期中期末复习之全等三角形-中考数学复习（人教版）（解析版）

专题16.2全等三角形十六大必考点

【人教版】

【考点1利用全等图形求网格中的角度和】.......................................................1

【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】....................................................5

【考点3添加条件使三角形全等】..............................................................7

【考点4灵活选用判定方法证明全等】.........................................................11

【考点5尺规作图与全等的综合运用】.........................................................16

【考点6证明全等的常见辅助线的作法】.......................................................20

【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】.................................................28

【考点8全等中的倍长中线模型】.............................................................39

【考点9全等中的旋转模型】.................................................................49

【考点10全等中的垂线模型】.................................................................56

【考点H全等中的其他模型】..................................................................65

【考点12全等三角形的动点问题】.............................................................71

【考点13尺规作图作角平分线】...............................................................77

【考点14角平分线的判定与性质的综合求值】...................................................80

【考点15角平分线的判定与性质的综合证明】...................................................86

【考点16角平分线的实际应用】...............................................................95

AZF一漂二

【考点1利用全等图形求网格中的角度和】

【例1】（2022•山东・禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则

B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定回ABC雷DBE,根据全等三角形的性质可得回3二团ACB,再由团ACB+团1二团1+团3=90°,

可得团1+四第2.

【详解】

团在mABC和团DBE中

rAB=BD

，∆A=∆D，

,AC=ED

00ABC00DBE(SAS),

团团3二团ACB,

团团ACB+团1=90°,

001+03=90°,

盟2=45°

001+03-02=9Oo-45o=45o,

故选B.

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等.

【变式1・1】(2022•江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习)如图，由4个相同的小正方形组成的格

点图中，01+02+03=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出乙1+43的值，即可得出答案;

【详解】如图所示，

在团ACB和团DCE中,

AB=DE

{/.A=Z.D<

AC=DC

ACB≡ΔDCE(SAS),

^∖Z.ABE—Z3,

0Z1+42+43=(Zl+43)+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键.

【变式1-2]（2022,江苏•八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则回P

度.

【分析】如图，直接利用网格得出对应角NP=乙4QC,进而得出答案.

【详解】

如图，易知A∕1BPWA4CQ,SlZP=∆AQC,

EIBQ是正方形的对角线,

IZINBQC=∆BQA+∆AQC=NP+4Q=45°,

故答案为:45.

【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键.

【变式1-3]（2022•山东•济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4X4的正方形网格中，求α+

β=度.

ZZ

【答案】45

【分析】连接4B,根据正方形网格的特征即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AB

A

CE

13图中是4X4的正方形网格

EL4Z)=CE,∆ADB=乙AEC,DB=AE

0ΔADB≤ΔCEa(SAS)

ElNEAC=Z.ABD=a,AB=AC

©4ABD+/.BAD=90o

0Zfτ4C+∆BAD=90o,BRzC/lB=90o

<S∆ACB=∆ABC=45o

SBD∖∖CE

配BCE=乙DBC=β

^∆ABC=Z.ABD+乙DBC=a+β

0α+/?=45°

故答案为：45.

【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征.

【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】

【例2】（2022•全国•八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形.

------ɪ------ɪ------------

II

——I—\------------

III

---1—I—i—

II

------------1------i------

【答案】见解析

【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案.

【详解】共有3X4=12个小正方形，

••・被分成四个全等的图形后每个图形有12÷4=3,

如图所示：

_4

【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键.

【变式2-1］（2022•江苏•八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全

相同的两个部分吗？请画出分割线.

【答案】见解析

【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如

图所示，沿AfB~>C~>O分割；第二个图同理沿EfFfG玲P玲。分割即可.

【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格,

则可按如图所示，沿4玲8fC玲。分割；第二个图同理沿EfFfG>"fPf。分割即可.

【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键.

【变式2-2］（2022•江苏•八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形

分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影.

【答案】见解析（第一个图答案不唯一）

【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形.

【详解】解：第一个图形分割有如下几种：

【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点.

【变式2-3］（2022•全国•八年级专题练习）知识重现："能够完全重合的两个图形叫做全等形."

