初二年级下期末几何压轴题和解析

./初二下期末几何与解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接EB、FD,交点为G．〔1〕当四边形ABCD为正方形时〔如图1〕,EB和FD的数量关系是_____________；〔2〕当四边形ABCD为矩形时〔如图2〕,EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；〔3〕四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,∠EGD是否发生变化?如果改变,请说明理由；如果不变,请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可〔第三问,图1中就能看出是45°。〕解〔1〕EB=FD 。〔2〕EB=FD。 证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB,∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形,∴AD=AE,∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD 即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD〔3〕解：∵△ADE为等边三角形,∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE,∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°,则∠ADF也为x°于是有∠BED为〔60-x〕°,∠EDF为〔60+x〕°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-〔60-x〕°-〔60+x〕°=60°2、已知：如图,在□ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF．〔1〕求证：△ABE≌△FCE；〔2〕若AF=AD,求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：〔1〕如图1．图1图1在△ABE和△FCE中,∠1=∠2,∠3=∠4,BE=CE,∴△ABE≌△FCE．〔2〕∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC．∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC．∵AF=AD,∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．3、已知：△ABC是一X等腰直角三角形纸板,∠B=90°,AB=BC=1．〔1〕要在这X纸板上剪出一个正方形,使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法,如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法,并在图2中画出来．图4图4图3图2图1图3图2图1〔2〕若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪,记图1为第一次裁剪,得到1个正方形,将它的面积记为,则=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪〔如图3〕,图2得到2个新的正方形,将此次所得2个正方形的面积的和记为,则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪〔如图4〕,得到4个新的正方形,将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……,第次裁剪得到_________个新的正方形,它们的面积的和=______________．图2〔题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。〕本题相当于中考12题的简单题解：〔1〕如图2；1分〔2〕,,,．6分4、已知：如图,平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在轴的正半轴上运动,顶点D在轴的正半轴上运动〔点A,D都不与原点重合〕,顶点B,C都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接OP．〔1〕当OA=OD时,点D的坐标为______________,∠POA=__________°；〔2〕当OA<OD时,求证：OP平分∠DOA；〔3〕设点P到y轴的距离为,则在点A,D运动的过程中,的取值X围是________________．〔第二问：如果点P到OP"所平分的角"的两边的距离相等,即可。〕〔第二问的题外题：当OA＞OD时,求证：OP平分∠DOA；〕解：〔1〕<>,；图3证明：〔2〕过点P作PM⊥轴于点M,PN⊥轴于点N．〔如图3〕图3∵四边形ABCD是正方形,∴PD=PA,∠DPA=90°．∵PM⊥轴于点M,PN⊥轴于点N,∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°,∴四边形NOMP中,∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA,∠2=∠NPM－∠NPA,∴∠1=∠2．在△DPN和△APM中,∠PND=∠PMA,∠1=∠2,PD=PA,∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．≤．-5、已知：如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为〔4,0〕,〔0,3〕．将△OCA沿直线CA翻折,得到△DCA,且DA交CB于点E．〔1〕求证：EC=EA；〔2〕求点E的坐标；〔3〕连接DB,请直接写出四边形DCAB的周长和面积．〔第二问,有坐标,用代数法勾股定理可得CE=AE的长〕〔第三问的证明：过D做DM⊥AC于M,过B做BN⊥CA于N,则由相似可得,DM=BN=梯形的高〔能求出具体数〕,CM=AN〔具体数〕还看得DB=MN〔具体数〕这样即可求出周长,有可求出面积。〕证明：〔1〕如图1．∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA,∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四边形OABC是矩形,∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：〔2〕设CE=AE=．