新版高中数学人教A版必修5习题第一章解三角形检测A

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知在△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于().A.76 B.2解析:由余弦定理,得b2=a2+c22accosB=42+622×4×6cos120°=76,所以b=2答案:B2在△ABC中,sinA=13,且△ABC的外接圆的半径R=2,则a等于(A.解析:∵asinA=2R答案:B3在△ABC中,已知b=2A.C.解析:由b2=a2+c22accosB,得2=a2+12acos45°,解得a=2+62答案:B4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,A.2C.2解析:A=π(B+C)=π-由正弦定理得则a=故S△ABC=12答案:B5若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC().A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13及正弦定理,得a∶b∶c=5∶11∶13.设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理,得cosC=(5t答案:C6在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2b2=3A.30° B.60° C.120° D.150°解析:利用正弦定理,sinC=23sinB可化为所以cosA==所以A=30°.答案:A7△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=3A.2解析:由正弦定理又∵B=2A,∴∴cosA=∴B=60°,C=90°,∴c=答案:B8△ABC的三边分别为a,b,c且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为().A.4解析:∵S△ABC=12acsinB由余弦定理得b2=a2+c22accosB=12+(42)2-2∴b=5.由正弦定理得2R=bsinB=5答案:C9在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是().A.[2,2] B.[0,2] C.(0,2] D.(解析:∵△ABC是锐角三角形,∴B=2A<90°,C=180°3A<90°,即30°<A<45°.又ACsinB=BCsinA又30°<A<45°,∴AC∈(答案:D10如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为().A.B.34C.D.34解析:由题意知PM=68海里,∠MPN=120°,∠N=45°.由正弦定理,知∴MN=68×32∴速度为3464=答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC中,A=45°,C=105°,BC=2解析:B=180°AC=30°,由正弦定理,得ACsinB=BC答案:112在△ABC中,BC=3,AB=2,且sin解析:由a=3,c=2,且知b=故cosA=答案:120°13在△ABC中,若B=60°,a=1,S△ABC=3解析:把已知条件代入面积公式S△ABC=12acsinB由余弦定理得b2=a2+c22accosB=3,故b=由正弦定理得答案:214如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=.

解析:在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.在△MAC中,∠AMC=180°75°60°=45°,由正弦定理可得ACsin∠AMC=MAsin∠MCA,于是MA=1002×3222答案:150m15如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=在△ABD中,由余弦定理,得cosA==又A为△ABC的内角,∴sinA=在△ABC中,由正弦定理得∴sinC=ABBC·sin答案:6三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解(1)由2asinB=得sinA=因为A是锐角,所以A=(2)由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得b2+c2bc=36.又b+c=8,所以bc=由三角形面积公式S=12bcsinA,得17(8分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=4(1)求证:A=B;(2)若△ABC的面积S=(1)证明由余弦定理,得cosA=所以c=2b·b2+c2-a22bc所以a2=b2.所以a=b,所以A=B.(2)解由(1)知a=b.因为cosC=所以sinC=因为△ABC的面积S=所以S=12absinC由余弦定理,得c2=a2+b22abcosC=10,所以c=18(9分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).(1)求证:A=2B;(2)若a=3b,判断(1)证明因为a2=b(b+c),即a2=b2+bc,所以在△ABC中,由余弦定理,可得cosB==所以sinA=sin2B,故A=2B.(2)解因为a=由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以△ABC为直角三角形.19(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2a2=解(1)根据正弦定理,可设则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosA变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(πC)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2a2=根据余弦定理,有cosA=所以sinA=由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=4故tanB=20(10分)在△ABC中,a,b,c为△ABC的三边长,