理解应用：我们可以把4x4网格图形划分为两个全等图形.

范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法.

图4

【答案】见解析

【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可.

【详解】依题意，如图

图4

【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键.

【考点3添加条件使三角形全等】

【例3】（2022•全国•八年级专题练习）如图，0C=0D=9Oo,添加下列条件：①AC=A。；②IMBC=0AB£＞；

③8C=B。，其中能判定与R∕0Λ8O全等的条件有（）

Λ

D

B

A.O个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解.

【详解】解：≡C=ELD=90o,AB=AB,

0（Γ）AC=ΛD,可用”L判定RtAABC与Rt∆ABD全等；

②ElABC=0A8Zλ可用AAS判定RtAABC与Rt∆ABD全等；

③BC=BD,可用"L判定Rt"BC与Rt∙M8f）全等；

故选：D.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

【变式3-1］（2022•重庆•中考真题）如图，点3,F,C,E共线，回8=回£BF=EC,添加一个条件，不能判

断EL4BCa≡OE/;"的是（）

A.AB=DEB.IaA=SDC.AC=OFD.ACSFD

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.

【详解】解："BF=EC,

：.BC=EF

A.添加一个条件AB=DE

又∙.∙BC-EFzB=乙E

.∙.ΔABC≤ΔDEF（SAS）

故A不符合题意：

B.添加一个条件EiA=0。

又∙.∙BC=EFZB=乙E

.∙.∆ABC≡ΔDEF(44S)

故B不符合题意;

C.添加一个条件AC=。尸，不能判断0A8C≡IDE尸，故C符合题意;

D.添加一个条件AO3FD

乙ACB=∆EFD

又•・•BC=EF,Z-B-乙E

Λ∆ABC≡ΔDEf（ASA）

故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

【变式3-2]（2022•安徽淮南•八年级期末）如图，点P是48上任意一点，13ABC=0ABD,还应补充一个条

件，才能推出0APC00APD从下列条件中补充一个条件，不一定能推出0APC≡AP。的是（）

A.BC=BD-,B.AC=ADx

C.a4CB=0ADB;D.0CAB=0DAB

【答案】B

【分析】根据题意，MBC=SABQ,AB是公共边，结合选项，逐个验证得出.

【详解】解：A、补充BC=BD,先证出aBPCl≡l8PZλ后能推出EIAPC幽4尸£）,故正确，不符合题意：

B、补充AC=AD,不能推出MPCHaAPf）,故错误，符合题意；

C、补充0ACB=0AZ）B,先证出a4BC≡A8D,后能推出0APC00APQ,故正确，不符合题意；

D、补充I3CA8=E1C4B,先证出a48C≡ABD,后能推出&4尸€函”£>,故正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形全等判定，解题的关键是知道有AAS,SSS,ASA,SAS.注意SSA是不能证明三

角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项.

【变式3-3]（2022•全国•八年级课时练习）如图，AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得

0ADE00CBE.现给出如下五个条件：①EIA=SIC;②13B=EID;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB.其中符合要求有（）

AC

E

DB

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】延长DA、BC使它们相较于点F,首先根据AAS证明4FAB≡1FCD,然后根据全等三角形的性质即

可得到AF=FC,FD=FB,进而得到AD=BC,即可证明AADEEBCBE,可判断①、②的正误；根据SAS证明

∆ADE0ECBE,即判断③、④的正误；连接BD,根据SSS证明AADBHSCBD,根据全等三角形的性质得到SlA=SlC,

结合①即可证明⑤.

【详解】延长DA、BC使它们相较于点F

SEDAB=SlDCB,IaAED=回BEC

≡B=IED

又瓯F=团F,AB=CD

0∆FAB≡FCD

0AF=FC,FD=FB

OAD=BC

团ZkADE盟CBE,即①」E确;

同理即可证明②正确；

团AE=CE,AB=CD

回DE=BE

又瓯AED二团BEC

团ZkADEEBCBE,③正确：

同理即可证明④正确；

连接BD,

0AD=CB,AB=CD,BD=BD

0∆ADB00CBD

R0DAB=回BCD

I3∆ADE12ECBE,⑤正确；

故选D.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS.SAS,AAS,ASA,难点在于添加辅助线来构

造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等.

