2023-2024学年湖南省长沙外国语学校高二年级上册期中数学试题（解析版）

长沙外国语学校2023年下学期高二年级期中考试

数学

命题人：吴逸凡审题人：付文强

时量：120分钟满分：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.椭圆匕+f=1的焦点坐标是（）

11

A.(±26,0)B.0,±2A/3)C.（0,土炯D.(±Vio,o)

2.若直线/的斜率大于1,则/的倾斜角的取值范围为（)

（D

A•匕71，+°°AJB.匕\71，7万1］\c.-"

3.“1>2”的一个充分不必要条件是（）

A.-2<x<2B.-4<x<2C.x>—2D.x>2

已知椭圆的离心率为鸟是的两个焦点,

4.Cg,1,C尸为C上一点，若鸟的周长为J5,则椭圆c的

焦距为（）

A县B叵C@D.叵

3456

5.圆锥的高为2,其侧面展开图的圆心角为上,则该圆锥的体积为（：)

3

717171肥兀

A.—B.—C.—D.------

4326

,.(71

6.已知。G——,71，且3cos2。-4sina=1,则tan2。=()

)

1c4后1r4后

A.—B.-----C.——D.-------

3737

7.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学

发现一一圆柱容球定理.如右图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地,

四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（）

8.已知4（2,0）,点P为直线x—y+5=0上的一点，点。为圆好+/=1上的一点，则归9+3人口的最

小值为（）

50+25忘-211®11立

7^♦•D•

2224

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.若直线过点（-3,4）,且在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线的一般式方程可能为（）

A.4x-3y=0B.4x+3y=0C.x-y+7=0D.x+y-l=0

10.已知直线/:依—y+2k+1=0和圆0:犬+丁=8,则（）

A,直线/恒过定点（2,1）B.存在左使得直线/与直线:x—2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交D.直线/被圆。截得的最短弦长为2如

11.如图，在正方体ABCD-44GA中，叫=2,点MN分别在棱AB和551上运动（不含端点），若

AM则下列命题正确的是（）

A.MN1A.MB.肱VJ_平面"MC

C.线段6N长度的最大值为1D.三棱锥。-4G”体积不变

12.我们通常称离心率为好口22

的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C:0+==l（a〉6〉O），A，

2ab

4,4,打为顶点，片,B为焦点，尸为椭圆上一点，下列条件能使椭圆。为“黄金椭圆”的有（）

\B2

长轴长为4,短轴长为26-2B.444=90°

C.轴，且PO〃4B]D.四边形4与4片的内切圆过焦点F[,F2

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知复数z=l—后，则z的虚部为.

14.从长度为2,4,6,8的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.

15.圆(x+l)2+_/=i上点到直线3%+4y—7=0距离的最小值是.

22

16.如图所示，已知椭圆的方程为?+事=1,若点P为椭圆上的点，且/「耳月=120。，则月的面

积是.

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.已知两圆M:x?+y2=10WN:x2+y2+2x+2y-14=0.

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；

(2)求过两圆交点且圆心在直线x+2y-3=0上的圆的方程.

18.已知a,dc分别为ZVlBC三个内角A,B,C得对边，且6=acosC+百csinA.

(1)求A；

(2)若a=2,Z?=J§c,求ZVlBC的面积.

19.如图，A3是圆。的直径，点C是圆。上异于A,3的点，直线PC，平面ABC.

p

(1)证明：平面P5C，平面PAC；

(2)设A5=PC=2,AC=1,求二面角5—B4—C的余弦值.

20.为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩(总分

100分)，将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方

(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖，则

受嘉奖的学生分数不低于多少？

22氏

21.已知椭圆C:为+a=1(。〉6〉0)的离心率是,，点4(—2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)过点(—2,3)的直线交。于两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为证明：线段的中

点为定点.

22.已知函数/(x)=log2(4'+1)+Ax为偶函数.

(1)求实数人的值；

(2)解关于加的不等式/(2加+1)>/(加—1)；

(3)设g(x)=log2+a)(awO),若函数/(%)与g(x)图象有2个公共点，求实数a的取值范围.

参考答案:

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

1.C【分析】由椭圆的标准方程求解即可.

【详解】由于椭圆标准方程为：匕+工2=1.

11

所以/=11一i=io,则。=加.

又11>1,所以焦点在y轴上，故焦点坐标为：（0,土屈）.故选：C.

