2023-2024学年高二上数学练习：空间向量及其运算的坐标表示（附答案解析）

2023-2024学年高二上数学：1.3空间向量及其运算的坐标表示

一.选择题(共5小题)

1.在空间直角坐标系中，8(-1,2,3)关于X轴的对称点为点片，若点C(l,1,-2)

关于OXZ平面的对称点为点。，则ECl=()

A.√2B.√6C.√14D.√30

2.两平面的法向量分别为益=(0,1,O),n=(0,1,1),则两平面的夹角为()

A.90°B.60oC.45oD.135°

3.已知点E在正方体ABCZ)-AIBICIol的侧面AAIBIB内(含边界)，尸是AAi的中点，若

DiElCF,贝IJtan/BCE的最小值为()

Vs--ʌ/ɜ

A.—B.Vr2—1C.Vγ3—1D.—

55

4.已知；％是空间直角坐标系0-XyZ中X轴、y轴、Z轴正方向上的单位向量,且&=3k,

AB=-7+7-⅛,则点B的坐标为()

A.(1,-1,1)B.(-1,1,1)C.(1,-1,2)D.(-1,1,2)

5.已知Z=(1-Z,1,O),Z=(2,f,力，则值-群的最小值是)

A.1B.√2C.√3D.√5

二.填空题(共4小题)

6.设空间向量α=(-1,2,m),b=(2,n,-4),若。〃6,则|a—b∣=

7.已知Z=(4,3,-√2),b=(0,-2,√2),则向一&=

8.已知空间向量Z=(2,-1,1),b=(1,L2)分别是OA,OB的方向向量，贝IJ值+

b∖=；向量；与b的夹角为.

9.己知α=(-2,—1,3),b=(1,-3,2),则COSVα,b>=

Ξ.解答题(共2小题)

10.已知点A(1,-2,0)和向量之=(-3,4,12).

(1)若应=会求点8的坐标；

(2)若X轴上的一点C满足VZAO=^,求AC的长.

11.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求AABC的面积；

→→→→

(2)若向量COIl48,且ICDl=√ΣI,求向量CO的坐标.

2023-2024学年高二上数学：1.3空间向量及其运算的坐标表示

参考答案与试题解析

选择题(共5小题)

1.在空间直角坐标系中，B(-1,2,3)关于X轴的对称点为点F,若点C(l,1,-2)

关于。XZ平面的对称点为点C,则EC,1=()

A.∖[2B.√6C.√14D.√30

【解答】解：空间直角坐标系中，B(-1,2,3)关于X轴的对称点为点BY-1,-2,

-3),

点C(l,1,-2)关于OXZ平面的对称点为点C(1,-1,-2),

所以∣B'C∣=√(1+l)2+(-l+2)2+(-2+3)2=√6.

故选：B.

2.两平面的法向量分别为薪=(0,1,O),n=(0,1,1),则两平面的夹角为()

A.90°B.60°C.45oD.135°

【解答】解：两平面的法向量分别为薪=(0,1,O),n=(0,1,1),

所以CoS<m,n>=-¥&.=—ɪʃ-=率，

∣n∣∣m∣1×√22

则两平面的夹角为45°.

故选：C.

3.已知点E在正方体ABCC-4BICIDl的侧面AAIBlB内(含边界)，F是AAl的中点，若

DiElCF,贝IJtan/BCE的最小值为()

√5--V3

A.—B.Vr2—1C.ʌγ/ɜ—1D.—

55

【解答】解：在RtZSBEC中，tanNBCE=皆，所以当EB取最小值时，tan∕8CE最小.

设AAl=2,以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(2,2,O),F(0,0,1),D∖(0,2,2),设E(x,O,z).

所以C⅛=(一2,-2,1),D；E=(X,-2,2—2),由条件有鼠-。；£'=一2刀+2+2=

0,即2χ-z-2=0.

取AB中点M,则E点的轨迹为线段BiM.

当时，BE最小，此时BE=备所以tan∕BCE=,=辱

故选：A.

4.己知；1是空间直角坐标系OTyZ中X轴、y轴、Z轴正方向上的单位向量,且&=3fc,

A⅛=-7÷7-fc,则点B的坐标为（）

A.(1,-1,1)B.(-1,1,1)C.(1,-1,2)D.(-1,1,2)

【解答】解：由题意可知，OA=（0,0,3),AB=(-1，L-1),

所以√⅛=0⅛-&,

设3(x,y,z),贝∣J(-1,1,-I)=(X,y,z-3),

解得X=-1,y=l，z=2,

故8(-L1,2).

故选：D.

5.已知N=(1-r,LO),b=(2,t,r),则|b—a∣的最小值是()

A.1B.√2C.√3D.√5

【解答】解：Va=(1-6LO),b=(2,t,t),

T→

∕∙b—a=(1+6LLt),

：.\b-a∖=√(1+¢)2+(t-l)2÷t2

=y∕3t2+2,

，当f=0时，Ib-a取最小值¢.

故选：B.

二,填空题(共4小题)

6.设空间向量i=(-1,2,W,b=(2,/t,-4),若之〃£则向一Zl=9.

【解答】解：因为空间向量或=(-1,2,∕n),b=(2,/?,-4),⅛α√h,

所以b=λa,

即(2,m-4)=入(-1,2,m),

2=一λ

可得Ti=22，解得∕n=2,n=-4,

—4=Am

所以Q=(-1,2,2),b—(2,-4,-4),

贝!∣α—b=(-3,6,6),

所以而-b∖=J(-3)2+62+62=9.

故答案为：9.

7.已知日=(4,3,-√2),h=(0,-2,√2),则一-Il=7.

【解答】解：Va=(4,3,-√2),h=(0,-2,√2),

：.a-b=(4,5,-2√2),

∙'∙∣α—h∣=Λ∕16+25+8=7.

故答案为：7.

8.已知空间向量α=(2,-1,1),b=(l,1,2)分别是OA,OB的方向向量，则∣α+b∣=

3V2_；向量J与♦的夹角为60°.

【解答】解：根据题意，空间向量Z=(2,-1,1),b=(l,1,2),

则或+；=(3,0,3),则值+&=V9+0+9=3√Σ,

a∙b=2×1+(-1)×1+1×2=3,∣α∣=√4+1+1=√6,∖b∖=√4+1+1=√6,

TTq1

贝IJcos<α,b>=-r=~~7==ɔ,

√6×√62

又由0°≤<a,fe>≤180o,则<次6>=60°,

故答案为：3√2,60°.

TTTTl

9.已知Q=(―2,—1/3),b—(1/-3/2),则COSVQ,h,>=".

【解答】解：・・・一=(-2,一1,3),b=(1,一3,2),

・J、hE71

EHbl^∙√142

故答案为：ɪ.

2

三.解答题(共2小题)

10.已知点A(1,-2,0)和向量2=(—3,4,12).

(1)若AB=Z求点3的坐标；

(2)若X轴上的一点C满足V；,ΛC>=J,求AC的长.

【解答】解：(1)：点A(1,-2,0)和向量Z=(-3,4,12),AB=a,

：.0B=OA+a=(1,-2,0)+(-3,4,12)=(-2,2,12).

,B点坐标为(-2,2,12).

(2)设C(x,0,0),则A=(χ-1,2,0),

轴上的一点C满足VZAO=1,

TTO

.,.AC-a=-3(χ-l)+8=0,解得X-I=*

.∙.AC的长为：Jg)2+22=苧.

II.己知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1