【考点4灵活选用判定方法证明全等】

【例4】（2022・湖南•八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（）.

A.有两个角对应相等的两个三角形

B.两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形

C.两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形

D.有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形

【答案】C

【分析】选项A,选项B和选项D分别举出反例的图形即可；选项C根据题意画出图形，延长4。至E,使

DE=AD,延长4。'至。，使。=4。'，连接BE和B'E"根据全等三角形的判定，可证得△BDE三△CDA,

根据全等三角形性质得BE=AC,乙E=∆CAD,同理可得B'E'=A'C',∆E'=ΛC'A'D',再由全等三角形的

判定得△ABE≡Δ4B'E',根据全等三角形性质得4E=NE',ZiBAE=ΛB'A'E',进而证得NB4C=/.B'A'C',

最后根据全等三角形的判定证得AABC≡ΔA'B'C'.

【详解】A.如图1所示,

在AAOE和△4BC中，∆A=∆A,∆ADE=∆ABC,∆AED=∆ACB,但△4。E和△力BC不全等，故本选项不

符合题意；

B.如图2所示,

在△?!BC和AEFG中，BC=FG,AC=EG,AD1BC,EH1FG,AD=FG,但△48C和△EFG不全等,

故本选项不符合题意；

C.如图3所示，

在AABC和△4'夕。中，点。和点Z)'分别平分线段BC和8'C',AB=A'B',AC=A'C',AD=A'D',延长至

E,^,DE=AD,延长HD'至E',使D'E'=4D',连接BE和B'E',

回点。平分线段BC,

MO=CD,

ELDE-AD,乙BDE=Z.CDA

0ΔBDE=ΔCDA

ElBE=AC,乙E=∆CAD

同理B'E'=A'C',∆E'=∆C'A'D,

EL4C=A'C'

WE=B'E'

SAD=A'D'

SWE=A'E'

EL4β=A'B'

^ABE≤∆4,β,E,

0Z.F=∆E',^BAE=ΛB'A'E'

EINa4。=^C,A'D'

EINBaE+∆CAD=∆B'A'E'+∆C'A'D'

,

E)ZBi4C=/-B'AC'

EL4β=A'B'

ABC≤Δ½,B,C,

故本选项符合题意；

D.如图4所示，

在^ABC^∖i^A'B'C,'↑',AB=A'B',AC=A'C',AD1BC,A'D'1B'C',AD=4，。，，但此时△4BC和^A'B'C'

不全等，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，熟记全等三角形的性质定理与判定定理是解本题

的关键.

【变式4-1】（2022•广东•佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非

常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF,GE=GF,则AAEG三4AFG的依

A

C.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可.

【详解】解：在AAEG和AAFG中，

EG=FG

AE=AF,

AG=AG

0∆AEG0∆AFG（SSS）,

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.

【变式4-2］（2022•江苏・泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB0CZλAlJSBC,AC与即交于点O,

A旗8。于点E,CR38。于点F,那么图中全等的三角形有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质，以及全等三角形的判定即可求出答案.

【详解】解：①2ABE*CDF.

^AB∖∖CD9ADWBC9

0AB=CD9Z-ABE=乙CDF.

^AE1BDς^E,CFlBD于E,

^∆AEB=乙CFD,

0ΔABE=ΔCDF；

(2)∆½0E≡∆C0F.

IMF∣∣CD,ADWBC9AC为ABCD的对角线,

WA=OC9∆EOA=∆FOC.

团乙AEo=Z.CFO9

Ξ∆AOE≡△COF；

③△ABO三△CDO.

^AB∖∖CDfADWBC,Ae与BD交于点0,

WD=OB,乙AoB=乙COD,OA=OCf

!?]△ABO三△CDO；

(4)∆βOC≡∆DO√l.

^AB∖∖CD,AD∖∖BC,AC与BD交于点O,

WD=OB9∆BOC=Z.DOA9OC=OA9

!?)△Bog△DOA；

⑤a∕8C三△CDA.

