第三章 静力平衡问题b

13.1平面力系的平衡问题3.2含摩擦的平衡问题3.3平面桁架3.4空间力系的平衡问题第三章静力平衡问题返回主目录2问题1：不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时F1、F2之关系。问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、

B处的约束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2问题3：试求图示双跨梁A端的约束力。ABCF

q2aaa45

3问题1.

不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时

F1、F2之关系。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

4问题2:三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，求A、B处的约束力。解:BC为二力杆;

外力只有力偶M,整体受力如图所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0F

CFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=åAM又由可解得BF5问题2再论:不计拱重，分析三铰拱的约束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。6问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。解：1）研究整体：

2）研究BC，受力如图。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=02一般力系，3个方程，

4个未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCF

q2aaa45

FCFAyFAxMA7讨论：判断下述分析的正误。MA=

M+Fa-2Pa

固定铰的约束力作用于销钉上。多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy8第一种情形ACBlllF问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。llFABDCFBFAydFAx第二种情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FB

d-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAy

l+F

l=0FAy=-F

Fx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F9第二种情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD杆受力M=F

l考察BC杆的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy

MB(F)=0:FCy

lBC+Fl=02=-—F

2

FCy=FBy再考察AB杆，

由

MA(F)=0可求得FBx10由ABD杆的平衡有：

MA(F)=02

FBx=—F¯2

MB(F)=0FAy=

0

MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二种情形lllACBM=F

l更简单方法以整体为研究对象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?11二、静不定问题的概念1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题

--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例1

系统

二根杆

六个平衡方程；约束

三处铰链

六个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少二个，但B、C处约束力未知量也减少了二个。12本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系，系统

三个物体

8个平衡方程；约束

固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1

共8个反力，是静定问题。如例3系统

三个物体

9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统

约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP132）静不定问题或超静定问题

完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n<3n

未完全约束

m=3n

静定问题

>3n

静不定问题静不定的次数为：

k=m-3n14ＣMAB讨论：试判断下列问题的静定性。约束力数m=8

物体数n=3

m<3n

未完全约束

m=6

n=2

m=3n静定结构

m=3

n=1+2+2+4=9

m=3n静定结构60

ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy15摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。

摩擦是二物体接触表面间有相对运动（或运动趋势）时的阻碍作用。接触表面间只有相对滑动趋势时的摩擦，是静滑动摩擦。一、静滑动摩擦3.2含摩擦的平衡问题返回主目录aABWGCFAOM512DdDABFLFTAFLFTFNAFBF

NAF

FNBFF0FT静止滑动FmaxFTC16只要滑动未发生，物体仍静止，则F由平衡方程确定。

摩擦力F也是被动力，它阻碍物体的运动，但不能完全约束物体的运动。

F作用在沿接触面切向且指向与运动趋势相反。APTNFVf是静滑动摩擦系数，FN是法向反力。临界状态下接触面间的最大静（滑动）摩擦力与法向反力的大小成正比，即

Fmax=f

FNF0FT静止滑动FmaxFTC

FT=0,

静止，无运动趋势；F=00<FT<FTC

,静止，有运动趋势；F=FT

FT=FTc,临界状态；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,

运动状态；一般有FT<Fmax17二、含摩擦的平衡问题的分析方法特点：5）有平衡方程和摩擦补充方程Fmax=f

FN。4）考虑可能发生滑动的临界情况(此时F=Fmax)，并由此判断摩擦力指向。3）二物体接触面间的摩擦力，也是相互作用的作用力与反作用力。1）问题中含有可能发生相对滑动的摩擦面。AFLFTFNAFBF

NAF

FNBF2）受力图中应包括摩擦力，摩擦力沿滑动面切向，指向与运动趋势相反。18AOMCF1mineaL2）制动杆受力如图。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程

Fmax=f

FN;

