第12讲 正态分布（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）

第12讲正态分布【人教A版2019】·模块一正态分布·模块二课后作业模块一模块一正态分布1．连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

(3)曲线在x=处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.【考点1正态曲线的特点】【例1.1】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【解答过程】由题图中y=φi(x)y=φ1(x)与y=φ2(x)所以σ1故选：C.【例1.2】（2023·浙江宁波·统考二模）设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为（

）A．12-p,12 B．p,12【解题思路】根据题意和正态曲线即可求得P(0<ξ<1)，又根据正态曲线可得ξ~N1,12【解答过程】根据题意，且P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)=1-2p由正态曲线得ξ~N1,12故选：C．【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）设X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ2【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小【解答过程】因为X~Nμ1,σ1所以由图可知，μ1<μ因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以σ1<σ2所以PY≥μ2所以C错误，D正确，故选：D.【变式1.2】（2023下·高二课时练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X~Nμ可得随机变量X的方差为σ2=62，即对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1所以μ1<μ对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.故选：C.【考点2

利用正态曲线的对称性求概率】【例2.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知X~N(3,σ2)，P(X<2)=15A．15 B．25 C．35【解题思路】利用正态分布的对称性可求解.【解答过程】因为X∼N3,σ2所以P(X<4)=1-P(X>4)=4故选：D.【例2.2】（2023下·山东济宁·高二校考期中）已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，若PX≥4=PA．-1 B．1 C．-2 D．2【解题思路】由正态分布曲线的对称性直接求解即可.【解答过程】∵X∼Nμ,σ2，故选：B.【变式2.1】（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）在某项测量中，测得变量ξ~N1,σ2σ>0,若ξ在0,2内取值的概率为0.8，则ξ在A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4【解题思路】利用正态分布的对称性可得答案.【解答过程】因为变量ξ~N1,σ2所以P1<X<2故选：D.【变式2.2】（2023下·河北张家口·高二校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N4,σ2，若PX≤1+2a+PA．-1 B．0 C．2 D．6【解题思路】由正态分布性质可得答案.【解答过程】因为PX≤1+2aPX≤1+2a=1-PX≤1-a=PX>1-a，因为随机变量服从正态分布X∼N故选：D.【考点3

利用3原则求概率】【例3.1】（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布N2000,1002，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800附：X~Nμ,σ2，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827，A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987【解题思路】根据3σ原则求得正确答案.【解答过程】依题意，μ=2000,P=1-故选：C.【例3.2】（2023下·河南安阳·高二统考期末）已知随机变量X~Nμ,1，且PX<-1=0.5，则P附：若X~Nμ,σ2，则PA．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413【解题思路】根据正态分布曲线的性质结合3σ原则即可得到答案.【解答过程】因为随机变量X~N(μ,1),所以正态曲线关于直线x=μ对称，又因为P(X<-1)=0.5,所以μ=-1,σ=1，所以μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1，所以P(-2≤X≤0)≈0.6827,P(-3≤X≤1)≈0.9545，所以P(0<X<1)=1故选：B.【变式3.1】（2023·山东枣庄·统考二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N72,82，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（参考数据：Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σA．455 B．2718 C．6346 D．9545【解题思路】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.【解答过程】由题意可知，μ=72,σ=8，P=则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.1359×20000=2718.故选：B.【变式3.2】（2023下·河北·高二校联考阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N50,9，且X落在47,56内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（

（附：若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．270 B．2275 C．2410 D．4550【解题思路】根据题意，由3σ原则可得P47≤X≤56=0.8186【解答过程】由题意可知，P47≤X≤56则所抽取的零件总数为818600.8186故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为100000×1-0.9545故选：B.【考点4

\o"标准正态分布的应用"\t"/gzsx/zj135500/_blank"标准正态分布的应用】【例4.1】（2023·高二课时练习）高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N50,100；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N60,16，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②【解题思路】分别比较甲、乙走线路①、②的概率大小，由此可得出结论.【解答过程】对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为PX≤70走第二条线路赶到的概率为PX≤70∵Φ2<Φ2.5对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为PX≤64走第二条线路赶到的概率为PX≤64∵Φ1.4>Φ故选：B.【例4.2】（2023下·高二课时练习）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x）=1102πeA．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解题思路】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.【解答过程】∵密度函数f(x）∴该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线x=80对称，且50与110也关于直线x=80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时X~N(30,62)，骑自行车用时Y~N(34,A．P(X≤38)>P(Y≤38) B．P(X≤34)>P(Y≤34)C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．【解答过程】因为X~N(30,62)将X,Y化为标准正态分布，则X-306因为38-306<38-342，所以又P(X≤34)>12,P(Y≤34)=12因为P(X≤38)<P(Y≤38)，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误；因为P(X≤34)>P(Y≤34)，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误.故选：B．【变式4.2】（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N(50,256)，那么D等级的原始分最高大约为（