^AB∖∖CD,ADWBC9

0BC=ADfDC=AB,乙ABC=Z.CDAf

Ξ∆ABC≡△CDA；

⑥三△CDB.

^ABWCD9ADWBC9

⑦乙BAD=乙BCD,AB=CD,AD=BC,

Ξ∆ABD三△CDB；

⑦RADE三bCBF.

^AD=BC,DE=BF,AE=CF,

12∆ADE^ΔCBF.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键找出对应相等的边、角，判定两个三角形全等的一般

方法有：SSS.SAS、Λ4S,ASA,HL,同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易.

【变式4-3］（2022•浙江•八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出S4BC的是（）

A.AB=S,BC=6,AC=7B.AB=5,BC=6,0B=45o

C.AB=S,AC=4,0C=9O°D.AB=3,AC=4,0C=45o

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答.

【详解】解：A.IMC与BC两边之和大于第三边，故能作出三角形，且三边知道能唯一画出0Λ8C,不符合

题意；

8.0B是AB、BC的夹角，故能唯一画出≡A8C,不符合题意；

C.AB=5,AC=4,0C=9O∖得出8C=3,可唯一画出财BC,不符合题意；

D.由于是SSA,所以A8=3,AC=4,0C=45o,不能唯一画出三角形ABC,符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握SSA不能判定三角形全等

是解答本题的关键.

【考点5尺规作图与全等的综合运用】

【例5】（2022•全国•九年级专题练习）如图，在△4BC外找一个点4（与点A不重合），并以Be为一边作

△&BC,使之与△>!BC全等，且△力BC不是等腰三角形，则符合条件的点4有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题是开放题，要想使M'8C与0A8C全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解.

【详解】解：如图:

以2点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，射为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A、41'；

以C点为圆心，CA为半径画弧，以8点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点4'，所以符合条件

的点A，有3种可能的位置.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等的判定综合.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，

然后再根据三角形全等的判定方法去求证.

【变式5-1］（2022•全国•八年级课时练习）如图，以B4BC的顶点A为圆心，以8C长为半径作弧；再以顶

点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点O；连结AO,CD.由作法可得：△4BC三ACLM的根据是

B1-------------------"C

A.SASB.ASAC.Λ4SD.SSS

【答案】D

【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到A85回CD4的根据，本题得以解决.

【详解】解：由题意可得，

AD=BC,AB=CD,

在0ADC和I3C8A中，

TlD=CB

DC=BA,

.AC=CA

SBADCWCBA（SSS）,

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答.

【变式5-2］（2022・广东•普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：

画一个RtA4BC,使NB=90。，它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了ZMBN=90。

之后，后续画图的主要过程分别如图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是：

【答案】SASHL

【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为SZS.

由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为HL.

【详解】小刘同学画了NMBN=90。后，再截取4B,BC两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是SAS定

理；

小赵同学画了ZMBN=90。后，再截取BGAC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是“L定理.

故答案为：①SAS；②HL.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键.

【变式5-3］（2022•北京∙101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究"边边角条

件是否可确定三角形的形状"问题.操作学具时，点。在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8

为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动.图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意

图.

Si图2备用图

有以下结论:

①当NPAQ=30。，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△/MQ

②当NPAQ=90o,PQ=10时，可得到形状唯一确定的4PAQ

③当NPaQ=150o,PQ=12时，可得到形状唯一确定的4PAQ

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③##③②

【分析】分别在以上三种情况下以尸为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为。点，

作出AP4Q后可得答案.

【详解】如下图，当13出Q=3O。，PQ=6时，以P为圆心，P。的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点,

作出APAQ,发现两个位置的。都符合题意，所以APAQ不唯一，所以①错误.

如下图，当回阴0=90。，PQ=Io时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线A/W有两个交点，作出APAQ,

发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以APAQ唯一，所以②正确.

如下图，当回巾。=150。,PQ=12时，以P为圆心,PQ的长度为半径画弧,弧与直线AM有两个交点,作出APAQ,

发现左边位置的。不符合题意，所以APAQ唯一，所以③正确.

综上：②③正确.

