0〕的可微性。其中于是即,知在点〔0,0〕处可微。例5.12证明函数在点〔0,0〕的沿任意方向的导数都存在。但在点〔0,0〕的全微分不存在。分析偏导函数在〔0,0〕点不连续,只能用可微的定义解设由同理而极限不存在当然不为0,因此在点〔0,0〕处不可微。类型1.6求具体多元函数的偏导数解题策略本质上就是求一元函数的导数例5.13设,求解由x,y地位对称,知而于是类型1.7求多元复合函数的偏导数解题策略用多元复合函数求偏导公式。关键是搞清复合结构例5.14设,其中函数二阶可导,具有连续二阶偏导,求解例5.15设,且f具有二阶连续偏导数,求解注意：这里例5.16设函数在点〔1,1〕处可微,且,求分析搞清复合结构.解由于是例5.17设且f具有连续的一阶偏导数。〔1〕如果则u仅是和的函数；〔2〕如果则u仅是r的函数。分析只要证,即u仅是和的函数证〔1〕故u仅是和的函数。分析只要证即u仅是r的函数.证〔2〕由得代入上式有故u仅是r的函数。类型1.8求多元隐函数的偏导数解题策略1.用多元隐函数求偏导公式.2.用多元隐函数求偏导的方法.3.用全微分一阶不变性.例5.18设,其中为可微函数,求解由题意知方程确定方程两边对y求偏导,得解得例5.19设是由方程所确定的二元函数,求解将方程两端取微分得整理后得所以例5.20由方程确定求解法一由条件知方程两边对x求偏导得〔1〕把代入〔1〕得即方程两边对y求偏导得〔2〕把代入〔2〕得,即故解法二方程两边取微分得将代入上式得即例5.21设,其中F具有连续偏导数,且求证分析用全微分一阶不变性.解由题意知方程确定方程两边取微分,得有根据微分运算,有合并同类项两边同除以得于是例5.22设其中具有连续的偏导数且,求解法一由题意知,,因此〔1〕 〔2〕方程两边对x求导,有解得〔3〕把〔2〕、〔3〕代入〔1〕,有分析如果我们利用多元函数的一阶微分形式不变性与四则运算则更方便,只要求出du=式子·dx,这个式子就是解法二〔4〕由题意知〔5〕而或得即解得〔6〕把〔5〕、〔6〕代入〔4〕,有因此类型1.9求多元隐函数组的偏导数解题策略1.用多元隐函数求偏导的方法.2.用全微分一阶不变性.例5.23设是由方程和所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求分析用多元隐函数求偏导数的方法.解分别在和的两端对x求导,得整理后得由克拉默法则解得例5.24设求分析用全微分一阶不变性.解由题意知方程组确定隐函数方程组两边取微分,有把看成未知的,解得有同理,我们还可以求出,从而得到类型1.10求多元函数的方向导数与梯度解题策略.用方向导数的公式.2.用方向导数的定义.3用梯度定义例5.25求函数在点沿与Ox轴的正向组成解的方向的方向导数。解,于是例5.26求函数在点处沿哪个方向的方向导数最大、最小、为零,并求出相应的方向导数值。解于是从而所以u在点处沿方向的方向导数最大,最大值为,u在点沿方向的方向导数最小,最小值为,u在点处沿方向的方向导数为零。例5.27设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数。解由于曲面在点的法向量为或为于是在处的法向量为,单位法向量为,由在第一卦限且在点的法方向指向外侧,即法方向与Oz轴正向夹角为锐角,故取,而于是例5.28求在点处沿在点梯度方向的方向导数。在什么情况下,此方向导数为零。解由于是要,只要,即时,方向导数为零。类型1.11求多元函数的最值解题策略.建立二元函数,指出定义域,用最大值最小值定理.2.用取到唯一的极值.例5.29求二元函数在由直线,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值,最大值与最小值。解由方程组得与点〔4,0〕,〔2,1〕。点〔4,0〕与线段在D的边界上,只有点〔2,1〕在D内部,可能是极值点。在点〔2,1〕处,且A<0,因此点〔2,1〕是的极大值点,极大值在D的边界与上,在边界上,,代入中得由得在边界上对应处值分别为：因此知在边界上最大值为0,最小值为,将边界上最大值和最小值与驻点处的值比较得,在闭区域D上的最大值为最小值为例5.30求函数在区域上的最大值与最小值。