《17.2 勾股定理的逆定理》课件（三套）

17.2勾股定理的逆定理1．理解并掌握勾股定理的逆定理；2．利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否直角三角形．一、学习目标

本节的重点是：勾股定理的逆定理．本节的难点是：用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否直角三角形．在中考中，很多问题常常要证明两条直线互相垂直，当题中给出线段的长度要证明它们互相垂直时，往往用到勾股定理的逆定理通过计算得到证明．

二、重点难点三、引入

一般地说，在平面几何中，经常是利用直线间的位置关系，角的数量关系而判定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过边的计算判定直角的.三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形；如果a2＋b2≠c2，则这个三角形不是直角三角形.例1试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n＞0)的三角形是否直角三角形.四、新课【分析】先找到最大边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理.【解】∵2n2＋2n＋1＞2n2＋2n，

2n2＋2n＋1＞2n＋1，∴2n2＋2n＋1为三角形中的最大边.又(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2＝(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2.

根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的长.【分析】如果我们不能发现三边间的数量关系，求解就是十分困难的事．但是如果发现三边的关系，应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了。四、新课例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的长.四、新课【解】由于所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是AB·CD＝BC·AC，例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.

【分析】所给四边形是不规则图形，无面积公式，需转化为规则图形计算.又知∠ABC＝90°，且四条边长已知，不妨连结AC，构成两个三角形，分别求面积.四、新课

3

4

12

13

A

B

C

D

例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.

四、新课

3

412

13

A

B

C

D

∴S四边形ABCD

＝S△ABC＋S△ACD＝36.【解】连结AC．在△ABC中，∠B＝90°，

AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5.

在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13∵AC2＋CD2＝25＋144＝169，

AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S△ABC＝AB·BC＝×3×4＝6，

S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30.四、新课例4已知：如图，正方形ABCD中，F为DC

中点，E为BC上一点，且EC＝BC.

求证：∠EFA＝90°.FDCEAB【证明】设正方形ABCD的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE

2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF

2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.在Rt△ECF中，由勾股定理得

EF

2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2.∴AF2＋EF2＝AE

2.∴由勾股定理的逆定理可知，∠EFA＝90°.(一)选择题：

练习

1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、

(C)4、7、5(D)1、、C(一)选择题：

练习

2．下列命题中，假命题是()(A)三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1::2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1::2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为::2的三角形是直角三角形B(二)解答题：

1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m、n为正整数，m＞n).

试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．不是练习

(二)解答题：

练习

2．五边形ABCDE的各边的长都是12，∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一点，且MA＝13，MB＝5，求ME、MC、MD的长．MD=7ME＝MC＝3．如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足

a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判定△ABC的形状.(二)解答题：

练习

这个三角形是直角三角形．练习一下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15________________(3)a=41b=9c=40_______________(4)a:b:c=3:4:5________________是是是是∠A=900∠B=900∠A=900∠C=900(2)a=1b=2c=________________2如果△ABC的三边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）则△ABC是直角三角形

解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’(全等三角形对应角相等）∴∠C=900BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’abB'C'A'3.已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）

课堂练习：一判断题.1.

ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,则c=10()二填空题

1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则

ABC面积为_____,斜边为上的高为______.

例1已知:在△ABC中,AB=15cm，AC=20cm，BC=25cm，AD是BC边上的中线。求:AD的长。解：∵AB=15cm，AC=20cm，BC=25cm∴AB2+AC2=225+400=625BC2=625∴AB2+AC2=BC2∵∠BAC=900(勾股定理的逆定理）∴AD=BC=cm(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EF求：（1）S四边形ABCD。CD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。已知：在四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,例2∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2•2=6+2(cm2)=AB•AC+AD•CD解：解：∵RtADC中AD=2,AC=4∴∠DCA=300（在直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300）∴AD=AC求：（1）S四边形ABCD。（2）∠DCA的度数CD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。已知：在四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,例2小结利用勾股定理，已知直角三角形的两条边，可以求出第三边，利用勾股定理的逆定理，可以判定一个角为直角。从而判定直角三角形，也可以用来判定两直线互相垂直。思考题在平面直角坐标系中有RT△ABC，已知A（2，4），B（0，-2），点A（2，4），B（0，-2），点C在X轴上，求点C的坐标。17.2勾股定理的逆定理

温故知新abcCBA勾股定理：

如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c

，那么a2+b2=c2.反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2.那么这个三角形的形状怎样？思考：

你知道古埃及怎样画直角的吗？如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.148(13)新知学习工匠助手助手勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题互逆命题:

两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理:

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.定理与逆定理开启智慧我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.

成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’(全等三角形对应角相等）∴∠C=900BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’abB'C'A'已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题证明例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17例题解析(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形课堂练习判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）解；（1)∵a2=225，b2=64，c2=289又∵225+64=289∴a2+b2=c2即:三角形是直角三角形(2)∵a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4,b2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,c2=(2mn)2=4m2n2又∵m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4

∴a2+c2=b2即:三角形是直角三角形

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;

像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例1：

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航海天例题3：如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠C=90度求：绿地ABCD的面积。CBAD242015725例2：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米

随堂练习：1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）(A)1,2,3(B)4,6,8(C)5,5,4(D)15,12,9

2、如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可能是（）（A）3:4:7;（B）5:12:13;

（C）1:2:4;（D）1:3:5.DB三角形的三边分别是a、b、c,

且满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是:()A.直角三角形;B.是锐角三角形;是钝角三角形;D.是等腰直角三角形.4、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

此时四边形ABCD的面积是多少?5、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.

试判断△ABC的形状.思维训练6、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思维训练知识运用:AFECBD8如图:在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD.猜想△AEF的形状,并证明你的结论.解:△AEF是直角三角形；理由：设正方形ABCD的边长是a,则:10.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足a2c2–b2c2=a4–b4,试判断△ABC的形状.解∵a2c2-b2c2=a4–b4(1)∴c2(a2–b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)∴c2=a2+b2(3)∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿(2)错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿3a2-b2可能是0直角三角形或等腰三角形11、如图：在ΔABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD=1/2BC=5㎝

∵在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12∴BD2+AD2=52+122=169=AB2

∴△ABD是直角三角形。∴△ACD也是直角三角形。根据勾股定理得到：∴AB=AC=13㎝满足的三个，称为勾股数。正整数你能写出常用的勾股数吗？3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41探索猜想归纳验证应用拓展知识源于探索学习收获判定一个三角形是直角三角形的方法有一个角是直角的三角形是直角三角形.角：边：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．

4.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=

.ADC6449175、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三边长a,b,c满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.8、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,现要在B、C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通,经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC400100060°30°D9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．11、如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形ABDCCD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。12、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,求：S四边形ABCD∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2•2=6+2(cm2)=AB•AC+AD•CD解（1）13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。OCBAB1D123E1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提升“学力”ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，(1)求证：17.2勾股定理的逆定理

回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?古埃及人曾用下面的方法得到直角按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5；6，8，10。（1）这三组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？动手画一画由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你的观点!命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，BC=3、AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？全等我们作RT△ABC，使=3、=4B′C′A′C′345ACBA′B′C′34在中根据勾股定理有≌∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’=90°BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题ACBA′B′C′证明：勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.

成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17例题解析(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理