故答案为：②③

【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称

关系作出另一个。是关键.

【考点6证明全等的常见辅助线的作法】

【例6】（2022♦江苏•宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD,13B=EIADC=90°.E,

F分别是BC,CD上的点，且BE+FD=EF.试探究图中团EAF与IlIBAD之间的数量关系.小明同学探究此问题的

方法是：延长FD到G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE三AADG,再证明△4EF三△4GF,从而得出

0EAF=0GAF,最后得出13EAF与BlBAD之间的数量关系是.

（2）将（1）中的条件rtEB=l3ADC=90°”改为"回B+I3D=18O°”（如图②），其余条件不变,上述数量关系是否成

立，成立，请证明；不成立，说明理由

（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30。的A处，俄

罗斯舰艇在指挥中心南偏东70。的B处，两舰艇到指挥中心距离相等.接到行动指令后，中国舰艇向正东方

向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指

挥中心观测到两舰艇分别到达E,F处且相距280海里.求此时两舰艇的位置与指挥中心（。处）形成的夹

角IaEC）F的大小.

【答案】⑴回EAF=扣BAD；（2）仍然成立，见解析；（3）70°

【分析】（1）根据小明同学的探究方法不难得到回EAF=扣BAD；

（2）延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出I3B=≡）ADG,然后利用“边角边"证明ISABE

和OADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,EIBAE=ElDAG,再求出12IEAF=ISGAF,然后利用“边角

边"证明GlAEF和回GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可；

（3）连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出自OAC+I3OBC=18（Γ,判断出符合探索延伸的条件，再根据

探索延伸的结论解答即可.

【详解】解：⑴如图①，延长FD到G,使DG=BE,连结AG.

在EIABE和ElADG中，AB=AD,BE=DG,0B=0ADG=9O0,

00ABEEBADG,0AE=AG,

在13AEF和ISAGF中，AE=AG,AF=AF,EF=BE+FD=DG+FD=GF,

团E1AEF[2团AGF,团团EAF=团GAF=(3GAD+团DAF=(3EAB+团DAF

≡BAD=0EAF+0EAB+0DAF=20EAF

00EAF=⅛BAD

2

(2)回EAF=扣BAD仍然成立.

证明：如图②，延长FD到G,使DG=BE,连接AG.

EBB+EIADC=180°,UlADC+0ADG=18Oo,≡B=[3ADG,

00ABEf30ADG(SAS).0AE=AG,0BAE=[≡DAG.

又I3EF=BE+DF,DG=BE,0EF=DG+DF=GF.

00AEFE0AGF(SSS).E0EAF=EIGAF.

又EEGAF=I3DAG+I3DAF,EBEAF=0DAG+0DAF=I3BAE+EIDAF.

而团EAF+国BAE+0DAF=E1BAD,

00EAF=⅛BAD

2

(3)如图③，连接EF,延长AE、BF相交于点C.

图3

132小时后,舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，

即AE=120,BF=160.而EF=280,13在四边形AoBC中，有EF=AE+BF,

又ISOA=OB,且回0AC+S10BC=(90°-30°)+(70o+50o)=180°,

团符合⑵中的条件.

又EBAc)B=30°+90°+(90o-70")=140β,00EOF=⅛AOB=70o.

2

答：此时两舰艇的位置与指挥中心(。处)形成的夹角团Ec)F的大小为70。.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并

两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点.

【变式6-1](2022•全国•八年级课时练习)如图，已知：AB=AC,BD=CD,乙4=60。，Z.D=140°,则

NB=()

【答案】B

【分析】连接ZD，可证AABD回△/(?£>,根据全等三角形对应角相等可以得到NBAC=NCAD=T4BaC,

=44DC,代入角度即可求出NBAD和4/WB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】连接40,如图，

在AABC与△4CD中

(AB=AC

∖BD=CD，

[AD=AD

・••△ABD^1Δ.ACD(SSS),

.∙.∆BAD=∆CAD=-/.BAC,ΛADB=^ADC,

2

V乙4=60°,

・•・乙BAD=Z.CAD=30°,

•・•乙D=140°,

.∙.∆ADB=∆ADC=∣（360o-140o）=IlO0,

∙.∙乙BAD+∆ADB+ZB=180°,

.∙.48=40°.