2.B【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质即可求解.

【详解】设/的倾斜角为a,易得awg,由tana>l,且tz得tze冗n

4'2

故选：B

3.D【分析】结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.

【详解】由国>2解得％<—2或%>2,

对于A,由一2<%<2得不到忖>2,由冈>2得不到一2（尤<2,

所以-2〈尤<2是冈>2的既不充分也不必要条件，不合题意；

对于B,由-4<%W2得不到M>2,由国〉2得不到-4<xW2,

所以-4<xW2是冈>2的既不充分也不必要条件，不合题意；

对于C,由x>—2得不到国>2,由凶>2得不到x>—2,

所以%>-2是卜>2的既不充分也不必要条件，不合题意；

对于D,当x>2成立时，一定有冈>2,但是国>2成立时，不一定有x>2成立，所以x>2是冈>2的

一个充分不必要条件.故选：D.

4.A【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求。，可得椭圆的焦距.

22_1

【详解】设椭圆方程为「+当=1（。〉。〉0）,依题意可知，\e~~a~2,

ab/—

2a+2c=y/2

解得c=Y2,所以椭圆。的焦距为2c=交.故选：A

63

5.B【分析】根据题意，求得圆锥的高，再由圆锥的体积公式，即可得到结果.

2〃

【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为〃，则2=a=J,

I1713

所以丸=,尸—产=20厂=2,1=变,

2

1JT

所以圆锥的体积为上"尸丸=土.故选：B

33

6.D【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2tz+2sinc-l=0,结合角的范围得sina=』，进而求tana,

3

应用倍角正切公式求值即可.

【详解】由3cos2a-4sin^z=3-6sin2a-4sina=1,即3sin2of+2sina-1=（3sincr-l）（sincr+l）=0,

所以sina=，或sina=—l,又ae（工,万],贝!Jsina二工，

3（2J3

2y]

所以cosa---------,贝！Jtan。—-----,

320

,c2tana4^2_

由tan2a—.故选：D

l-tarr9a7

7.C【分析】设球的半径为R,从而得到圆柱的底面半径为R,高为2R,从而求出圆柱的表面积和球的

表面积，得到答案.

【详解】设球的半径为R,根据题意可得圆柱的底面半径为高为2H,设圆柱的表面积为S一球的表

面积为$2，

邑_4兀R?_2

S12TTR2+2TCR•2R3

故圆柱的表面积与球的表面积之比为3:2.故选：C

8.D【分析】令JAQ|=|MQ|,可得M点的坐标为,则|P0+JAQ|=|P0+|M@，即可得答

案.

【详解】设M(x,o),Q令g|AQ|=|MQ|,

则gj(x—2)2+yj=jL+3nx；+(4s8^Xi+y；=4―；x0吊+才=]nx=g,则

M^,^\PQ\+^\AQ\=\PQ\+\MQ\.

如图，当尸,Q,M三点共线时，且垂直于直线x—y+5=0时，|PQ|+|MQ|有最小值，为|加|,即直线

-+5

2/故选:D

x—y+5=0至U点四距离，为

4

9.BC【分析】利用排除法，逐一验证选项是否满足题设条件即可得解，或利用直线的截距式方程、斜截式

方程、一般式方程分类讨论运算即可得解.

【详解】解法一：对于选项A,4x(—3)—3x4w0,.•.直线4x—3y=0不过点(―3,4),故A错误;

对于选项B,4x(—3)+3*4=0,.•.直线4x+3y=0过点(―3,4),又•.•直线4x+3y=0过原点，二直线

4x+3y=0在两坐标轴上的截距均为0,.♦.直线4x+3y=0在两坐标轴上的截距互为相反数，故B正确;

对于选项C,—3—4+7=0,，直线%—丁+7=0过点(—3,4),

又直线x—y+7=0的截距式方程为3+1=1，

二直线x—y+7=0在x轴、y轴上的截距分别为—7和7,

直线x-y+7=0在两坐标轴上的截距互为相反数，故C正确;

对于选项D,直线x+y—1=0的截距式方程为2+2=1,

11

二直线x+y—l=0在x轴、y轴上的截距均为1,

・・.直线x+y-1=。在两坐标轴上的截距不是相反数，故D错误;

解法二：由题意，直线/过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数，则

(i)当直线/在两坐标轴上的截距为0时，设直线/方程为：y=kx,

■直线/过点(―3,4),;.4=—33解得：k=--,

4

二.直线/方程为：y=x,即为4x+3y=0.

