数学人教A版必修2学案2-3-1直线与平面垂直的判定

2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定[目标]1.掌握直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直．[重点]直线与平面垂直的证明；直线与直线垂直的证明．[难点]对直线与平面垂直定义的理解；对直线与平面所成角定义的理解．知识点一直线与平面垂直的定义[填一填]如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．[答一答]1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．2．“任何直线”、“所有直线”、“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2．图形语言：如图所示．3．符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[答一答]4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．5．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC知识点三直线与平面所成的角[填一填]1．如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．2．过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．所以直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°.[答一答]6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为45°解析：∵BB1⊥平面ABCD，∴∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角．又∠B1AB＝45°，所以AB1与平面ABCD所成的角为45°.类型一直线与平面垂直的定义及判定定理[例1]下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3[解析]由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．[答案]D1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.[变式训练1]下列说法中，正确的是(C)A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α类型二直线与平面垂直的证明[例2]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.[证明](1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥PA.又在矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，又因为F是PC的中点，所以GF綊eq\f(1,2)CD，所以GF綊AE.所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.因为PA＝AD，G是PD的中点，所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，因为CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.所以CD⊥AG.所以EF⊥CD.因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练2]如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B求证：A1D⊥平面ADC.证明：由题意可知，A1A⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴A1A⊥又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.又AB∩A1A＝A，∴AC⊥平面A1ABB1∵A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.∵D为B1B的中点，B1B＝2a，AB＝A1B1＝a，在△A1DA中，A1D＝eq\r(2)a，AD＝eq\r(2)a，A1A＝2a，∴A1D2＋AD2＝A1A2.∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.而AC∩AD＝A，故有A1D⊥平面ADC.类型三直线与平面所成的角[例3]如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝eq\f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq\r(3)AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．[解]解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝eq\r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4,3AD＝DB，eq\r(3)AC＝BC得：DB＝3，BC＝2eq\r(3)，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，则△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：1确定斜线与平面的交点斜足；2通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；3求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.[变式训练3]如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．解：如图，(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.(2)取AC的中点E，连接BE，DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE⊥平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥平面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(2)，所以sin∠BDE＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,2)，所以∠BDE＝30°.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(B)A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定解析：由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直．2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(C)A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．3．下列表述正确的个数为(A)①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A．0B．1C．2D．3解析：①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．4．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是30°.解析：tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.5.如图所示，四边形ABCD是矩形，AP⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥平面PCD.证明：取PD的中点E，连接AE、NE.∵N、E分别为PC、PD的中点，∴NE为△PCD的中位线，∴NE∥CD且NE＝eq\f(1,2)CD.又∵M为AB的中点，∴AM∥CD且AM＝eq\f(1,2)CD，∴AM∥NE且AM＝NE，∴四边形AENM为平行四边形，∴AE∥MN.又∵△PAD为等腰三角形，∴AE⊥PD，∴MN⊥PD.连接PM、MC，设AD＝a，AB＝2b，∴PM2＝a2＋b2，CM2＝a2＋b2，∴CM＝PM.∵N为PC的中点，∴MN⊥PC.∴PC∩PD＝P，∴MN⊥平面PCD.——本课须掌握的三大问题1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．学习至此，请完成课时作业15正确找出直线与平面所成的角开讲啦找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明某个角就是斜线与平面所成的角．[典例]如图，已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1[思路分析]抓信息，找思路．[解]取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于点O，连接AO，B1C.由已知ABCD­A1B1C1D又B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1⊂平面AC1，D1C1⊂平面AC1，∴B1∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为所求