故选:B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键.

【变式6-2］（2022•全国•七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定

长.（提示：添加辅助线证明）

（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC,^AB=AC,∆ADB=∆ADC,

求证：AD平分NBAC.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点。、

点E、点F.求证PD+PE+PF为定长,即可完成证明;

（2）（面积法）过点A作4E1BD交BD延长线于点E,再过点A作4F1CD交CO延长线于点尸.因为乙WB=

/.ADC,所以NACE=4ADF,因止匕△4。尸三4。E(AAS),得至IJAF=4E.进而△4FC三△AEB,得至∣Jzl4B0=

/.ACD,因此NB4D=4CAC,即A。平分NBAC.

【详解】（1）己知：等边如图三角形ABC,P为三角形ABC内任意一点，PDs）AB,PFEIAC,PEIaBC,

求证：PD+PE+PF为定值.

证明：如图：过点A作4G1BC,垂足为点G,分别连接ARBP、CP.

•A4BC=SAABP+SABCP+SACAP，

^BC-AG=-BC-PE+-AC-PF+-AB-PD

2222

又IaBC=AB=AC

[3AG=PE+PF+PD,即PD+PE+PF=4G定长.

SI等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.

(2)

过点A作｛E1BD交BD延长线于点E,再过点A作AF1CD交CD延长线于点F.

^∆ADB=Z.ADC,

^∆ADE=∆ADF,

又HAD=AD

EI△4。FWADE(AAS),

EL4F-AE

I3∆AFC=Δ,AEB,

EIZsBD=Z.ACD,

^∆BAD=/.CAD,即AC平分4B4C.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键.

【变式6-3](2022,全国•八年级课时练习)已知等腰ElABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DE0BC,交直

线AC与点E,且BD=BC,CH0AB,垂足为H.

E_D

E

AZAO

BL----------B---------------------------DE

MI图2图3

(1)当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；

(2)当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图3,直接写出。H,BH,

OE之间的数量关系，不需要证明.

【答案】(1)见详解；(2)图2：DH=BH-DE,图3：DE=DH+BH

【分析】(1)在线段4H上截取HM=BH,连接CM,CD,证明△OMC三△DEC,可得到CE=OM,即可

求解.

(2)当点。在线段BA延长线上时，在BZ的延长线上截取=BH,连接CM,DC,由题意可证△BHC三4

CHM,可得/B=NCMB,由题意可得ZB=乙4ED,即可证△OMC三△DEC,可得DE=OM,则可得CH=

BH-DE；当点。在线段48延长线上时，在线段AB上截取B”=HM,连接CM,CD,由题意可证ABHC三

ΔCHM,可得NB=“MB,由题意可得NB=Z.AED,即可证△DMC≤ΔDEC,可得DE=DM,则可得DE=

DH+BH.