解由于是有界闭区域,在该区域上连续,因此一定能取到最大值与最小值。〔1〕解方程组得由于即不在区域D内,舍去。〔2〕函数在区域内部无偏导数不存在的点。〔3〕再求函数在边界上的最大值与最小值点,即求在满足约束条件的条件极值点。此时,用格拉朗日乘数法,作拉格朗日函数解方程组由〔1〕,〔2〕解得把它们代入〔3〕,有,解得或代入〔1〕,〔2〕得或所有三类最值怀疑点仅有两个,由于,所以最小值,最大值类型1.12求多元函数的条件极值解题策略用拉格朗日乘数法.例5.31求内接于椭球面的体积最大的长方体。解设该内接长方体为v,是长方体的一个顶点,且位于椭球面上,由于椭球面关于三个坐标平面对称,所以且满足条件。因此,需要求出在约束条件下的极值。现用拉格朗日乘数法解,设求出L的所有偏导数,并令它们都等于0,有〔1〕,〔2〕,〔3〕分别乘以,有得于是或〔时,,不合题意,舍去〕,把代入〔4〕,有解得,从而由题意知,内接于椭球面的长方体的体积没有最小值,而存在最大值,因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体,体积为注：是辅助参数,如果不用求出,就能求出可疑极值点,当然最好,否则就要求出,才能求出。例5.32证明不等式其中是任意的非负实数。证考查目标函数在约束条件下的最大值,其中M是正常数。作拉格朗日函数解方程组得由于,显然无最小值,函数在点取到最大值于是即取有类型1.12曲面的切平面与曲线的切线〔仅适合数学一〕解题策略用曲面的切平面与曲线的切线的公式例5.33求曲面的平行于平面的各切平面,解,由题意知,解得代入方程,得,切点为,,切平面方程为与即与例5.34设直线在平面上,而平面与曲面：相切于点〔1,-2,5〕,求常数a,b之值。解法一在点〔1,-2,5〕处曲面的法矢量,故切平面即平面的方程为即,再由,可得代入平面方程,得有,因而有,由此得解法二过l的平面方程为,即曲面在点〔1,-2,5〕处的法矢量,故由题设知解得,又点〔1,-2,5〕在平面上,故,将代入,解得.例5.35过直线作曲面的切平面,求此切平面方程。解因所求的切平面过平面与的交线,故可设切平面方程是,即〔1〕设所求平面的切点为,则点即在曲面又在切平面上,故〔2〕〔3〕切平面的法矢量,故〔4〕将〔2〕,〔3〕,〔4〕联立,求得代入〔1〕式,得切平面方程为与例5.36证明：锥面的切平面经过原点。证于是,锥面在任一点的切平面方程为把〔0,0,0〕代入切平面方程左边,有因此,锥面的任一切平面过其顶点。例5.37证明：曲面的切平面与坐标面形成体积为一定值的四面体。证在曲面上任一点,则曲面在该点的切平面方程为它与各坐标轴的交点为,注意到各坐标轴的垂直关系,即知以A、B、C、O诸点为顶点的四面体的体积为知体积为一定值例5.38设曲面：,平面,〔1〕在曲面S上求平行于的切平面方程；〔2〕在曲面S上与平面之间的最短距离。解〔1〕令为曲面S的方程,则曲面上一点的切平面法矢量为,由于切平面与平面平行,应有,有代入曲面方程,有解得,从而切点为,其相应的切平面方程为即即〔2〕由于所给曲面S为一个椭球面,从几何上看,这个椭球面S总是夹在平行于已知平面的两个切平面之间,由已知平面与椭球面不相交,所以切点中距离平面最小距离就是曲面S与平面之间的最短距离。因此M1,M2到平面的距离：即是曲面S到平面的最短距离。例5.39在椭球面上怎样的点,椭球面的法线与坐标轴成等角。解,按题意知,设代入椭球面方程有,即于是所求的点为其中例5.40求曲线在对应点处的切线与法平面方程。解于是切线方程为法平面方程为即例5.41求曲线在点处的切线方程与法平面方程。解故切线方程为即而切线的方向向量故法平面方程为即注：从解题过程可看出平面在平面上一点的切平面方程就是该平面.三、综合杂题例5.42设二元函数F的两个偏导数与连续不同时为零,又设另一个二元函数满足方程,u具有连续的二阶偏导,证明.分析由题意要证成立,由条件,不同时为零,因而启发我们对方程两边分别对x,y求偏导,然后从中找出相应的关系式。证方程两边分别对x,y求偏导得这是关于和的齐次代数方程组,同于和不同时为零,故,又,故例5.43设,证明：对任何定数〔称为n次齐次函数〕的充要条件是：当f可微时,证必要性.