FN=M/fr代入后求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L

=M(a-fe)/frL1）取轮O研究，画受力图。有平衡方程

MO(F)=M-Fmax

r=0

得到Fmax=M/r解：讨论F1最小而制动，摩擦力最大的临界状态。例3.5

刹车装置如图。块C与轮间摩擦系数为f，求F1min。制动的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy19例3.6

图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为f。为保证不卡住，试确定力F0的作用位置。解：1)F0向下，悬臂下滑。临界状态x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0

及FA=f

FNA,FD=f

FND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.悬臂不卡住，应有xmax<h/2f而与F0无关。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA20例3.6

图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为f。为保证不卡住，试确定力Fo的作用位置。解：2)F0向上，悬臂上滑。临界状态x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0

及FB=f

FNB,FC=f

FNC

同样解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA悬臂不卡住，应有xmax<h/2f，而与F0无关；与上下滑无关。21含摩擦的平衡问题的分析方法：研究对象

受力分析

平衡方程

求解先回忆静力平衡问题的一般方法：（此时F=Fmax）

可滑动的临界情况分析摩擦力沿滑动面切向，指向与运动趋势相反。加摩擦方程Fmax=f

FN解有一个区间范围WaFTBA22讨论一：摩擦角及自锁现象设主动力之合力FA的作用线与法向夹角为a，若a<r，则无论FA多大，总有全反力FR与之平衡，物体保持静止；这种现象称为自锁。摩擦角

：临界状态(F=Fmax)

时，FR与法向间的夹角。显然有:tg

=Fmax/FN=f即摩擦角

的正切等于静摩擦系数f。可知，全反力FR的作用线只能在摩擦角(锥)之内。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自锁FAa滑动FAa>r若a>r,则无论FA多小，物体都不能保持平衡。23

2.夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直径

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

1.木楔打入墙内，摩擦角为

，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？aa利用自锁条件，研究下述问题：241.木楔打入墙内，摩擦角为

，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？aa

不计重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而处于平衡，则FR1、FR2必共线且沿铅垂方向(对称性)。临界状态有：

a=r;自锁条件为：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN125问题：

2.夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在F0力除去后工件不松，求偏心距e.自锁条件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）

二力平衡必共线。临界状态:tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直径aFRa26讨论二：皮带传动的摩擦力

皮带在轮O上，包角

。紧边FT2，松边FT1，轮O逆时针转动。研究皮带微段。法向压力dFN，摩擦力dF，二端拉力为FT+dFT和FT。在临界状态下，dF=f

dFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮带受力。接触面法向分布压力FN、摩擦力F都是

的函数。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=027注意d

是小量，有sin(d

/2)=d

/2,cos(d

/2)=1；略去二阶小量dFTd

；得到：

fdFN=dFT和dFN=FTd

;再消去dFN，

即得：dFT/FT=f

d

积分,注意

=0时，FT=FT1；

=

时，FT=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=0可见：1)若f=0，即光滑接触，有FT1=FT2，轮O不能传递扭矩。2)摩擦存在时，有扭矩M作用在轮上，且

M=[FT2-FT1]

r=FT2r[1-exp(-f

)].3)摩擦系数f越大，皮带包角

越大，轮径r越大，可传递的扭矩M越大。28桥梁结构节点：杆件间的结合点。桁架：杆组成的几何形状不变的框架。平面桁架:杆轴线和外力在同一平面内。3.3平面桁架返回主目录29平面桁架的基本假设:2)载荷都在桁架平面内，且作用于桁架的节点处，或可作为集中载荷分配到节点处。故：力系是平面力系；杆都是在二端节点处受力的二力杆。杆内力是沿杆的拉/压力。1)杆均为无重直杆，

节点均为铰接点。3)桁架只在节点处受到约束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB30无余杆桁架：除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。n个节点均为汇交力系，有2n个平衡方程；未知量有m根杆的内力和三个约束，m+3=2n，是静定问题。

