数学建模报童问题

计算机模拟实验目的：1.学习计算机模拟的根本过程与方法；2.会做简单的计算机模拟。实验内容：一、了解什么是模拟模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。模拟的根本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息模拟的方法：1、物理模拟：对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。2、数学模拟在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比拟容易。在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。二、报童问题某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售.根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为销售量200210220230240250百分率0.100.200.400.150.100.05当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?[1]系统的假设：〔1〕模拟时间充分大；〔2〕报童购置报纸量介于销售量最小值与最大值之间；〔3〕不考虑有重大事件发生时卖报的顶峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。[2]问题分析报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期〔几个月、一年〕卖报的日平均收入。我们可以应用计算机模拟的方法在模拟时间充分大的条件下〔例如10000天〕，模拟每天的销售量，因而确定每天应买进多少报纸才能使平均总收入到达最大值。设该问题的销售量为离散型随机变量，有分布列。所谓对离散型随机变量的模拟,其实质就是通过计算机上的模拟试验来取得在真实试验下的样本值,由分布列知只取数值,中的某一个.对离散型随机变量的一般模拟方法如下:(1)在直线上将[0,1]区间划分成假设干个子区间,其分点记为,,分点的坐标如下列图所示：001〔2〕在计算机上取伪随机数；〔3〕判定在轴上所落的位置，假设，那么可以认为的一次真实试验样本值取。[3]符号假设BUYMIN：每天的最小购置量BUYMAX：每天的最大购置量SIMUDAY：模拟时间sell_amount：报童销售量buy_amount：报童购置量percentage：销售百分率ave_profit：总平均利润loop_buy：当天购置量loop_day：当天时间[4]模拟框图初始化：初始化：BUYMIN;BUYMAX;SIMUDAY

;percentagebuy_amount=0;ave_profit=0;loop_buy=BUYMIN;sum_profit=0;loop_day=1产生随机数，根据选取sell_amountloop_day++loop_buy<sell_amount?sum_profit+=loop_buy*(0.05-0.03)sum_profit+=sell_amount*(0.05-0.03)+(loop_buy-sell_amount)*(0.02-0.03)buy_amount=[buy_amount,loop_buy];ave_profit=[ave_profit,sum_profit/SIMUDAY];；loop_day>SIMUDAY?loop_buy>BUYMAX?输出max(buy_amount),max(ave_profit);loop_buy++YNNYYNEND[5]计算机程序：在Matlab软件包中编程，共需两个Ｍ－文件:main.m,Getprofit.m,主程序为main.m.%主文件main.m：

BUYMIN=200;

%

每天的最小购置量

BUYMAX=250;

%

每天的最大购置量

SIMUDAY=1.0e+5;

%模拟时间sell_amount=200:10:250;

%销售量

percentage=[0.10.30.70.850.951];

%

百分率

buy_amount=0;

ave_profit=0;

forloop_buy=BUYMIN:BUYMAX

sum_profit=0;

forloop_day=1:SIMUDAY

index=find(percentage>=rand);%产生随机数，用于决定当天的销售量

sum_profit=sum_profit+GetProfit(loop_buy,sell_amount(index(1)));

end

buy_amount=[buy_amount,loop_buy];%循环嵌套

ave_profit=[ave_profit,sum_profit/SIMUDAY];%循环嵌套

end

buy_amount(1)=[];%第一个元素置空

ave_profit(1)=[];

[val,id]=max(ave_profit)

%显示最大平均收入val

buy=buy_amount(id)

%显示在平均收入最大情况下的每天的购置量buy

xlabel='每天的购置量';

ylabel='平均利润';

plot(buy_amount,ave_profit,'*:');%函数GetProfit.m代码：functionre=GetProfit(a,b)

ifa<b%供不应求：报童购置量小于销售量

re=a*(0.05-0.03);

else%供过于求：报童购置量大于销售量

re=b*(0.05-0.03)+(a-b)*(0.02-0.03);

end运行结果：val=4.2801id=21buy=220

该结果说明当报童每天买进报纸数量为220，报童的平均总收入为最大，且最大为4.2801。三、结果分析使用计算机模拟法解决卖报童问题,在计算精度以及收敛速度问题上均能到达一个较好的效果,能有效地解决此问题。计