）附：①若X～N(μ,σ2)，Y=X-μσ，则Y～N(0,1)；②当YA．23 B．29 C．36 D．43【解题思路】由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由P(等级分≥40)=0.9即有P(原始分≥x-5016)=0.9，结合原始分满足X～N(50,256)的正态分布即可得均值和标准差，而Y=X-μσ且P(Y≤1.3)≈0.9知P(Y≥-1.3)≈0.9，即有x-50【解答过程】由题意知：X～N(50,256)则有μ=50，σ=16设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40，而P(等级分≥40)=1-(7%+3%)=0.9∴有P(原始分≥x-5016)而P(Y≤1.3)≈0.9，由对称性知P(Y≥-1.3)≈0.9∴有x-5016=-1.3，即故选：B.【考点5\o"正态分布的实际应用"\t"/gzsx/zj135500/_blank"正态分布的实际应用】【例5.1】（2023上·全国·高三专题练习）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）1.0,1.21.2,1.41.4,1.61.6,1.81.8,2.0零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布Nμ,σ2，μ，σ2参考数据：0.052≈0.228；若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ-σ≤ξ≤μ+σ(1)分别求μ，σ2(2)试估计这批零件直径在1.044,1.728的概率；(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的个数.【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.（3）根据区间1.044,1.728上的概率计算即可.【解答过程】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：μ=σ2=1100×（2）设ξ表示零件直径，则ξ∼Nμ,σ2Pμ-σ≤ξ≤μ+σ由对称性得，2P1.5≤ξ≤1.728=0.6827同理，Pμ-2σ≤ξ≤μ+2σ2P1.044≤ξ≤1.5=0.9545P1.044≤ξ≤故这批零件直径在1.044,1.728的概率为0.8186.（3）由（2）知，P1.044≤ξ≤所以在这2000个零件中，零件的直径在1.044,1.728的有2000×0.8186≈1637个.【例5.2】（2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20~9:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20~8:40记作区间[20,40)，8:40~9:00记作40,60，9:00~9:20记作60,80，9:20~9:40记作80,100，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知m=2n，8:20~9:40时间段内的车辆数的频数如下表：时间段[20,40)40,6060,8080,100频数100300mn(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X，求X的分布列与期望；(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~Nμ,σ2，其中μ可用（1）中这1000辆车在8:20~9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800参考数据：若T~Nμ,σ2，则①Pμ-σ<T≤μ+σ=0.6827；②【解题思路】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.（2）先求得μ,σ2【解答过程】（1）因为100+300+m+n=1000，m=2n，所以m=400，n=200.由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段60,80，80,100这两个区间内的车辆数为(400+200)1000车辆数X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=C60C4P(X=3)=C63所以X的分布列为X01234P14381所以E(X)=0×1（2）这1000辆车在8:20~9:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值μ=30×1001000+50×3001000σ2所以σ=18.估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数，也就是28<T≤82通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~N64,P28<T≤82=P64-2×18<T≤64+18=Pμ-2σ<T≤μ+σ所以估计在8:28~9:22这一时间段内通过的车辆数为800×0.8186≈655.【变式5.1】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）为庆祝中国共产党成立101周年，喜迎党的二十大胜利召开，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，我市面对全体党员，举办了“喜迎二十大，强国复兴有我”党史知识竞赛.比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成.已知进入复赛的党员共有100000人，复赛总分105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分.经过复赛，有2280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖.复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布.现从中随机选出100.名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图，求这100名选手的平均成绩x；(2)若全体复赛选手的平均成绩刚好等于x，标准差为9.5，试确定由复赛进入决赛的分数线是多少?(3)甲在决赛中取得了99分的优异成绩，乙对甲说：“据可靠消息，此次决赛的平均成绩是75分，90分以上才能获得特等奖.”试用统计学的相关知识，分析乙所说消息的真实性.参考数据：Pμ-σ≤ξ≤μ+σ【解题思路】（1）先根据概率之和等于1求出a，再根据频率分布直方图求平均数即可；（2）先求出复赛选手进入决赛的概率，再根据3σ原则即可得解；（3）先根据乙所说消息为真，求出决赛中获得特等奖的概率，再根据3σ原则求出甲获得99分的概率，即可得出结论.【解答过程】（1）由10(0.005+0.03+0.04+a+0.005)=1，得a=0.02，所以x=60×0.05+70×0.3+80×0.4+90×0.2+100×0.05=79（2）由已知，复赛选手进入决赛的概率为2280100000又因为复赛成绩ξ服从N(79,9.52)所以进入决赛的分数线为μ+2σ=79+9.5×2=98；（3）若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为522280≈0.0228由90=μ+2σ=75+2σ得σ=7.5，∴μ+3σ=75+22.5=97.5，而P(ξ≥μ+3σ)=0.0013，所以甲获得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的，根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．【变式5.2】（2023下·山西大同·高二校考期末）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ 近似为年平均收入x，σ2①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ ，求E(ξ)附参考数据：6.92≈2.63若随机变量X服从正态分布N(μ,σP(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解题思路】（1）根据频率分布直方图求平均值方法可得，（2）①根据3σ原则可得，②根据3σ原则先得每位农民年收入高于12.14千元的概率，根据二项分布的期望公式可得.【解答过程】（1）x=17.40（千元），故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元.（2）由题意知X～①P(X>μ-σ)=0.5+0.6827所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.②由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)=0.5+0.9545每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ∼B(1000,p)，其中p=0.9773，所以E(ξ)=1000×0.9773=977.3.模块二模块二课后作业1．（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量X~N0,1，则X的密度函数为（