基本三角形有三根杆和三个节点，其余(n-3)个节点各对应二根杆，故无余杆桁架中杆数m和节点数n应当满足：m=3+2(n-3),即m=2n-3显然，无余杆桁架是静定桁架。有余杆桁架（m>2n-3）则是静不定的。AB123C45D67保证桁架形状的必要条件：以基本三角形框架为基础，每增加一个节点就增加二根杆件。31F讨论下列桁架及问题的静定性杆数m=7节点数n=5m=2n-3静定桁架约束力3

静定问题

静定桁架，反力4一次静不定问题

杆数m=6节点数n=4m-(2n-3)=1静不定桁架约束力3

一次静不定

m-(2n-3)=2静不定桁架，约束力4

三次静不定问题

F323.3.1节点法用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为：1)研究整体，求约束反力。求反力FAx、FAy

由A节点平衡求F1、F2

由D节点求F3、F4

由C节点求F5、F6

3)从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始，

逐一列平衡方程求解。若求得的结果为负，则是压力。2)选取节点，画受力图。假定杆内力为拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF

2F3F4CFCF

1F

3F6F5333.3.2截面法2)任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受力图。杆内力假定为拉力。截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，其分析方法可归纳为：3)列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平面一般力系，可以求解三个未知量。1)研究整体，求约束反力。34例3.11

求图示桁架中各杆内力。解：1)由整体求得：

FAx=0;FAy=FE/3;FB=2FE/32)截取上部研究，受力如图。有

Fx=0

F2=0

MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0

F3=-2FE/3

Fy=-FE-F3-F1=0

F1=-FE/3综合应用截面法和截点法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究节点D，可求得F4、F6；4)研究节点C，可求得F5、F6；5)研究节点B，可求得F8、F9；6)研究节点A，可求得F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA35讨论1：求桁架指定截面内力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F336AKEBDCJF讨论2：广告牌由杆系支撑，风载作用如图。如何求各杆内力？思考：零杆是否可以不要？KEDCJF

FCB=0D

FCD=0EKCJF37

力F

为Fz、Fxy；

Fxy

Fx、Fy；显然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分力为：由定义知后者正是力在各轴上的投影。故正交坐标系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐标面，再投影到轴上。1.力在空间坐标轴上的投影AA′abxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空间中力的投影及力对轴之矩3.4

空间力系的平衡问题返回主目录38物体绕轴转动效果的度量。以门绕Z轴的转动为例来讨论。显然有：Mz(F1)=0；Mz(F2)=02.力对轴之矩

将力F分解成Fz和Fxy，可见

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)

力F对轴z之矩Mz(F)等于力在垂直于z轴之平面内的分量Fxy对轴z与该平面交点O之矩。正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。力与轴相交或平行，对轴之矩为零故力F对轴z之矩可写为：Mz(F)=MO(Fxy)=

Fxy

h

zF1FF2yhOxFxyFz39例:

试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40NFZ=(3/5)F=30NMx(F)=-Fy

z+Fz

y=-40+36=-4N.mMy(F)=-FZ

x=-6N.mMz(F)=Fy

x=8N.m利用合力矩定理，进一步有：

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fx

y+Fy

xOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mA'F=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ40二、力偶矩的矢量表示故：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定。力偶矩矢是自由矢，可平行移动。

空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行。力偶矩矢

M：矢的长度--力偶矩的大小；

矢的指向--力偶作用平面的法向；转向由右手螺旋规则确定。1）力偶矩矢：空间力偶对刚体的作用效果取决于力偶矩的大小；力偶作用平面；力偶的转动方向。F'xyzFM412）空间中力对点之矩与力对轴之矩间的关系如图，力F对O点之矩矢MO垂直于OAB平面且大小为：

MO=MO(F)=F

h=2

OABAzBOMOFh另一方面：力F对轴z之矩等于其在垂直于轴z之的平面内的分量F

对交点O之矩，即：故可知：力对某点之矩矢在过该点任一轴上的投影等于力对该轴之矩。Mz(F)=M0(F

)=2

Oab=2

OAB

cos

=MOcos

F'abMzg42三、空间一般力系的简化和平衡1.空间中力的平移力F平移到A点，得到力F

和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M。空间汇交力系空间力偶系主矩MO力偶矩矢表示主矢FR'汇交于O空间一般力系向某点O平移2.空间力系的简化力F向A点平移F