∵点A,C的坐标分别为〔4,0〕,〔0,3〕,∴OA=4,OC=3．∵四边形OABC是矩形,∴CB=OA=4,AB=OC=3,∠B=90°．在Rt△EBA中,,∴．解得．∴点E的坐标为<>．〔3〕,．6、已知：△ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN．〔1〕在图1中证明MN垂直平分ED；〔2〕若∠EBD=∠DCE=45°〔如图2〕,判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论．图2图2第一问,连接EM,EN,DM,DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得,ME=MD,NE=ND,所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。〔有△ADF≌△BDC,得AF=BC,〔还得∠MDA=∠NDB,证直角时用〕,进而得菱形,再证一直角得正方形,〕〔1〕证明：连接EM,EN,DM,DN．〔如图2〕∵BD,CE是△ABC的高,∴BD⊥AC,CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中,M是AF的中点,∴EM=AF．同理,DM=AF,EN=BC,DN=BC．∴EM=DM,EN=DN．∴点M,N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．图3〔2〕判断：四边形MEND是正方形．图3证明：连接EM,EN,DM,DN．〔如图3〕∵∠EBD=∠DCE=45°,而∠BDA=∠CDF=90°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD,DF=DC．在△ADF和△BDC中,AD=BD,∠ADF=∠BDC,〔Rt∠〕DF=DC,∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC,∠1=∠2．∵由〔1〕知DM=AF=AM,DN=BC=BN,∴DM=DN,∠1=∠3,∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由〔1〕知EM=DM,EN=DN,∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°,∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四边形MEND是正方形．7、〔6分〕如图,现有一X边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕,将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH。〔1〕求证：∠APB＝∠BPH；〔2〕求证：AP＋HC＝PH；〔3〕当AP＝1时,求PH的长。第一问,设∠EPB=∠EBP=m,则∠BPH=90°-m,∠PBC=90°-m,所以∠BPH=∠PBC,又因为∠APB=∠PBC,所以,∠APB=∠BPH。第二问的题外题：将此题与141之东城22和平谷24放在一起,旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的,于是延BP翻折,翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等,即可到达目的,还有意外收获：证得∠PBH=45°。第三问,代数方法的勾股定理。〔1〕证明：∵PE＝BE,∴∠EPB＝∠EBP,又∵∠EPH＝∠EBC＝90°,∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC,∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。〔2分〕〔2〕证明：过B作BQ⊥PH,垂足为Q,由〔1〕知,∠APB＝∠BPH,又∵∠A＝∠BQP＝90°,BP＝BP,∴△ABP△QBP,∴AP＝QP,BA＝BQ。又∵AB＝BC,∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°,BH＝BH,∴△BCH△BQH,∴CH＝QH,∴AP＋HC＝PH。〔4分〕〔3〕由〔2〕知,AP＝PQ＝1,∴PD＝3。设QH＝HC＝,则DH＝。在Rt△PDH中,,即,解得,∴PH＝3.4〔6分〕8、〔6分〕如图,在△ABC中,AC＞AB,D点在AC上,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,联结GD,判断△AGD的形状并证明。〔也可问∠ADG的度数。〕判断：△AGD是直角三角形。证明：如图联结BD,取BD的中点H,联结HF、HE,∵F是AD的中点,,∴∠1＝∠3。同理,HE//CD,HE＝,∴∠2＝∠EFC。∵AB＝CD,∴HF＝HE,∴∠1＝∠2, ∴∠3＝∠EFC。∵∠EFC＝60°,∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°,∴△AGF是等边三角形。∴AF＝FG∵AF＝FD,∴GF＝FD,∴∠FGD＝∠FDG＝30°,∴∠AGD＝90°,即△AGD是〔特殊〕直角三角形。〔GE=BG-BE,GH是直角三角形的斜边,这样证全等。〕10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线,点M为BC边上任意一点〔不与点D重合〕,过点M作一直线,使其等分△ABC的面积．他的做法是：如图1,连结AM,过点D作DN//AM交AC于点N,作直线MN,直线MN即为所求直线．D图1D图1MBANC请你参考小明的做法,解决下列问题：〔1〕如图2,在四边形ABCD中,AE平分ABCD的面积,M为CD边上一点,过M作一直线MN,使其等分四边形ABCD的面积〔要求：在图2中画出直线MN,并保留作图痕迹〕；图3图2〔2〕如图3,求作过点A的直线AE,使其等分四边形ABCD的面积〔要求：在图3中画出直线AE,并保留作图痕迹〕图3图2〔第二问,把△ABC的面积接到DC的延长线上。〕11、已知：四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF＝DE．〔1〕如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果,并加以证明；〔2〕如图2,对角线AC与BD交于点O．