A．fx=1C．fx=1【解题思路】根据正态分布的定义可求得μ=0,σ=1，从而可求X的密度函数.【解答过程】因为X~N0,1，所以μ=0,σ2所以X的密度函数为A.故选：A.2．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【解题思路】结合正态分布密度函数中参数μ表示其均值大小，σ表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.【解答过程】根据正态分布密度函数中参数μ，结合图象可知f2x，f3且都在f1x的右侧，即比较f1x和f2又f3x的离散程度比f1x和故选：B.3．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量X~N4,22，则P(8<X<10)A．0.0214 B．0.1358 C．0.8185 D．0.9759【解题思路】根据正态分布的对称性可求概率.【解答过程】由题意，知μ=4，σ=2，所以该正态曲线关于直线x=4对称．所以P0<X<8P-2<X<10所以P8<X<10=故选：A．4．（2023下·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）设随机变量X服从正态分布N3,4，若PX>a-2=PX<6-3a，则A．-2 B．-1 C．12 D．【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【解答过程】由题意随机变量X服从正态分布N3,4，即正态分布曲线关于x=3对称因为PX>a-2故a-2+(6-3a)2故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）设X~Nμ1,σ1A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【解题思路】由正态密度曲线的性质结合图像可得μ1<μ2，0<【解答过程】A选项：X~Nμ1,σ12、因此结合所给图像可得μ1<μ2，所以B选项：又X∼N(μ1,σ12)所以0<σ1<σ2CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确，D错误．故选：C．6．（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某田地生长的小麦的株高X服从正态分布N100,16，则P96≤X≤108≈（附：若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759【解题思路】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可.【解答过程】由题知，μ=100,σ=4，所以P(96≤X≤108)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)==1故选：B.7．（2023下·上海崇明·高二统考期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布N100,σ2（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于A．200 B．150 C．250 D．100【解题思路】根据题意，由正态分布的性质可得PX≥120，即可得到结果【解答过程】因为数学考试成绩服从正态分布X∼N100,σ2所以PX≥120则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为18故选：A.8．（2023·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X∼Nμ,σ2，记p1=Pμ-σ<X<μ+σ，p2=Pμ-2σ<X<μ+2σ，p3=PA．1-p12 B．1-p22【解题思路】根据正态分布的对称性即可得所求.【解答过程】由题意知，X∼N30,25，则μ=30，σ=5，∴μ-2σ=20，μ+2σ=40结合正态曲线的对称性可得PX>40故选：C.9．（2023下·陕西渭南·高二校考期末）为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取.k(k∈N*)包食盐，并测量其质量（单位：g）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布N(μ,σ2).假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k包食盐中质量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的包数，若X的数学期望附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)A．12 B．13 C．14 D．16【解题思路】由题意得到X∼Bk,0.0027，从而根据EX【解答过程】因为P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973，所以1-0.9973≈0.0027，故X∼Bk,0.0027，所以EX=0.0027k>0.03因为k∈N*，故k故选：A.10．（2023下·上海·高二专题练习）老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N44,4，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N33,16，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为不合理的是（（参考数据：Z∼Nμ,σ2，则Pμ-σ<Z,μ+σ≈0.6827A．若乘坐线路B，18:00前一定能到家B．乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样C．乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大D．若乘坐线路A，则在17:48前到家的可能性不超过1【解题思路】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可.【解答过程】对于A，因为P(B>45)=1即乘坐线路18:02能到家的概率为0.00135，所以乘坐线路B，18:00前不一定能到家，所以A错误，对于B，乘坐线路A在17:58前到家的概率为P(A<48)=1乘坐线路B在17:58前到家的概率为P(B<41)=1所以乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样，所以B正确，对于C，乘坐线路A在17:54前到家的概率为P(A<44)=1乘坐线路B在17:54前到家的概率为P(B<37)=1所以乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大，对于D，乘坐线路A，则在17:48前到家的概率为P(A<38)=12[1-P(38≤Z≤50)]≈故选：A.11．（2023上·高二课时练习）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．【解题思路】（1）结合密度曲线可得μ=8000，（2）由Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，求此公司人均月收入在【解答过程】（1）设公司人均月收入为X～结合题图可知，μ=8000，此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为:φμ,σ(x)=1（2）X～N8000,所以P(8000<X≤8500)=1故公司人均月收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比为34.14%.12．（2023下·高二课时练习）已知随机变量X∼Nμ,σ2，且其正态密度曲线在-∞(1)求参数μ,σ的值；(2)求P64<X≤72【解题思路】（1）根据正态分布曲线单调性可得μ，由特殊区间概率值可求得σ；（2）根据3σ原则和正态分布曲线的对称性直接求解即可.【解答过程】（1）∵正态密度曲线在-∞,80上单调递增，在80,+∞又P72<X<88≈0.683，∴μ-σ=72（2）P64<X≤72=Pμ-2σ<X≤μ-σ13．（2023·全国·高二课堂例题）假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且