若,方程两边同时对t求导〔这时把x,y,z看成常数〕,则有.令t=1,有充分性任意固定区域中一点考查函数当t>0时,F<t>可微,且由条件,得所以,从而时,为常数。令,有于是有由的任意性知例5.44设变换可把方程简化为,求常数a.分析把看成复合函数利用多元复合偏导数公式可直接把原来的二阶偏导数用新的二阶编导数表示.解把看成复合函数于是,有把上述结果代入原方程,经整理后得由题意知,a应满足由此解得多元函数积分学微积分二大纲要求了解重积分的性质,二重积分的中值定理。会用重积分求一些几何量与物理量〔平面图形的面积、体积与质量等〕.理解二重积分、三重积分的概念,两类曲线积分的概念.掌握二重积分的计算方法〔直角坐标、极坐标〕。第一节二重积分一、内容精要〔一〕重要定理与公式.1.在直角坐标系中计算定义6.1若任意一条垂直x轴的直线至多与区域D的边界交于两点〔垂直x的边界除处〕,则称D为x一型区域,且x一型区域D一定可表示为平面点集:即曲线〔下曲线〕,〔上曲线〕与直线所围成的区域,如图所求〔特殊情况下,直线段可能为一点即〕,此时图9-1图9-2定义6.2若任意一条垂直y轴的直线至多与区域的边界交于两点〔垂直于y轴的边界除处〕,则称D为y一型区域,且y型区域一定可表示为平面点集：即由线〔左曲线〕,〔右曲线〕与直线所围成,如图所求〔特殊情况下,直线可能为一点〕,此时许多常见的区域都可分割成有限个无公共内点的x一型区域或y型区域,利用二重积分的可加性知,即,且或者为x一型区域或者为y型区域,则2.在极坐标系下的计算设则当积分区域是圆域或圆域一部分时,可用极坐标变换,若被积函数中含有,更要用极坐标变换。定义6.3若任意射线与区域D的边界至多交于两点〔边界是射线段除外〕,则称D为一型区域,且一型区域D可表示为平面点集,即由曲线〔下曲线〕,〔上曲线〕,与射线,围成的区域如图6-3所示。〔特殊情况下,可能为一点〕。此时图6-3 图6-4 图6-5〔1〕若极点O在区域外部,此时区域D可表求为,如图6-3所示,则有〔2〕若极点O在区域D边界上,且边界曲线向外凸,<此时区域D可表求为,其中为边界曲线的定义域,如图6-4所示,则有〔3〕若极点O在区域D的内部,此时区域D可表示为如图6-5所示,则有注：在区域的变化区间内,过极点作射线,此射线穿过区域D,穿入点所在的曲线为下限〔下曲线〕,穿出点所在的曲线为上限〔上曲线〕。有时也可以把D表示r一型区域：,即由曲线与圆所围成的区域。在r的变化区间,以O为心,以r为半径作圆,曲线按逆时针方向穿过区域D〔图6-6〕,穿入点的极角为下限〔称为小角曲线〕,穿出点的极角为上限〔称为大角曲线〕,有特别地,若区域D为：,其中均为常数,则图6-6 图6-7〔1〕若D是由曲线所围成的区域〔图6-7〕。经极坐标变换,方程为：,属于1〔3〕的情形,有〔2〕若D是曲线所围成的区域〔图6-8〕。经极坐标变换,方程为：,属于1〔2〕情形,由,知图6-8 图6-9〔3〕若D是曲线所围成的区域〔图6-9〕。经极坐标变换,曲线方程为：,属于1〔2〕情形,由,知3.对称区域上二重积分的性质设D为平面区域,若〔i〕若,且关于x轴对称,则〔ii〕若,且关于y轴对称,则〔ⅲ〕若,且关于O点对称,则二、考题类型、解题策略与典型例题类型1.1计算二重积分解题策略画出积分区域,选择x-区域、y-区域或用极坐标变换例6.1.1计算二重积分其中D是由x轴、y轴与曲线所围成的区域；分析画出积分区域,选择x-区域计算方便.解区域D如图中阴影部分所示,由,得因此,作换元,令,有,则图6-10 图6-11例6.1.2设D是以点和为顶点的三角形区域,求分析画出积分区域,用区域的可加性,选择x-区域计算方便.解如图6-11,直线OA,OB和AB的方程分别为：和-1-1-111xyODy=x图6-12求二重积分的值,其中D是由直线与,围成的平面区域。分析画出积分区域,用线性运算法则,选择y-区域计算方便.解积分区域D如图6-12。其中于是例6.1.4计算二重积分,其中D是由双曲线与直线所围成的平面区域。分析画出积分区域,选择y-区域计算方便.解注：一般情况下,应先画图,再确定积分限,如果不画图也很清楚,此时也可以不画图。例6.1.5设,求解法一,所以