和M,F

M

xyzOFbAcF

M=MO(F)43当主矢和主矩都等于零时，空间力系为平衡力系。空间一般力系向某点O平移主矢FR'主矩MO若FR

0，MO=0；为一合力，且FR=FR空间力系简化的最终结果：若FR

=0，MO0；为一合力偶且M=MO2)MO

FR’，在MO、FR平面内将矢量MO分解，得到力FR和与其平行的力偶矩矢MR，称为力螺旋。1)MO

FR，反向应用力的平移定理，得到一合力。若FR

0，MO0；xyzOFR

MOFRMOMRMLMROFR443.空间力系的平衡方程

Fx=0；

Fy=0；

Fz=0

Mx(F)=0；

My(F)=0；

Mz(F)=0空间一般力系由FR

=0；MO=0可写出平衡方程为

将原点取在汇交点，有

Mx(F)

0,

My(F)

0;

Mz(F)

0平衡方程是：

Fx=0；

Fy=0；

Fz=0空间汇交力系xyzA

取y轴与各力平行，有

Fx

0;

Fz

0;

My(F)

0

。平衡方程是：

Fy=0；

Mx(F)=0；

Mz(F)=0空间平行力系xzy45四、空间平衡问题的求解

FAx

FAy

FAz

FBy

FBz

FCt

FCr

FDt

FDr

Fx

Fy

Fz

Mx(F)

My(F)

Mz(F)

例3.11列传动轴的平衡方程。解：画受力图。1.直接求解法000FByAB00-FCrAC0 FDrAD000 0-FBzAB

FCtAC0 FDtAD0 000 00-FCtr10FDtr2 0 00FAz 0FBz-FCt0-FDt00FAy

0FBy00-FCr0 FDrFAx0 0 000 0 0 0 xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz

列表给出各力在轴上的投影及对轴之矩。46

Fx=FAx=0--(1)

Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0--(2)

Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0--(3)

Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0--(4)

My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0--(5)

Mz(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0--(6)

利用上述六个方程，除可求五个约束反力外，还可确定平衡时轴所传递的载荷。由表中各行可列出六个平衡方程为：xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz472.投影法空间平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必为平衡力系。如由Axy平面力系可写出平衡方程：

Fx=FAx=0--(1)

Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0--(2)(

Mz(F)=)

MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0

--(6)xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABCDyxFCrFDrFByFAyFAx48同理，由Axz平面力系可写方程(1)(3)(5)；由Ayz平面力系可写出平衡方程(2)(3)(4)。

空间力系投影到三个坐标平面上，即可转化为平面力系的平衡问题。

优点是图形简明，几何关系清楚，工程常用。xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABDxzFDtFCtCFBzFAxFAzyzAFAyFByFAzFBzFCrFDtFDrFCt49讨论：试分析图中钢架各销饺处的约束反力。Z方向无载荷作用，设各处Z方向反力为零。

Fz=0(自动满足)

Mz2(F)=0FAy=F1;

Fy=0FBy=-FCy;

Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0

FCy=3F1/2

Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0

My(F)=-150F2-50FCx+50FBx=0剩余二个方程，不足以确定FAx、FBx、FCx三个未知量；需要考虑三铰装配时在x方向的间隙情况。10050cm150cmABCcmz1xyz250cmCF1F2FCyFCxFByFBxFAyFAx50五、重心起重机翻倾；船舶稳定；旋转机械振动重力W=mg,重心在质量对称轴上。重心是物体各部分所受重力之合力的作用点。2.实验法（利用力的平衡）垂吊法重心不一定在物体上。均质物体的重心在其形心处。形心在对称点、轴、面上。1.解析法物体重心的确定：o垂吊法ABCOWF称重法W称重法ABCFAFBLx51例：单位厚度拼合板框如图，求重心。3.组合法（利用合力矩