(ii)当直线/在两坐标轴上的截距不为。时，直线/在两坐标轴上的截距互为相反数，设直线/方程为：

北I丁-119

a-a

i,直线/过点(―3,4),-----1-----=1,解得：a=—7,

a-a

直线/方程为：—+^=1,即为x—y+7=0.

-77

综上知，该直线的一般式方程为4x+3y=0或x—y+7=0.故选：BC.

10.BCD【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利

用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.

【详解】对于A,由fcv-y+2£+l=0可得，左(x+2)—y+l=0,令x+2=0,即％=—2,此时y=l,

所以直线/恒过定点(—2,1),A错误；

对于B,因为直线/°:x—2y+2=0的斜率为工，

所以直线/的斜率为—2,即左=—2,

此时直线/与直线4垂直，满足题意，B正确；

对于C,因为定点(—2,1)到圆心的距离为"ZT=20,

所以定点(—2,1)在圆内，所以直线/与圆。相交，C正确；

对于D,设直线/恒过定点4(—2,1),

圆心到直线/的最大距离为|Q4|，

此时直线/被圆。截得的弦长最短为2J口=2百，D正确；故选：BCD.

11.AD【分析】首先建立空间直角坐标系，利用坐标表示条件中的垂直关系，即可判断选项ABC；利用等

体积转化，即可判断D.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，A(2,0,2),〃(0,0,2),设M(2,a,0),N(2,2,Z?),且a,be(0,2),

z、•/、・./、a（2-a\

D1M=（2,a,-2）,MN=（0,2-a,b）,DlM-MN=a（2-a）-2b=0,得人/2，

AM=（O,a,-2）,所以A"•收V=a（2—a）—2Z>=0,故故A正确；

C（0,2,0）,MC=（-2,2-a,0）,JW-MC=（2-tz）2^0,

所以MN与VC不垂直，则MN不垂直与平面"Me,故B错误；

/\IIa（2—1）1z、21/\

所以。=1时，|BN|的最大值为:，故C错误；

1114

VrjACM~ACD~—xSACDx——x—x2x2x2=—，故D正确.故选：AD

12.BD【分析】根据椭圆的性质结合解直角三角形一一计算判定即可.

【详解】下

对于A项，若长轴长为4,短轴长为26-2,

lda2-b2J5-1J5-1

可知止匕时a=2,b=逐一l=>e=*—―=.pL_L±L_L,即A错误;

a\22

对于B项，若ZF^A,=90°,止匕时tan/BiAA=丝=tanZF^O=型=>/=。。，即

OB1

符合定义,即B正确;

2

对于C项，若尸片，》轴，且PO〃43］,易得已用

且tan/瓦==烬=］显=泉程,即C错误;

对于D项，若四边形A为AB］的内切圆过焦点耳,工，则。到直线4耳的距离为。，

解之得02=匹@,又0<e<l=>e2=±g=>e=^二，符合定义，即D正确.

222

故选：BD

13.-73【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】因为复数z=l-后，所以z的虚部为一百，故答案为：-6.

14.-【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结

4

果.

【详解】从4条线段中任取3条，则有{2,4,6},{2,4,8},{2,6,8},{4,6,8}共4个基本事件；其中三条线段

能够成三角形的基本事件有：{4,6,8}共1个；

.••所求概率p=；.故答案为：:

15.1【分析】求出圆心到直线的距离后减去半径可得.

【详解】由题意圆心为(—1,0),半径为1,圆心到已知直线的距离为=2,所以所求距离最

小值为2—1=1.故答案为：1.

16.手【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得归国，出闾，从而求得花的面积.

【详解】由已知a=2/=6,得c==乒^=1，

则闺鸟|=2c=2,|尸司+|尸鸟|=24=4,

在△巴声中，由余弦定理，得闾2=忸片「+闺闾2—2忸团闺叫85120。，

所以|产=|P片『+4+2忸团，

由|「耳|+|尸7|=勿=4,得|尸闾=4—|尸外

所以(4—p周)2=忱耳『+4+2卢耳］,化简解得上用=•|,

所以△「片月的面积为g|P周•闺阊sinl20o=gx£x2x］，=¥L

373

故答案为:

r

17.(1)x+y-2=0(2)(x-l)2+(j;-l)2=8

【分析】(1)两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程；

(2)根据题意，得到所求圆的圆心在直线y=x上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程.