BD、AC分别与AE、BF交于点G,点H．①求证：OG＝OH；②连接OP,若AP＝4,OP＝,求AB的长．ABABCDOPEF图2GHABCDEFP图1图1[第二问①,证△AOG≌△BHO,第二问②,〔在OB上截取BQ=AP,则△APO≌△BQO,得OP=OQ,AP=BQ,也可得∠OPG=∠OQP,又∠EPB=90°,最终得△OPQ是等腰直角三角形,可得PQ=2,从而求得PB=6,在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.〕]12、已知：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=,BC=,DC=,且,点M是AB边的中点．〔1〕求证：CM⊥DM；〔2〕求点M到CD边的距离．〔用含,的式子表示〕〔我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过M做BC的平行线,交DC于Q,则可证MQ=DQ=CQ,MD平分∠ADC,MC平分∠BCD,与∠DMC=90°,；M到CD的距离也就是Rt△DMC斜边的高MN,MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab,〕证明：〔1〕延长DM,CB交于点E．〔如图3〕∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADM=∠BEM．图3∵点M是AB边的中点,图3∴AM=BM．在△ADM与△BEM中,∠ADM=∠BEM,∠AMD=∠BME,AM=BM,∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=,DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=,∴CE=CD．∴CM⊥DM．图4解：〔2〕分别作MN⊥DC,DF⊥BC,垂足分别为点N,F．〔如图4〕图4∵CE=CD,DM=EM,∴CM平分∠ECD．∵∠ABC=90°,即MB⊥BC,∴MN=MB．∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠A=90°．∵∠DFB=90°,∴四边形ABFD为矩形．∴BF=AD=,AB=DF．∴FC=BC－BF=．∵Rt△DFC中,∠DFC=90°,∴==．∴DF=．∴MN=MB=AB=DF=．即点M到CD边的距离为．13、已知：如图1,平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为〔6,0〕,〔0,2〕．点D是线段BC上的一个动点〔点D与点B,C不重合〕,过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．〔1〕在点D运动的过程中,若△ODE的面积为S,求S与的函数关系式,并写出自变量的取值X围；〔2〕如图2,当点E在线段OA上时,矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′,C′B′分别交CB,OA于点D,M,O′A′分别交CB,OA于点N,E．探究四边形DMEN各边之间的数量关系,并对你的结论加以证明；〔3〕问题〔2〕中的四边形DMEN中,ME的长为____________．图2图1图2图1本题难度对于初二学生相当于25题。[好好学习第一问的解题方法,第二问由两组平行可得平行四边形,∠OED=∠O1ED〔对称性质〕,得菱形。第三问,E在OA上时,DE的长度不变,为2倍根号5,〔延x轴平移△DME使D与C重合,设DM=EM=x,代数法用勾股定理可求得ME的值。]解：〔1〕∵矩形OABC中,点A,C的坐标分别为,,图6∴点B的坐标为．图6若直线经过点C,则；若直线经过点A,则；若直线经过点B,则．=1\*GB3①当点E在线段OA上时,即时,〔如图6〕∵点E在直线上,图7当时,,图7∴点E的坐标为．∴．=2\*GB3②当点E在线段BA上时,即时,〔如图7〕∵点D,E在直线上,当时,；当时,,∴点D的坐标为,点E的坐标为．∴．综上可得：图8〔2〕DM=ME=EN=ND．图8证明：如图8．∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形,∴CB∥OA,C′B′∥O′A′,即DN∥ME,DM∥NE．∴四边形DMEN是平行四边形,且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′,∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．-〔3〕答：问题〔2〕中的四边形DMEN中,ME的长为2.5．14、探究问题1已知：如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF交于点M,连接DE,DF．若DE=DF,则的值为_____．拓展问题2已知：如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC的内部,且∠MAC=∠MBC,过点M分别作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF．求证：DE=DF．推广问题3如图3,若将上面问题2中的条件"CB=CA"变为"CB≠CA",其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论〔第三问,取BM和AM的中点,构造全等三角形,〕122某区的模拟题与此高度相似,图9问题1的值为1．--图9问题2证明：如图9．∵CB=CA,∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC,∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC,即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM与△BEM中,∠AFM=∠BEM,∠MAF=∠MBE,MA=MB,∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵点D是AB边的中点,∴BD=AD．在△BDE与△ADF中,BD=AD,∠DBE=∠DAF,BE=AF,∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．问题3解：DE=DF．证明：分别取AM,BM的中点G,H,连接DG,FG,DH,EH．〔如图10〕∵点D,G,H分别是AB,AM,BM的中点,∴DG∥BM,DH∥AM,且DG=BM,DH=AM．∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM=∠DGM,∵ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,图10∴∠AFM=∠BEM=90°．图10∴FG=AM=AG,EH=BM=BH．∴FG=DH,DG=EH,-∠GAF=∠GFA,∠HBE=∠HEB．∴∠FGM=2∠FAM,∠EHM=2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM,∴∠FGM=∠EHM．∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM,即∠DGF=∠DHE．在△EHD与△DGF中,EH=DG,∠EHD=∠DGF,HD=GF,∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F。〔1〕求证：DE－BF＝EF；〔2〕若点G为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系〔不需要证明〕；〔3〕若AB=2a,点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并通过计算来验证你的结论。第一问,证全等即可得AE=BF,AF=DE。第三问,各三角形相似,两直角边的比是1:2,所以可得AE=BF=EF=2FG。解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG∴DA=AB,∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE ,∴△ABF≌△DAE ∴BF=AE,AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF 〔2〕如图②,DE+BF=EF 〔3〕EF=2FG过程：∵AB=2a,点G为BC边中点,∴BG=a由勾股定理可求又∵AB⊥BC,BF⊥AC,∴由等积法可求由勾股定理可求,,,∴EF=2FG 。17、如图,在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG〔BE<AB〕,连接EG并延长交DC于点M,作MN⊥AB,垂足为点N,MN交BD于点P,设正方形ABCD的边长为1。〔1〕证明：四边形MPBG是平行四边形；〔2〕设BE=x,四边形MNBG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值X围；〔3〕如果按题设作出的四边形MPBG是菱形,求BE的长。〔图中的三角形多是等腰直角三角形,〕证明：〔1〕∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°,∠ABD=∠BEG=45°,∴DB∥ME。∵MN⊥AB,CB⊥AB,∴MN∥CB。∴四边形MPBG是平行四边形；〔2〕∵正方形BEFG,∴BG=BE=x。∵∠CMG=∠BEG=45°,∴CG=CM=BN=1－x。∴y=〔GB+MN〕·BN=〔1+x〕〔1－x〕=－x,〔0<x<1〕；〔3〕由四边形BGMP是菱形,则有BG=MG,即x=〔1－x〕。解得x=2－,∴BE=2－。18、将一X直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕,△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形〔其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形〕,我们称这样两个矩形为"叠加矩形"．请完成下列问题：〔1〕如图②,正方形网格中的△ABC能折叠成"叠加矩形"吗？如果能,请在图②中画出折痕；〔2〕如图③,在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜△ABC,使其顶点A在格点上,且△ABC折成的"叠加矩形"为正方形；〔3〕如果一个三角形所折成的"叠加矩形"为正方形,那么它必须满足的条件是．解：〔1〕………………2分〔说明：只需画出折痕．〕〔2〕〔说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一,所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．〕〔3〕三角形的一边长与该边上的高相等19、考考你的推理与论证〔本题6分〕如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于,且,连结．〔1〕求证：是的中点；〔2〕如果,试判断四边形的形状,并证明你的结论．难度一般解〔1〕证明：∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中点,∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD,∴BD=CD.,∴D是BC的中点．〔2〕四边形AFBD是矩形,∵AB=AC,是的中点,∴AD⊥BC

,即∠ADB=90°∵AF=BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是矩形．20、拓广与探索〔本题7分〕如图〔1〕,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点.〔1〕求证：四边形DFGE是平行四边形；〔2〕如果把Rt△ABC变为任意△ABC,如图〔2〕,通过你的观察,第〔1〕问的结论是否仍然成立？〔不用证明〕；〔3〕在图〔2〕中,试想：如果拖动,通过你的观察和探究,在什么条件下？四边形DFGE是矩形,并给出证明；〔4〕在第〔3〕问中,试想：如果拖动,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在,画出相应的图形〔不用证明〕．〔图1〕〔图2〕〔第三问,AB=AC时。第四问,AB=AC,且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的比,但是,AB≠AC时是菱形。〕21、如图,点A〔0,4〕,点B<3,0>,点P为线段AB上的一个动点,作轴于点M,作轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.〔MN=OP,所以OP⊥AB时,MN也就是OP最小,OP=12/5.〕初三相似形22、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=4,,于点E,F是CD的中点,连接EF．