【详解】解：(1)证明：在线段4H上截取HM=BH,连接CM,CD

ElCHlAB,HM=BH

EICM=BC

ElNB=乙CMB

EL4β=AC

0Z.fi=乙ACB

由DE∕∕BC

团ZJ4。E=乙B=Z-AED=ZJICB,乙CDE=乙BCD

^∆AED=乙BMC

⑦乙DEC=LDMC

由BD=BC

用乙BDC=乙BCD=乙EDC

团CD=CD

0ΔCDM=△CDE

WM=DE

⑦BH+DE=DM+HM=DH

(2)当点。在线段84延长线上时，DH=BH-DE

如图2：在Ba的延长线上截取MH=B”，连接CM,DC

^AB=AC

回乙ABC=乙ACB

团BD=BC

团乙BDC=乙DCB

WE//BC

回乙E=乙ACB=乙B=Z.EDB

用乙乙

CH=CH,BH=MHfBHC=CHM

0ΔBHC≡ΔCHM

团4B=4M

国NE=Z.M

IZLCMDC=乙B+乙DCB,乙EDC=Z-BDC+乙EDB

□zMDC=乙EDC

又用乙E=NM,DC=CD

0ΔDEC=△DMC

WE=DM

⑦DH=MH-DM

⑦DH=BH-DE

当点。在线段48延长线上时，DE=DH+BH

如图3：当点O在线段4B延长线上时，在线段48上截取BH=HM,连接CM,CD

回BH=HM,CH=CH,∆CHB=∆MHC=90°

MHC三ABHC

回匕ABC=乙BMC

EL4fi=AC

^∆ABC=乙ACB

团BD=BC

团乙BDC=∆BCD

QBCllDE

团乙BCD=LCDE,乙ACB=乙AED

⑦乙BDC=乙CDE,∆BMC=∆AED.HCD=CD

0ΔCDM=ΔCDE

ME=DM

MM=DH+HM

WE=DH+BH

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线

证全等是解题的关键.

【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】

【例7】（2022•全国•八年级专题练习）如图，0ABC中，回B=45。，IaACB=30。，CQ平分0ACB,ADs∖CD,

求证：CD=AB+AD

【答案】见解析

【分析】遇到这种CO=AB+AO线段和差问题一般都是截长补短；

方法1：补短Aδ,∣⅛itBE=AB+AD,证明CO=BE即可；

方法2：补短AD,构造。尸=48+AO,证明CD=。尸即可；

方法3：截长，在CD上截取OE使得QE=A。，构造等腰直角三角形ABF,证明AF=EC即可；

方法4：截长，在CO上截取OE使得OE=A。，在C8延长上取点”使得AH=AC证明AB=EC即可;

【详解】方法1：补短，构造全等

证明：延长BA至点E,使得AO=AE,连接CE

IlBD=90°

EH8=45°,BACB=30°

00EAC=0B+a4CB=45o+3Oo=75"

EICQ平分0ACB

00ΛCD=15o

SHZMC=90°-15°=75°

00EAC=0DΛC

在0AOC和MEC中

MD=AE

回EAC=团DAC

AC=AC

盟ΛOC1≡L4EC(SAS)

^EC=CD,回E=回£>=90°,0ECΛ=0ACD=15o

团团ECB=团8=45°

国EC=BE

SlEC=BE=CD

^CD=AB+AE=AB+AD

方法2：补短，构造全等

证明：延长DA至点F,使得AF=AB

加3=45°,^ACB=30o

Ξ0BAC=18O-SB-0ACB=18Oo-45o-3Oo=lO5o

团Co是财C8的角平分线

能IAeD=I5°

04D0CD,

00D=9Oo,

00EAC=0D+[2L4CD=9OO+15O=1O5O

团回EAC=I384C

在0A3C和IMEC中

AB=AE

^EAC=^BAC

AC=AC

团M8C≡1AEC(SAS)

团倒E=团8=45°,

团团ECD=900■国EHS8=45°

^CD=DE=AD+AE=AD+AB

方法3：截长，构造全等

证明：

在CD上截取DE使得DE=AD

^AD^∖CD

≡AE7)=45°,MEC=135°

过点A作AF^AB交BC于点、F

:®8=45。，

o

mAFB=^B=45fIMFC=135°

^AB=AF.^AEC=^AFC

团Co平分MC6

^ACD=15o

Ξ0DΛC=9Oo-0ACD=9Oo-15o=75o

[≡EAC=团QAC—团。AE=75°-45°=30°

团团EAC=财CT7

在财EC和回CEI中

^EAC=^ACF

AC=AC

^1AEC=^AFC

团财EC团团CEA(ASA)

^CE=AF=AB

^CD=DE+CE=AD+AB

方法4：截长，构造全等

证明：

在CD上截取DE使得DE=AD

0A£X3CD

l≡WE拉=45°,IMEC=135°

在CB延长上取点〃，使得AH=AC

^ABC=45°

00Aθ∕∕=135o

^ABH=^AEC

MH=AC

≡∕7=lMCB=30o

团CO平分0AC8

MACO=I5°

团团OAC=90°—团ACD=90°—15°=75°

WEAC=0DAC-田DAE=75°-45°=30°

团团H=ELBAC

在财8〃和团CE4中

^H=^EAC

AH=AC

^ABH=^AEC

W∖AβH^CEA(ASA)