【详解】(1)解：由圆•：/+/=1。和"：/+/+2%+2y—14=0,

两个圆的方程相减，可得x+y—2=0,

即两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.

(2)解：由两圆方程，可得圆心M(0,0),N(—1,—1)，可得圆心连线所在直线的方程为y=x,由圆的性质,

可得所求圆的圆心在直线y=x上，

y=x

由方程组＜解得x=y=1,

x+2y-3=0

x2+y2=10x——1x=3

又由方程组＜解得1或＜

%2+y2+2%+2y-14=0。=3[y=-i

即两个圆的交点为(—1,3)或(3,—1),

即所求圆的圆心坐标为(1,1),半径厂=J(—l—+(3-1『=272,

所以所求圆的方程为(龙―I)?+(y—1)2=8.

18.(1)A=30°

(2)S—\/3

【分析】(1)根据已知由余弦定定理化简得b2+c2-a2=2同csinA,再利用余弦定理求得cosA=V3sinA,

从而可求角；

(2)利用余弦定理及已知条件求得A=2百,c=2,代入三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为b=碇05。+百（到小4,由余弦定理得：.二〃."+♦———+yficsinA,

2ab

整理得：/+。2一〃=2辰csinA,所以2bccosA=2®csinA,即cosA=gsinA,所以

tanA=——,

3

X00<A<180°,所以A=300.

（2）由余弦定理/=少2+02—2AcosA得：4=3c2+c2-2-V3c-c-,

2

化简得。2=4,解得c=2,所以b=J§c=26，

11厂1L

所以△ABC的面积为S=—bcsinA=—义26x2x—=6.

222

19.（1）证明见解析

19

【分析】（1）根据圆的性质可得BCJ_AC,根据PCJ_平面ABC可得PCL3C,进而得到平面

PAC,最后根据面面垂直的判定定理可得结果；

（2）过C作CMJLK4于连结通过证明平面上4,平面6。以，找到二面角6—K4—C的平面

角NBMC,进而计算即可.

【详解】（1）证明：A3是圆。的直径，.•.6C，AC,

PCAC=C,且PC,ACu平面PAC,.•.BC,平面PAC,

又5Cu平面PBC,.•.平面？fiC,平面PAC.

(2)过C作CM_LZ4于M,连结

BCJ_平面PAC,PAu平面PAC,，5C,

BCCM=C,且5C,CMu平面8cM,

.•.24,平面BCM,又雨匚平面8。以，；.24,5河,

.•.NBMC为二面角5—K4—C的平面角，

在RtABMC中，CM=与，BC=C，

75

_____2__

二.BM=\不=平,则c°s〃MC=如=巨=亚

Y5GBM啊19

1/5

」.二面角5—B4—C的余弦值为作叵.

19

20.(1)0.025；(2)71；(3)88.

【分析】(1)由直方图区间频率和为1求参数。；

(2)根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

(3)根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可.

【详解】(1)由(0.005+0.010+0.015x2+a+0.030)xl0=l,解得a=0.025；

(2)45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,故本次防疫知识测试成绩的平均

分为71；

(3)设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为［80,90),［90,100］对应的频率分别为0.15,0.1,所以

(90-x)x0.015+0.1=0.13,解得x=88,故受嘉奖的学生分数不低于88分.

(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意列式求解a,b,c,进而可得结果;

(2)设直线PQ的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证加；立为定值即可.

b=2a=3

【详解】(1)由题意可得=^+02解得6=2所以椭圆方程为乙+工=1.

94

C_\/5C=y/5

a3

(2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设2。：丁=左(％+2)+3,。(/X),0(%,%)，联立方程

y=攵（%+2）+3

<J%2，消去y得：（4/+9）%2+8左（2左+3）尤+16（左2+3左）=0,贝ij

194

A=64k2（2k+3）2一64（4公+9）（^2+3k）=一1728女>0,解得左<0,

8M2k+3）16（左2+3外

可得须+%2=——%——^玉——「因为A（—2,0）,则直线AP:y=%（x+2）,令x=0,

十y^vK十y项+2

（2）

解得一,即M0,上上

、西+2,