6.1平面向量的概念-高一数学下学期《一隅三反》（人教A版2019）

6.1平面向量的概念考法一向量与数量的辨析【例1】（2023山西）下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．【一隅三反】1．（2023下·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】A【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A.2．（2023北京）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C3．（2023·安徽）以下选项中，都是向量的是（）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度【答案】D【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．4．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等【答案】D【解析】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.故选：D考法二零向量与单位向量【例21】（2023·广东湛江）下列命题正确的个数是（

）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．故选：B【例22】1（2023·新疆巴音郭楞）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【答案】C【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C【一隅三反】1．（2023云南）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【答案】C【解析】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.2．（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【答案】C【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.3（2023·广东揭阳）下列结论中正确的为（

）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．对任意向量，是一个单位向量D．零向量没有方向【答案】B【解析】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量与向量的模相等，B对；对于C选项，若，则无意义，C错；对于D选项，零向量的方向任意，D错.故选：B.考法三向量的几何表示【例31】（2023·安徽淮北）在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)3【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：（3）

.【一隅三反】1．（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：（2）从向西作长度为3m的有向线段：（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：2．（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；(2)求的模．【答案】(1)作图见解析(2)【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，又因为D点在B点的正北方，所以，又，所以，即D、C两点在坐标系中的坐标为，；即可作出、、如下图所示.（2）如图，作出向量，由题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则，所以的模为3．（2023北京）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：考法四平行向量与共线向量【例41】（2022下·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?【答案】(1)11(2)4【解析】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.因此题图中所示的向量中与的模相等的向量有，，，，，，，，，，，共11个.（2）由题知，图中所示的向量中与共线的向量有，、、，共4个.【例42】（2023·贵州遵义）（多选）下列说法错误的是（

）A．有向线段与表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等【答案】ABD【解析】对A,有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；故选:ABD.【一隅三反】1．（2023·陕西榆林）（多选）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由正六边形的结构特征可知，与方向相同，长度相等，，故选项A正确，与方向相反，，故选项B正确，由正六边形的性质可知，，故选项C正确，与不共线，所以不会相等，故选项D错误，故选：ABC．2．（2023下·江苏镇江）（多选）下列命题中，正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．若则【答案】BD【解析】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；．，则，正确；C.，则与不能比较大小；．，则，因此正确．故选：．3．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，(1)与模长相等的向量有多少个？(2)写出与相等的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请列出与相等的向量．【答案】(1)有9个(2)，(3)，，，，，，(4)【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，所以，所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.（2）与相等的向量有、.（3）与共线的向量有，，，，，，.（4）因为为平行四边形，所以且，所以与相等的向量为.单选题1．（2023·黑龙江）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离【答案】B【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A．3．（203·湖北鄂州）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.4．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）下列说法错误的是（

）．A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】和长度相等，方向相反，故A正确；单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．故选：B5．（2023·陕西）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.对于B，因为，故，故B正确.对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.6．（2023·新疆塔城）如图所示，在平行四边形中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在平行四边形中且，且，所以，.故选：D7．（2023·广东湛江）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.故选：C.8.（2023黑龙江）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．多选题9．（2023·辽宁沈阳）下列命题中正确的是（

）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选：AD.10．（2023·四川自贡）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点、中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A，因为在正六边形中，∥，所以与共线，所以A正确，对于B，因为在正六边形中，与不平行，所以与不共线，所以B错误，对于C，因为在正六边形中，∥，所以与共线，所以C正确，对于D，因为在正六边形中，与不平行，所以与不共线，所以D错误，故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.12．（2023江苏）下列关于向量的描述不正确的是A．若向量，都是单位向量，则B．若向量，都是单位向量，则C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】ABC【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；故选：ABC.填空题13（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有：．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【答案】③⑤⑥⑧⑩【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.故答案为：③⑤⑥⑧⑩.14（2023安徽）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有个.【答案】3【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.故答案为：315．（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.【答案】2【解析】由题意∥AB可知，，所以，所以.因为，所以，，所以，，所以.又M，O，N三点共线，所以，，故相等向量有2对.故答案为：2.16．（2023天津）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有______个；（2）模为的向量有______；（3）与相等的向量有______；（4）的相反向量有______．【答案】8、、、、、、、、、、、、【解析】（1）由图可知，，所以单位向量有个；（2）由图可知，，所以模为的向量有：、、、、、、、；（3）由图可知，，所以与相等的向量有：、、；（4）由图可知，，所以的相反向量有：、、、；故答案为：；、、、、、、、；、、；、、、.解答题17．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【解析】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.（2）由于与长度相等且方向相同，所以.（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.18．（2023·高一校考课时练习）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?【答案】答案见解析【解析】根据平行向量的定义，由图可知，与平行的向量有：，，，，，，，，，，，，，，，，，其中的单位向量有：，，，，，，，，，，.19．（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．(1)试以为终点画一个有向线