MB=CE

^CD=DE+CE=AD+AB

【变式7-1](2022•安徽淮北•八年级阶段练习)如图，在四边形48CD中，AB〃CD,AE是乙B4C的平分线,

且4E1CE.若/C=G,80=b,则四边形ABDC的周长为()

A.1.5(α+6)B.2Q+Z)C.3a—bD.a+2b

【答案】B

【分析】在线段AC上作AF=AB,证明EIAEFaaAEB可得EIAFE=能，SIAEF=EIAEB,再证明IaCEFI33CED可得CD=CF,

即可求得四边形ABDC的周长.

【详解】解：在线段AC上作AF=AB,

0AE是NBAC的平分线，

团EICAE=I3BAE,

又EAE=AE,

EBAEFEnIAEB(SAS),

EBAFE=I3B,EIAEF=EIAEB,

0AB13CD,

MD+0B=18Oo,

00AFE+[21CFE=18Oo,

MD=0CFE,

IL4E1CE,

00AEF+ΞCEF=9Oo,团AEB+团CED=90°,

MCEF=IZICED,

在回CEF和团CED中

∆D=乙CFE

国ZCEF=乙CED,

.CE=CE

0ΞCEFmCED(AAS)

SCE=CF,

硒边形4B0C的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2Q+b,

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断.能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

【变式7-2](2022•山东烟台•七年级期末)在AABC中，0AC3=9(Γ,AC=BC,。是直线AB上一点(点Z)

(2)如图2,当点。为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段EACF、AC的数量关系是否

发生改变，并证明.

(3)如图3,当点。在线段A5的延长线上时，直接写出线段EfCF、AC之间的数量关系.

【答案】⑴AC=Ea尸G证明见解析

(2)补全图形见解析，AC=EF-CF,证明见解析

(3)AC=CF-EF

【分析】(1)过Q作。Λ0CB于"由"AAS"可证ISFECSEl/mC,可得CH=FC,DH=EF,可得结论；

(2)过。作DHSCB于，，由"4AS'可证MEaa3Hf>C,可得CH=FC,DH=EF,可得结论.

(3)过。作。M2CB交CB的延长线于，，由"AAS"可证f3FEClΣBHOC,可得CH=FC,DH=EF,可得结论.

⑴

结论：AC=EF+FC,

理由如下：过。作DHsICB于"，

A

盟DHC=aDHB=90°

0fflCF,

,

WEFC=^Df∕C=90°f

在回FEC和mHDC中，

ZEFC=乙DHC=90°

Z.FCE=乙DCH，

EC=CD

W1FEC^HDC(AAS),

OCH=FC,DH=EF,

的4C8=90°,AC=BC,

≡B=45o,

≡DHB=90o,

团团B=团"Q3=45°

⑦DH=HB=EF,

⑦BC=CB+HB

ElAC=FC+EF：

⑵

依题意补全图形，结论：AC=EF-CF,

理由如下：

过。作DffSCB交BC的延长线于H,

0EF0CF,

o

^EFC=^∖DHC=90f

在回FEC和团〃OC中，

(乙FCE=乙DCH

∖∆EFC=乙DHC=90°,

(EC=DC

^FEC^HDC(AAS),

OCH=FC,DH=EF,

MDλ∕β=90o,

酿B=曲DB=45°

⑦DH=HB=EF,

⑦BC=HB-CH

HLAC=EF-CF.

⑶

AC=CF-EF.

如图3,过。作。/位CB交CB的延长线于从

同理可证团/EC≡1"DCCAAS),

田CH=FcDH=EF,

o

^DHB=90f

团回8二团"DB=45°,

mDH=HB=EF,

⑦BC=CH-BH,

MC=CF-EF.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题

的关键.

【变式7-3](2022•全国•八年级专题练习)在△?!BC中，AE,CQ为△4BC的角平分线，AE,CD交于点F.

(1)如图1,若NB=60°.

①直接写出乙4FC的大小；

②求证：AC=A