第06讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题（原卷版）

第06讲拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题一、知识点归纳1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.二、题型精讲方法一：分离变量法1．（2022下·江西·高二期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.3．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数，.(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为实常数）．若存在，使得成立，求实数的取值范围．方法二：分类讨论法1．（2023下·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考期中）已知(1)若在处取到极值，求的值；(2)若存在使得，求的范围；(3)直接写出零点的个数，结论不要求证明.2．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．3．（2022上·福建福州·高二校联考期末）已知函数(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．方法三：等价转化法1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.2．（2023上·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数，．(1)若在点处的切线为，求实数的值；(2)设函数，求函数的单调区间与极值；(3)若存在，使得成立，求的取值范围．3．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在x[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．4．（2022下·北京·高二北师大二附中校考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值.(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.方法四：最值定位法解决双参不等式问题1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．2．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)求函数的极值；(2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，．(1)若曲线在处的切线过点，求的值；(2)设若对，，使得成立，求的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．方法五：值域法解决双参等式问题1．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数（其中且）是奇函数．(1)求，的值并判断函数的单调性；(2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围．2．（2022上·浙江·高二校联考期中）函数，.(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.3．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范