〔1〕求证：四边形AEFD是平行四边形；〔2〕点G是BC边上的一个动点,当点G在什么位置时,四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；〔3〕在BC边上能否找到另外一点,使四边形DEF的周长与〔2〕中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.〔第二问,点G为BC中点时,也是AE的延长线与BC的交点。第三问,能找到。以EF为一边在EF的下方做△G1EF≌△GFE,G1在BC上,但是不与G重合,〕23、<9分>在梯形中,∥,,且,,。对角线和相交于点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上,使三角板绕点旋转。〔1〕如图9-1,当三角板旋转到点落在边上时,线段与的位置关系是,数量关系是；〔2〕继续旋转三角板,旋转角为,请你在图9-2中画出图形,并判断〔1〕中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立,请说明理由；＃[]〔3〕如图9-3,当三角板的一边与梯形对角线重合时,与相交于点P,若,求的长。图9-1图9-2图9-3〔第三问,证明两次相似,推导比例关系。〕多看看解：〔1〕垂直,相等；……………2分〔2〕画图如图〔答案不唯一〕〔1〕中结论仍成立。证明如下：过A作于M,则四边形ABCM为矩形。∴AM=BC=2,MC=AB=1。∵,∴。∴DC=BC。,,。又,,线段和相等并且互相垂直。〔3〕∥,∽,,。同理可求得。,。。。由〔2〕知,。又,∽。。。初三相似形24、<9分>将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,。动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动。当其中一点到达终点时,另一点也停止运动。设点P的运动时间为〔秒〕。〔1〕用含的代数式表示；〔2〕当时,如图10-1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标；〔3〕连结,将沿翻折,得到,如图10-2。问：与能否平行？与能否垂直？若能,求出相应的值；若不能,说明理由。解：〔1〕,。〔2〕当时,过点作,交于,如图1,……………3分则,,,。〔3〕①能与平行。若,如图2,则,即,,而,。②不能与垂直。若,延长交于,如图3,则。。。……7分又,,,。而,∴t不存在。25、锐角△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,DE⊥AB于E,延长ED交BC的延长线于点F.当∠A=40°时,求∠F的度数；设∠F为x度,∠FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.第二问,∠B+x=90°,x+y=∠B,所以y=90°-2x。解〔1〕∵AB=AC,∴..∵∠A=40°,∴.∵DE⊥AB,∴.∴〔2〕∵,∴∴在△BEF中,∵,∴...∴∴.26、如图1,正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE、GC．〔1〕试猜想AE与GC有怎样的数量关系；〔2〕将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图2,连接AE和GC.你认为<1>中的结论是否还成立？若成立,给出证明；若不成立,请说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下,求证：AE⊥GC．〔友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等〕延长相交可证得垂直,解：〔1〕猜想：AE=GC〔2〕答：AE=CG成立.证明：∵四边形ABCD与DEFG都是正方形,∴AD=DC,DE=DG,ADC==EDG=90.∴1+3=2+3=90.∴1=2.,∴△ADE△CDG.,∴AE=CG.〔3〕延长AE,GC相交于H,由〔2〕可知5=4.又∵56=90,47=180DCE=90,∴6=7.又∵6AEB=90,∴AEB=CEH..∴CEH7=90.∴EHC=90.,∴AEGC.…27、如图所示,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,AB＝12,BC＝21,AD=16。动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q同时从点A出发,在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t〔秒〕。〔1〕当为何值时,四边形的面积是梯形的面积的一半；〔2〕四边形能为平行四边形吗？如果能,求出的值；如果不能,请说明理由．〔3〕四边形能为等腰梯形吗？如果能,求出的值；如果不能,请说明理由．〔第一问,t=37/6,第二问,t=5,第三问,不能,∠QPC大于90°,不能等于∠DCP,；本题扩展：如果延DA、CB方向移动,则可以出现等腰梯形。〕28、〔12分〕如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点．〔1〕在不添加线段的前提下,图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；〔2〕判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？〔3〕当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形MENF是正方形〔直接写出结论,不需要证明〕．ADADCBEGF39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F、G.求证：.简单题：连接CE,则CE=FG,再证全等即可。证明：连接CE∵四边形ABCD为正方形∴AB＝BC,∠ABD＝∠CBD＝45°,∠C＝90°∵EF⊥BC,EG⊥CD,∴四边形GEFC为矩形∴GF＝EC在△ABE和△CBE中∴△ABE≌△CBE,∴AE＝CE∴AE＝CF30、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,连接CD,过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E,连接AE,过A作AF⊥AE交CD于点F.〔1〕若AE=5,求EF；〔2〕求证：CD=2BE+DE.〔第一问,∠